2024-2025 学年第二学期 2 月份知识回顾
初三数学试卷
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,全卷共 6页,满分 120分,考试时间 120分钟.
2.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成,答在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题(共 30分)
得 分 评 分 人
一、选择题(本大题共 10个小题,每小题 3分,共 30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求,请把正确答案的代号填在下表中)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.-2025的绝对值是
A.-2025 B.2025 C.- 1 D. 12025 2025
2.如图,这是由 6个小正方体组成的几何体,其左视图是
3.2025年春节期间,山西商品供应量足价稳,促销活动丰富多彩,消费升级热点突出,餐饮消费人
气旺盛.各级商务主管部门和相关企业完善应急措施,加强值班值守,多措并举确保了节日市场
繁荣稳定.据监测显示,140家重点商贸企业 7天共实现销售额 57138.98万元,同比增长 2.72%,
则数据 57138.98万元用科学记数法表示为
A.5.713898×108元B.57138.98×104元
C.5.713898×107 元 D.0.5713898×109元
4.下列计算正确的是
A.(-2ab2)2=-4a2b4 B.(-a3)2-(a2)3=0
C.-4a3b2÷2ab2=-2a2b D.(a+2)2=a2+4
5.如图,将一个含有 30°角的直角三角尺,放置在一张横格白纸中(横线互相平行且距离相同),使
直角尺的斜边 CE与一条横线重合,顶点 A落在横线上,B,D为直角边与横线的交点,若 AD=1.75
cm,则 AC的长为
A.7 3 cm B.7 2 cm
C.7 cm D.14 cm
6.下列对二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与性质的描述中,不正确的是
A.图象开口向上 B.图象恒过点(0,c)
C.对称轴是直线 x= 2 D.a越大,图象的开口越小
7.山西太谷壶瓶枣是中国最好的枣品种之一,主产于晋中市的太谷县,其枣实个大,皮薄肉厚,风
味甘美,享有盛誉,屡屡获奖.为了解壶瓶枣单果的质量,调查人员在果园里的甲、乙两棵枣树上各
随机摘取了 5个单果壶瓶枣,称得它们的质量如下表(单位:克):
甲 26 30 26 34 34
乙 24 32 28 34 32
则 2 与 2 的大小关系是
甲 乙
A. 2 > 2 B. 2 = 2 C. 2 < 2 D.无法确定
甲 乙 甲 乙 甲 乙
8.中国传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分,形式多样、内容丰富.如图,4张卡片
的正面分别标有“除夕”“端午”“元宵”“中秋”图案,卡片除图案外完全相同,小明把这 4张卡片背
面朝上洗匀,从中随机抽取两张卡片,则抽到的两张卡片正面图案恰好是“除夕”和“中秋”的概率
是
A. 112 B.
1
10 C.
1
8 D.
1
6
9.如图,四边形 ABCD内接于☉O,DE为☉O的切线,连接 AC,若∠ACD=34°,∠ABC=70°,则
∠CDE的度数为
A.30°
B.34°
C.36°
D.56°
10.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=BC,AB=4,O为 AC的中点,以点 O为圆心作半圆分别与边
AB,BC相切于点 E,F,则图中阴影部分的面积为
A.5-3π2 B.6-
π
2
C.4-π D.6-3π2
第Ⅱ卷 非选择题(共 90分)
二、填空题(本大题共 5个小题,每小题 3分,共 15分)
11.计算:( 3-1)2+ 27= .
12.如图,在△ABC中,∠C=45°,若沿图中虚线剪去∠ ,则∠1+∠2等于 °.
...
13.若点 A(a,-3),B(b,2),C(c,-1) k都在反比例函数 y=x(k<0)的图象上,则 a,b,c的大小关系是
(用“<”连接).
14.在平面直角坐标系中,直线 l:y=-x-1与 x轴交于点 A1,如图,依次作正方形 A1B1C1O,正方形
A2B2C2C1,…,正方形 AnBnCnCn-1,使得点 A1,A2,A3,…在直线 l上,点 C1,C2,C3,…在 y轴正半轴上,则
点 B2023的坐标为 .
15.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,tan∠BAC=12,将△ABC沿着 AC翻折得到△ADC,过点 D
作 DG⊥AB于点 G,E为 BG的中点,连接 DE,则 DE的长为 .
三、解答题(本大题共 8个小题,共 75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本题共 2个小题,每小题 5分,共 10分)
(1)计算:-16×(-3)
2-(-14)÷
1
2+|-2|.
-2 = 5,①
(2)解方程组:
3 - = 4.②
17.(本题 8分)
如图,在平行四边形 ABCD中,AC为对角线,BE,DF分别三等分∠ABC,∠ADC,(即
∠ABE=13∠ABC,∠CDF=
1
3∠ADC)交AC于点E,F,连接DE,BF,求证:四边形BEDF是平行四边形.
18.(本题 7分)
太原市某校教务处主任让采购员小李查询最近学校购买篮球和足球的单价,却发现订货单已被
墨水污染,下面是被墨水污染了的订货单及采购员小李和保管员小康的对话.
请根据表格及他俩的对话求出篮球和足球的单价.
19.(本题 8分)
某中学开展了“与经典同行,享阅读乐趣”的课外阅读活动.为了解九年级学生每周的课外阅读情
况,该校老师随机抽查了九年级若干名学生一周的课外阅读时间 t(单位:小时),制作了如下不完
整的两幅统计图.
根据统计图提供的信息,解决下列问题:
(1)被抽查的九年级学生人数是 ,a= ,b= .
(2)在扇形统计图中,C部分对应的圆心角的度数为多少
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的所有学生该周课外阅
读时间的平均数在哪组(只需写出结论).
组别 阅读时间分组 人数
A 0≤t<2 2
B 2≤t<4 a
C 4≤t<6 b
D 6≤t<8 3
20.(本题 8分)阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文(部分),请仔细阅读并完成相应的任务.
运用“坐标法”解决几何问题
“坐标法”是一种重要的数学方法,常常用代数知识解决几何问题.其步骤如下:首先根据图
形特点,在平面上建立坐标系,然后运用函数(或方程)知识研究几何图形,最后把图形性质用几何
语言叙述,从而得到原先几何问题的答案.
如图 1,在边长为 6的正方形 ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BC=3BE且 BE=CF,AE⊥BF,
垂足为 G,O是对角线 BD的中点,连接 OG,则 OG的长为 .
解:如图 2,以 B为原点,BC所在直线为 x轴,建立平面直角坐标系.
∵四边形 ABCD是正方形,边长为 6,
∴AB=BC=6,∠ABE=∠BCF=90°.
∵BC=3BE,BE=CF,∴BE=CF=2,
∴E(2,0),F(6,2),A(0,6),D(6,6).
设直线 AE的表达式为 y=ax+b,
2 + = 0, = 3,
则 = 6, 解得 = 6, ∴直线 AE的表达式为 y=-3x+6.
设直线 BF的表达式为 y=cx,则 2=6c,解得 c=13,
1
∴直线 BF的表达式为 y=3x.
= 3 + 6, = 95 , 9 3由 = 1 x, 得 3 ∴G(5,5).3 = 5 ,
∵O为 BD中点,∴O(3,3),∴OG= (3- 9 )25 + (3
3
5 )
2=6 55 .
通过上述过程,我们发现,用“坐标法”解决几何问题,关键是根据图形特点,建立适当的坐标
系.
任务:
(1)上面小论文中的分析过程,运用的数学思想有 (多选).
A.统计思想 B.数形结合思想 C.函数思想 D.转化思想
(2)请用“坐标法”解答以下问题:
如图,在正方形 ABCD中,AB=8,点 E,F分别在 BC,CD的延长线上,且CE=DF=4, G为 EF的中点,
连接 AC,BD相交于点 O,连接 OE交 CD于点 H,连接 GH,求 GH的长.
21.(本题 8分)
阅读可以丰富知识,拓展视野,充实生活,给我们带来愉快的心情.图 1是某款落地阅读书架,现将
其简化成图 2,点 B,C处均可转动,且 CD⊥地面 EF,量得 AB=BC=20 cm,CD=140 cm.
(1)该款落地阅读书架的最大高度为 cm.
(2)如图 2,若∠ABC=40°,∠BCD=165°.
①延长 BA与地面 FE的延长线交于点 P,则∠BPD= °.
②求点 A到地面 EF的距离.(参考数据:sin 35°≈0.57,sin 75°≈0.97,cos 36°≈0.81)
22.(本题 13分)综合与实践
问题情境:
如图 1,在矩形 ABCD中,AB=6,BC=8,点 E在边 BC上且不与点 B,C重合,连接 AE并延长,交射线
DC于点 F.将△ABE沿直线 AE翻折,点 B的对应点为 B',延长 AB'交直线 CD于点 M.
猜想验证:
(1)试探究 AM与 FM的数量关系,并说明理由.
问题解决:
(2)如图 2, 若点 B'恰好落在对角线 AC上,求 的值.
(3)若 BE=2CE,求线段 FM的长.
23.(本题 13分)综合与探究
如图 1,二次函数 y=ax2+bx-2的图象与 x轴交于点 A,B,与 y轴交于点 C,与直线 l交于点 B,D,已
知 A(-1,0),D(-12,c),且 OB=2OA.
(1)求点 D的坐标及直线 l的函数表达式.
(2)P是直线 BC下方抛物线上的一个动点,连接DP,BP,若点 P的横坐标为m,试用含m的代数式
表示△BDP的面积,并求出当 m为何值时,△PDB的面积最大,最大面积为多少.
(3)如图 2,设抛物线的对称轴为 MN,在直线 MN上是否存在点 Q,使得△BCQ为直角三角形 若
存在,直接写出符合条件的点 Q的坐标;若不存在,请说明理由.数学参考答案
1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C
10.D 提示:如图,连接 OE,OF,则 OE⊥AB,OF⊥BC.
∵∠B=90°,AB=BC,AB=4,O为 AC的中点,
∴△OCF为等腰直角三角形,四边形 OFBE为正方形,
OCF 1 45×π×2
2
∴△ 中阴影部分的面积= ×2×2- =2-π,
2 360 2
2
正方形 OFBE中阴影部分的面积=2×2-90×π×2 =4-π,
360
=2-π+4-π=6-3π∴图中阴影部分的面积 .
2 2
11.4+ 3 12.225 13.b
15.4 17 提示:如图,连接 BD交 AC于点 M.
5
∵AB=4,tan∠BAC=1,∴BC=2.
2
设 BM=a,则 AM=2a,在 Rt△ABM
,AB2=AM2+BM2, 42=a2+(2a)2, a=4 5, BM=4 5,AM=8 5中 ∴ ∴ ∴ ,∴BD=2BM=8 5.
5 5 5 5
1
∵S△ABD= AM·BD=
1AB·DG,
2 2
8 5×8 5
∴DG= 5 5 =16.
4 5
Rt BDG ,BD=8 5在 △ 中 ,DG=16,
5 5
8
由勾股定理得 BG= .
5
∵E为 BG的中点,
EG=1BG=4∴ ,
2 5
∴DE= 2 + D 2= ( 4 )2 + ( 16 )2=4 17.
5 5 5
16.解:(1)原式=-1×9+1×2+2............................................................................................................. 2分
6 4
=-3+1+2..............................................................................................................................................4分
2 2
=1....................................................................................................................................................... 5分
(2)由①+②得 y=1,............................................................................................................................7分
把 y=1代入①得 x=7,.......................................................................................................................9分
= 7,
∴原方程组的解为 = 1............................................................................................................... 10分
17.证明:∵四边形 ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC,∠ABC=∠ADC,...............................................................................................1分
∴∠BAC=∠ACD,即∠BAE=∠DCF.
∵∠ABE=1∠ABC,∠CDF=1∠ADC,
3 3
∴∠ABE=∠CDF..............................................................................................................................3分
∠ = ∠ ,
在△ABE和△CDF中, = ,
∠ = ∠ ,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD,...............................................................................................................6分
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
∴四边形 BEDF是平行四边形....................................................................................................... 8分
18.解:购买篮球的数量为 x,则购买足球的数量为 2x.....................................................................1分
5000=4000根据题意可得 -30,............................................................................................................... 3分
2
解得 x=50,经检验 x=50是原分式方程的解,且符合题意,............................................................ 5分
∴篮球的单价=4000=80(元),足球的单价=80-30=50(元).
50
答:篮球的单价为 80元,足球的单价为 50元................................................................................. 7分
19.解:(1)20;9;6...................................................................................................................................3分
(2)在扇形统计图中,C 6部分对应的圆心角的度数为 360°× =108°............................................. 6分
20
(3)在 C组...........................................................................................................................................8分
: 2×1+9×3+6×5+3×7提示 根据题意可得 =4,则样本中的 20名学生该周课外阅读时间的平均数在 C组.
20
20.解:(1)BCD.....................................................................................................................................2分
(2)如图,以 O为原点,过 O点平行于 BC的直线为 x轴,建立平面直角坐标系.
∵正方形 ABCD的边长为 8,CE=DF=4,
∴E(8,-4),F(4,8)................................................................................................................................. 3分
∵G为 EF的中点,
∴G(6,2)............................................................................................................................................. 4分
设直线 OE的表达式为 y=kx,将 E(8,-4)代入,
得 8k=-4,解得 k=-1,...........................................................................................................................5分
2
∴直线 OE的表达式为 y=-1x.......................................................................................................... 6分
2
令 x=4得 y=-2,
∴H(4,-2)............................................................................................................................................ 7分
∴GH= (6-4)2 + [2 ( 2)]2=2 5.................................................................................................8分
21.解:(1)180....................................................................................................................................... 2分
(2)①35. ............................................................................................................................................ 4分
②如图,过点 B作 CD的平行线,再分别过点 A,C作该平行线的垂线,N,M为垂足.
∵由①知∠BAN=35°,
∴BN=AB·sin 35°≈20×0.57=11.4 cm.
又∵∠BCD=165°,
∴∠BCM=165°-90°=75°,
∴BM=BC·sin 75°≈20×0.97=19.4 cm,
∴NM=19.4-11.4=8 cm,
∴NM+CD=8+140=148 cm,
∴点 A到地面 EF的距离约为 148 cm........................................................................................... 8分
22.解:(1)AM=FM...............................................................................................................................1分
理由:∵四边形 ABCD为矩形,
∴AB∥CD,
∴∠F=∠BAF................................................................................................................................... 2分
由折叠可知∠BAE=∠B'AE,
∴∠F=∠MAF,
∴AM=FM..........................................................................................................................................3分
(2)在 Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC= 2 + B 2= 62 + 82=10.................................................................................................... 4分
由(1)可知△ACF是等腰三角形,AC=CF,
∴CF=AC=10.
∵AB∥CF,
∴△ABE∽△FCE,
= ∴ ..............................................................................................................................................6分
设 CE的长为 x,则 BE的长为 8-x,
8 = 6∴ ,解得 x=5,即 CE=5,............................................................................................................7分
10
= 5∴ =1...........................................................................................................................................8分
10 2
(3)如图,由(2)可知△ABE∽△FCE,
= ∴ =2, 6即 =2,
∴CF=3............................................................................................................................................ 10分
由(1)可知 AM=FM.
设 DM=a,则 CM=6-a,AM=FM=CM+CF=6-a+3=9-a.................................................................11分
在 Rt△ADM中,AM2=AD2+DM2,即(9-a)2=82+a2,
17
解得 a= ,........................................................................................................................................ 12分
18
∴FM=AM=9-a=145........................................................................................................................ 13分
18
23.解:(1)∵OB=2OA,A(-1,0),∴B(2,0).
将 A,B y=ax2+bx-2 4 + 2 -2=0, = 1,代入 得 - -2=0, 解得 = 1,
∴二次函数的表达式为 y=x2-x-2.................................................................................................... 2分
∵D(-1,c)在二次函数 y=x2-x-2的图象上,
2
∴c=-5, 1 5点 D的坐标为(- ,- )............................................................................................................. 3分
4 2 4
1 5 - 1 k + n = 5 ,
设直线 l的表达式为 y=kx+n,把 D(- ,- ),B(2,0)代入得 2 4
2 4 2 + = 0,
= 1 ,
解得 2 ∴直线 l的表达式为 y=1x-1......................................................................................5分
= 1, 2
(2)如图,过点 P作 y轴的平行线交 DB于点 T.
∵P点的横坐标为 m,∴T 1点的坐标为(m, m-1),
2
∴PT=1m-1-(m2-m-2)=-m2+3m+1,
2 2
∴S△BDP=S△PDT+S△BPT
=1·PT·[2-(-1)]
2 2
=-5m2+15m+5
4 8 4
=-5(m-3)2+125,
4 4 64
∴当 m=3时,S 125△BDP的面积最大,最大面积为 ............................................................................... 9分4 64
(3) , Q (1, 7-2) (1,- 7-2 1 5 1存在 点 的坐标为 或 )或( ,- )或( ,3)..................................................................13分
2 2 2 2 2 2 2 2
提示:∵y=x2-x-2, 1 1∴对称轴为直线 x= ,点 C的坐标为(0,-2),设点 Q的坐标为( ,t).
2 2
∵BQ2=(2-1)2+t2=9+t2,CQ2=(1)2+(t+2)2=t2+4t+17,BC2=22+22=8.
2 4 2 4
分三种情况:
BC ,BC2=CQ2+BQ2, 9+t2+t2+4t+17①当 为斜边时 即 =8.
4 4
7-2
解得 t1= ,t =
- 7-2,
2 2 2
1 7-2 1 - 7-2
∴点 Q的坐标为( , )或( , ).
2 2 2 2
②当 BQ为斜边时,BQ2=BC2+CQ2,9+t2=t2+4t+17+8,解得 t=-5,
4 4 2
∴点 Q 1的坐标为( ,-5).
2 2
③当 CQ为斜边时,CQ2=BQ2+BC2,∴t2+4t+17=8+9+t2, 3解得 t= ,
4 4 2
Q (1,3∴点 的坐标为 ).
2 2
综上所述, 1 7-2 1 - 7-2 1 5 1 3存在点 Q使得△BCQ为直角三角形,且点 Q的坐标为( , )或( , )或( ,- )或( , ).
2 2 2 2 2 2 2 2