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专题30 图形的相似（11大题型）
一．比例线段（共1小题）
1．（2024 常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
二．相似图形（共1小题）
2．（2024 连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
三．平行线分线段成比例（共1小题）
3．（2024 哈尔滨）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为
A．6 B．3 C．5 D．9
四．黄金分割（共4小题）
4．（2024 南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为
A． B． C． D．
5．（2024 德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点是边上一点，则满足的点的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2024 泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为
A． B． C． D．
7．（2024 山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
五．相似多边形的性质（共1小题）
8．（2024 盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
六．相似三角形的性质（共3小题）
9．（2024 重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是
A． B． C． D．
10．（2024 内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是
A． B． C． D．
11．（2024 巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则
A． B． C． D．
七．相似三角形的判定（共3小题）
12．（2024 青海）如图，和相交于点，请你添加一个条件 ，使得．
13．（2024 滨州）如图，在中，点，分别在边，上．添加一个条件使，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
14．（2024 广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
八．相似三角形的判定与性质（共25小题）
15．（2024 河南）如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为
A． B．1 C． D．2
16．（2024 湖南）如图，在△中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是
A． B．△△
C． D．
17．（2024 德州）如图，△中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则为
A． B． C． D．
18．（2024 南通）在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
19．（2024 威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是
A．若，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
20．（2024 东营）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：
①；
②；
③平分；
④．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．（2024 辽宁）如图，，与相交于点，且△与△的面积比是，若，则的长为 ．
22．（2024 乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点，若，则
23．（2024 云南）如图，与交于点，且．若，则 ．
24．（2024 成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
25．（2024 苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 ．
26．（2024 河北）如图，的面积为2，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）△的面积为 ；
（2）△的面积为 ．
27．（2024 济宁）如图，△中，，，是△的角平分线．
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点．
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点．
（4）画射线．
（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．
（6）连接，．分别交，于点，．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 （只填序号）
①；②③；④；⑤．
28．（2024 牡丹江）如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接．下列四个结论：①；②；③若是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是 ．
29．（2024 重庆）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
30．（2024 眉山）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
31．（2024 宜宾）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．
32．（2024 新疆）如图，在中，是的直径，弦交于点，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
33．（2024 无锡）如图，是的直径，内接于，，，的延长线相交于点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
34．（2024 上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．
35．（2024 盐城）如图，点在以为直径的上，过点作的切线，过点作，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
36．（2024 陕西）如图，是△的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长．
37．（2024 成都）如图，在△中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长和的直径．
38．（2024 巴中）如图，内接于，点为的中点，连接、，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
39．（2024 德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
（1）证明：；
（2）证明：．
九．相似三角形的应用（共3小题）
40．（2024 镇江）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
41．（2024 扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
42．（2024 自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 ；
（2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处．采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到．
十．位似变换（共2小题）
43．（2024 绥化）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
A． B． C． D．
44．（2024 浙江）如图，在平面直角坐标系中，△与△是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为
A． B． C． D．
十一．相似形综合题（共15小题）
45．（2024 临夏州）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
46．（2024 湖北）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当为的中点，，时，求的长；
（3）如图3，连接，当，分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
47．（2024 赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△中，，点是上的一个动点，过点作于点，延长交延长线于点．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含，的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点作，垂足为点，连接，得到图2，当点运动到使时，若，直接写出的值（用含，的式子表示）．
48．（2024 武汉）问题背景如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：△△．
问题探究如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
49．（2024 西宁）【感知特例】
（1）如图1，点，在直线上，，，垂足分别为，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
△ ，（两角分别相等的两个三角形相似）
，（相似三角形的对应边成比例）
即．
【建构模型】
（2）如图2，点，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在△中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
50．（2024 济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一拓展探究
如图1，在△中，，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①_____ △△ ②_____
请完成填空：① ；② ；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断△的形状，并说明理由．
（二学以致用
（3）如图3，△是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时．求线段的长．
51．（2024 资阳）（1）【观察发现】如图1，在△中，点在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△中，，点为边的中点，，点在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点，分别在边，上，，延长，相交于点．若，，求的长．
52．（2024 广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△中，点为边上一点，连接．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
（3）创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
53．（2024 广西）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到△，旋转角为．连接，．
①求△面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当△是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
54．（2024 南充）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求的值．
（3）连接，当时，求的面积．
55．（2024 广东）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到△．当点的对应点与点重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，连接，，作△的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点在上，．过点作，垂足为，，．在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
56．（2024 甘南州）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值；
（2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
57．（2024 贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
58．（2024 镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点、分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．
操作：如图2，连接、交于点，连接交于点，延长交于点，则、分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，，所以，同理，由及，可得，，所以，所以，则，，即、分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点、在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点的右侧作一点，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、、倍为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了点、在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点，使得（要求用两种方法）．
59．（2024 齐齐哈尔）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求△的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则 ；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
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专题30 图形的相似（11大题型）
一．比例线段（共1小题）
1．（2024 常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
【分析】根据题意得到，，根据，，，得到方程，解方程即可得到结论．
【解析】由题意得，，，
，，，
，，
与的比是，
，
，
经检验，是方程的解，
，，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、．
二．相似图形（共1小题）
2．（2024 连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解析】观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，
故选．
三．平行线分线段成比例（共1小题）
3．（2024 哈尔滨）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为
A．6 B．3 C．5 D．9
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例即可解答．
【解析】在四边形中，，，
，
，
即，
解得，
故选．
四．黄金分割（共4小题）
4．（2024 南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】令的长为，根据题中所给作图步骤，可得出的长为，再用勾股定理表示出的长，进而可得出（即的长，据此可解决问题．
【解析】令的长为，
则，
在△中，
．
因为，，
所以，
则，
所以的值为．
故选．
5．（2024 德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点是边上一点，则满足的点的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】
【分析】根据题意可知点在以为直径的圆上，得出与此圆的位置关系即可解决问题．
【解析】，
点在以为直径的圆上．
如图所示，
四边形是黄金矩形，
令，，
的半径为．
，
边与相离，
边上满足的点的个数为0．
故选．
6．（2024 泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设，，再根据翻折的性质及等角对等边得出，最后利用勾股定理表示出及即可．
【解析】由题知，
令，，
由翻折可知，
．
四边形是矩形，
，
，
，
．
令，
则，
在中，
，
解得，
，．
在中，
．
故选．
7．（2024 山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
【分析】根据题意可得出四边形是矩形，进而得出的长，再根据与的比值即可解决问题．
【解析】四边形是正方形，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
．
又，
．
故答案为：．
五．相似多边形的性质（共1小题）
8．（2024 盐城）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
【答案】1:2
【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答即可．
【解析】两个相似多边形的相似比为，
两个相似多边形周长的比等于，
故答案为：．
六．相似三角形的性质（共3小题）
9．（2024 重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到答案．
【解析】两个相似三角形的相似比是，
这两个相似三角形的面积比是．
故选．
10．（2024 内江）已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】已知相似比即可得出相似周长之比．
【解析】与相似，且相似比为，
与的周长比为．
故选．
11．（2024 巴中）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据相似三角形的性质得出图中直角三角形的一个锐角为，再利用特殊角的三角函数值结合相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】因为图中12个直角三角形都相似，
所以，
即直角三角形中较小的锐角为．
在中，
，
因为，
所以，
同理可得，
，，，，
所以．
又因为，
所以．
故选．
七．相似三角形的判定（共3小题）
12．（2024 青海）如图，和相交于点，请你添加一个条件 ，使得．
【答案】．（答案不唯一，如、
【分析】由，（或，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，也可以由，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明，于是得到问题的答案．
【解析】，，
，
故答案为：．
注：答案不唯一，如：、．
13．（2024 滨州）如图，在中，点，分别在边，上．添加一个条件使，则这个条件可以是 （答案不唯一） ．（写出一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）．
【分析】由相似三角形的判定方法，即可得到答案．
【解析】，
添加条件：（答案不唯一），判定，
故答案为：（答案不唯一）．
14．（2024 广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【分析】先根据，得出的长，进而可得出的长，由相似三角形的判定定理即可得出结论．
【解析】证明：，，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
．
八．相似三角形的判定与性质（共25小题）
15．（2024 河南）如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为
A． B．1 C． D．2
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明△△，利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
，
△△，
，即，
，
故选．
16．（2024 湖南）如图，在△中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是
A． B．△△
C． D．
【答案】
【分析】根据题中所给条件可得出△与△相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】点，分别为边，的中点，
是△的中位线，
，．
故、选项不符合题意．
，
△△．
故选项不符合题意．
△△，
，
则．
故选项符合题意．
故选．
17．（2024 德州）如图，△中，，，垂足为，平分，分别交，于点，．若，则为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】，
设，，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
方法二：，
设，，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，过于，
是的平分线，，
，
，
．
故选．
18．（2024 南通）在△中，，，垂足为，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点落在边上时，点为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，请对两位同学的发现作出评判
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
【答案】
【分析】旋转得到，，当点落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出△△，判断小丽的说法即可．
【解析】将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
当点落在边上时，如图：
，，
，
，
，
为的中点，
故小明的说法是正确的；
连接，，
，，
，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，的长最小，
当的长最小时，，
又，
△△，，
，
故小丽的说法正确；
故选．
19．（2024 威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是
A．若，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可判断；根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明△△可得，则垂直平分，即可判断选项；证明四边形是菱形，即可判断选项；选项给的条件，如图，存在，据此，即可判断．
【解析】四边形是平行四边形，
，，
．若，即，
又，
△△，
，
，
故选项正确；
．若，，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
在△和△中，
，
△△，
，
又，
，
，
故选项正确；
．，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
又，
，
，
垂直平分，
，
，
故选项正确；
．若，则四边形是菱形，
如图，当时，
存在，此时，不一定平行于，
故选项不正确，
故选．
20．（2024 东营）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：
①；
②；
③平分；
④．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】通过证明，可得，故①错误；由，故②错误；由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可求，即平分，故③正确；通过证明，可得，故④正确；即可求解．
【解析】设，
四边形是正方形，
，，
，
，故①错误；
，
，故②错误；
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
垂直平分，，
，
，
，
，
平分，故③正确；
，，
，
，
，
，故④正确；
故选．
21．（2024 辽宁）如图，，与相交于点，且△与△的面积比是，若，则的长为 12 ．
【答案】12
【分析】根据，得出△和△相似，从而得出，由此得出的长．
【解析】，
△△，
，
，
，
，
，
故答案为：12．
22．（2024 乐山）如图，在梯形中，，对角线和交于点，若，则
【答案】．
【分析】先根据两平行线之间的距离和三角形面积公式得到，再证明，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
【解析】，
点到的距离等于点到的距离，
，
，
，
．
故答案为：．
23．（2024 云南）如图，与交于点，且．若，则 ．
【答案】．
【分析】根据．可以得到△△，然后相似三角形的相似比等于周长之比，即可得到的值．
【解析】．
△△，
，
，
，
故答案为：．
24．（2024 成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
【答案】．
【分析】连接，过作于，设，则，由，为中点，可得，有，，证明，可得，，故，再证，得，而，即得，从而，即可解得答案．
【解析】连接，过作于，如图：
设，则，
，为中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为中点，
，
，
，
，
，
解得或（小于0，舍去），
．
故答案为：．
25．（2024 苏州）如图，△中，，，，点，分别在，边上，，连接，将△沿翻折，得到△，连接，．若△的面积是△面积的2倍，则 ．
【答案】．
【分析】设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明△△，得到，进而得到，，证明△是等腰直角三角形，得到，可得，证明△△，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可．
【解析】，
设，，
△沿翻折，得到△，
，，
过作于，设与相交于，
则，
又，
△△，
，
，，，
，
，，则，
△是等腰直角三角形，
，则，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
△的面积是△的面积的2倍，
，
则，
解得，（舍去），
则，
故答案为：．
26．（2024 河北）如图，的面积为2，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）△的面积为 1 ；
（2）△的面积为 ．
【分析】（1）证明△，即可得出结果；
（2），分别求出它们的面积即可．
【解析】（1）连接、、、、，
的面积为2，为边上的中线，
，
点，，，是线段的五等分点，
，
点，，是线段的四等分点，
，
点是线段的中点，
，
在△和中，
，
△，
，，
△的面积为1，
故答案为：1；
（2）在△和中，
，
△，
，，
，
，
、、三点共线，
，
，
，
，，
，
在△和中，
，，
△，
，
，
，
，
，
△的面积为7，
故答案为：7．
27．（2024 济宁）如图，△中，，，是△的角平分线．
（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点．
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点．
（4）画射线．
（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．
（6）连接，．分别交，于点，．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ①②⑤ （只填序号）
①；②③；④；⑤．
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行
比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出△△即可判断⑤．
【解析】，，
三角形为等腰直角三角形，，
又是△的角平分线，
，
，
，故①正确；
根据题意作图可得：，，
过作于点，则，如图：
是△的角平分线，由三线合一可得：，即，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，故②正确；
，，
，故③错误；
设，则，
，
，
，即，
，即，
，故④错误；
添加解法：在△中，，
，
，故④错误；
，
，
，
又，
△△，
，
，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②⑤；
故答案为：①②⑤．
28．（2024 牡丹江）如图，在正方形中，是延长线上一点，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，连接．下列四个结论：①；②；③若是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是 ①②③⑤ ．
【答案】①②③⑤．
【分析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，，、不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误．
【解析】正方形，
，，，
如图，作于，则四边形是矩形，
，
，
，
又，，
，
，①正确，故符合要求；
如图，作交于，连接，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，②正确，故符合要求；
是中点，，
，
如图，连接，
由勾股定理得，，，
解得，，
设，则，，
由勾股定理得，，
，
，整理得，，
解得，或（舍去），
，，
，
，
解得，，③正确，故符合要求；
由题意知，，
、不相似，，④错误，故不符合要求；
，
，，
设，，，则，，，，
，，，
，
，
，，
，
，即，
解得，，
同理，，
，即，
同理，，
，即，
，
将代入得，，整理得，，
解得，，
，⑤正确，故符合要求；
故答案为：①②③⑤．
29．（2024 重庆）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 3 ．
【分析】由平行线的等分线段定理推出，由三角形中位线定理推出，得到，由，推出，求出，即可得到的长．
【解析】，，
，
是的中位线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
30．（2024 眉山）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】．
【分析】先根据菱形的性质得到，，，则，再在中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，接着在中利用勾股定理计算出，然后证明，利用相似比和比例的性质计算出，同样方法计算出，最后计算即可．
【解析】菱形的边长为6，，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
31．（2024 宜宾）如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是 ．
【答案】．
【分析】连接交于，由五边形是正五边形，可得，，即得，故，从而，可得，证明，有，即可解得答案．
【解析】连接交于，如图：
五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
解得或（小于4，舍去），
经检验，符合题意；
故答案为：．
32．（2024 新疆）如图，在中，是的直径，弦交于点，．
（1）求证：△△；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）过点作于点，如图，根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再证明△为等腰直角三角形得到，接着在△中利用得到，然后利用勾股定理计算出，最后证明△△，于是利用相似比可求出的长．
【解析】（1）证明：，
，
，
△△；
（2）解：过点作于点，如图，
是的直径，
，
在△中，，
，
，
△为等腰直角三角形，
，
在△中，
，
，
在△中，，
，
△△，
，即，
解得，
即的长为．
33．（2024 无锡）如图，是的直径，内接于，，，的延长线相交于点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值，进一步即可得出答案．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
又
，
（2）连接，如图：
为直径，
，
设，
，
由（1）知：，
，
四边形是圆的内接四边形，
，
即，
解得：
34．（2024 上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．
【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定△△，利用相似三角形性质得到；
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【解析】证明：（1）矩形，
，，，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
；
（2）连接，交于点，
矩形，
，
，
，
，
，
，
，
矩形，
，
，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
．
35．（2024 盐城）如图，点在以为直径的上，过点作的切线，过点作，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【分析】（1）先证明，得到，再根据，得到；
（2）根据，得到，求出，得到半径．
【解析】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
，
，
半径为．
36．（2024 陕西）如图，是△的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出，于是有，根据同弧所对的圆周角相等得出，结合已知推出，问题即可得证；
（2）由勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长，再证△△，即可求出的长．
【解析】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：在△中，，，，
由勾股定理得，，
，
为的直径，
是的直径，
，，
由勾股定理得，，
由（1）知，
，
又为公共角，
△△，
，
，
．
37．（2024 成都）如图，在△中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长和的直径．
【分析】（1）由是的直径，可得，而，故△△，，从而；
（2）连接，过作于，根据，，得，又，知，即得，而，故，，可求出，，，由△△，有，即可得，，从而，因，即得，，又，可得，，求出，即的直径为．
【解析】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
△△，
，
；
（2）解：连接，过作于，如图：
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由（1）知△△，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
，
的直径为．
答：的长为，的直径为．
38．（2024 巴中）如图，内接于，点为的中点，连接、，平分交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：．
（3）若，，求的长．
【分析】（1）连接，根据垂径定理的推论即可得出，由得出，于是问题得证；
（2）由等弧所对的圆周角相等得出，由角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质及角的和差关系可证得，于是得出；
（3）连接，先证，，即可得到，即可求出的长．
【解析】（1）证明：如图，连接，
点为的中点，为圆心，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）证明：点为的中点，
，
，
平分，
，
是的外角，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
由（2）知，
，
，
，
．
39．（2024 德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点．
（1）证明：；
（2）证明：．
【分析】（1）根据菱形的性质及的度数，可得出为等边三角形，再根据为的中点，得出，据此可解决问题．
（2）根据等边三角形的性质可得出判定题中所给两三角形全等的条件，进而可解决问题．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，，
又，
是等边三角形，
，
点为的中点，
，
，
又，
．
（2）证明：，，
，
．
又，
．
在和中，
，
．
九．相似三角形的应用（共3小题）
40．（2024 镇江）如图，小杰从灯杆的底部点处沿水平直线前进到达点处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】
【分析】设返回过程中小杰身高为，由，得，即可得答案．
【解析】设返回过程中小杰身高为，
由，
得，
由，
得．
故选．
41．（2024 扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 20 ．
【答案】20.
【分析】利用已知得出：△△，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解析】设小孔到的距离为 ，
由题意可得：△△，
则，
解得：．
故答案为：20．
42．（2024 自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 11.3 ；
（2）如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面，两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端处，用细线系小重物，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上点处，同学们用注水管确定与雕塑底部处于同一水平线的，两点，并标记观测视线与标高线交点，测得标高，．将观测点后移到处．采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到．
【分析】（1）由影长恰好等于自己的身高，知△是等腰直角三角形，△是等腰直角三角形，故，
（2）证明△△，可得，故，即旗杆高度为12米；
（3）由△△，得，设 ，，则，知，同理可得，即得，从而，解出即可得雕塑高度约为．
【解析】（1）影长恰好等于自己的身高，
△是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，△是等腰直角三角形，
，
故答案为：11.3；
（2）如图：
由反射定律可知，，
又，
△△，
，即，
解得，
旗杆高度为12米；
（3）如图：
，，
△△，
，
设 ，，则，
，
同理可得，
，
，
解得；
经检验，是原方程的解，
故，
雕塑高度约为．
十．位似变换（共2小题）
43．（2024 绥化）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解析】以原点为位似中心，将矩形按相似比缩小，点的坐标为，
顶点在第一象限对应点的坐标为，，即，
故选．
44．（2024 浙江）如图，在平面直角坐标系中，△与△是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据点与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解析】△与△是位似图形，位似中心为点，点的对应点为，
△与△的相似比为，
点的坐标为，
点的对应点的坐标为，即，
故选．
十一．相似形综合题（共15小题）
45．（2024 临夏州）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【分析】（1）由矩形的性质得，而，所以，则；
（2）延长交于点，由，证明，则，求得，由，求得，则；
（3）延长交于点，由正方形的性质得，，设，可证明，得，则，求得，则，求得．
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
．
（2）解：如图1，延长交于点，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
的长是．
（3）解：如图2，延长交于点，
四边形是正方形，
，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
46．（2024 湖北）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当为的中点，，时，求的长；
（3）如图3，连接，当，分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明对应角相等，即可得到；
（2）根据，求得的长度，从而得出长度；
（3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系．
【解析】（1）证明：如图，
四边形是矩形，
，
，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
为中点，
，
设，
，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，即，
，
，
．
（3）解：如图，延长，交于一点，连接，
，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，
，直线，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
为中点，
设，
，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
47．（2024 赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△中，，点是上的一个动点，过点作于点，延长交延长线于点．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含，的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点作，垂足为点，连接，得到图2，当点运动到使时，若，直接写出的值（用含，的式子表示）．
【分析】（1）利用等角的余角相等即可得证；
（2）①过点作，利用平行线分线段成比例等腰三角形等线段转化即可得解；②与第①问思路一样；
（3）利用等线段转化得，在作平行线，利用平行线分线段成比例求解即可．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图，过点作，则，
△△，
，
，
，
．
②如图，过点作，则，
△△，
，
，
，
．
（3）解：设，
在△中和△中，，
，
，
，
．
则我们求出的值即可．
方法一：如图，过点作交的延长线于点，
，
，
同理，
．
．
方法二：如图，过点作交延长线于点，
同方法一，
，
由（2）②得，
，
．
方法三：如图，过作于点，
根据角平分线性质可得，
△和△可以看作等高三角形，同时也是等高三角形，
，
．
48．（2024 武汉）问题背景如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：△△．
问题探究如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
【分析】（1）根据中点可得出两边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似；
（2）由中点和平行线可以联想作倍长中线全等，即延长交延长线于点，作于点，证△△，再证△△即可得证；
（3）这一问是建立在第二问的基础上，所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过作于点，取中点，连接，设，则，，，证垂直平分得到，再证△△即可求解．
【解析】（1）证明：、分别是和中点，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
△△；
（2）方法一：如图延长交延长线于点，作于点，则四边形是矩形．
是中点，
，
，
，，
△△，
，
，，
，
，即，
，，
△△，
，
又，
，
；
方法二：如图，取中点，连接、，
是中点，是中点，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，是中点，
，
，
，
；
（3）如图，过作于点，取中点，连接，则四边形是矩形，
，
，
，
设，则，，
，
，，
，
是中点，
垂直平分，
，
是中点，
是△中位线，
，，
△△，
．
49．（2024 西宁）【感知特例】
（1）如图1，点，在直线上，，，垂足分别为，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
△ ，（两角分别相等的两个三角形相似）
，（相似三角形的对应边成比例）
即．
【建构模型】
（2）如图2，点，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在△中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质填空即可；
（2）证明△△，即可解决问题；
（3）证明△△，得，所以，得，然后根据二次函数的性质即可解决问题．
【解析】（1）证明：，，，
，
，
，
（同角的余角相等），
△△（两角分别相等的两个三角形相似），
（相似三角形的对应边成比例），
即．
故答案为：，，△，；
（2）解：成立，理由如下：
’ ，，
，
，
，
△△（两角分别相等的两个三角形相似），
（相似三角形的对应边成比例），
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
当时，的最大值为．
故答案为：4，．
50．（2024 济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一拓展探究
如图1，在△中，，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①_____ △△ ②_____
请完成填空：① ；② ；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断△的形状，并说明理由．
（二学以致用
（3）如图3，△是直角三角形，，，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时．求线段的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由，，得到△△，根据相似三角形的性质得到，求得，由（1）得，于是得到，根据相似三角形的性质得到，于是得到△是直角三角形；
（3）由，，得到△△，根据相似三角形的性质得到．如图，以点为圆心，2为半径作，则，都在上，延长到，使，交于，，，得到，根据相似三角形的性质得到，推出点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，即为最短的，连接，根据解得判定定理得到四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）①，
②，
故答案为：，；
（2）△是直角三角形，
，，
△△，
，
，
由（1）得，
，
，
，
△△，
，
△是直角三角形；
（3），，
△△，
．
．
如图，以点为圆心，2为半径作，则，都在上，延长到，使，交于，，，
，则，
，
△△，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，即为最短的，连接，
，
四边形是矩形，
在△中可求得，
．
51．（2024 资阳）（1）【观察发现】如图1，在△中，点在边上．若，则，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△中，，点为边的中点，，点在上，连接，．若，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点，分别在边，上，，延长，相交于点．若，，求的长．
【分析】（1）证明△△，得到，得出；
（2）过点作于点，过点作于点，证明△△，得出，即，解得：；
（3）连接，证明△△，得出，即，解得：．
【解析】（1）证明：，，
△△，
，
；
（2）解：过点作于点，过点作于点，
则，
，，
，，
为的中点，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，即，
解得：；
（3）解：连接，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，即，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
解得：，负值舍去，
，
，
，
△为直角三角形，，
，
在△中根据勾股定理得：，
，
，
△△，
，
即，
解得：．
52．（2024 广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△中，点为边上一点，连接．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
（3）创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【分析】（1）由，，证明△△，得，则；
（2）设，则，，根据相似三角形的性质得，则，求得，所以，而，则；
（3）解法一，作交的延长线于点，设，则，再证明，所以，求得，，则，，作交的延长线于点，则△△，所以，则，，再证明△△，得，则，，所以，则，求得．
解法二，取中点，连接、，则，由，得，，则，，可证明△△，设，则，，所以，则．
【解析】（1）证明：如图2，，，
△△，
，
．
（2）解：如图3，设，
点为中点，
，，
由（1）得△△，
，
，
或（不符合题意，舍去），
，
，
，
的长是．
（3）解法一：如图4，作交的延长线于点，则，
点为中点，
，
设，
，
，，
，
，
，，
，，
作交的延长线于点，则△△，
，
，，
，，
，
，
△△，
，
，
，，
，
，
解得，
，
的长是．
解法二：如图5，取中点，连接、，
点为中点，
是△的中位线，
，
，
，，
，，
，即，
△△，
，，，
，
设，则，
，
，
，
的长是．
53．（2024 广西）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得到△，旋转角为．连接，．
①求△面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当△是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【分析】（1）从问题出发，证，两个三角形有一个公共角，所以只需证一角相等即可，由题干很容易得出，即可得证；
（2）△的底是定长，所以只要找到高的最大值就可求出面积最值，当、重合时取最大值，此时最大值为，即可求解；
（3）首先有条件可知只有可能是，由特殊三角形和旋转的性质大胆猜测当点与重合时和当与重合时满足，进而求旋转角即可．
【解析】（1）证明：垂直平分，
，，
平分，
，
，
．
（2）解：①，，
，
在中，，
，
，
，
如图3，作于点，于点，连接，
在旋转的过程中，对应边，对应高，
在中，，
在中，，
，
如图4，当、重合时取最大值，此时最大值为，
，即△面积最大值是，
此时、、三点共线，．
②在旋转得过程中，等腰三角形的形状、大小不变，，
，同理，
△中只有可能，
垂直平分，
，，
（Ⅰ）如图5，当点与重合时，恰好在的延长线上，满足，此时；
（Ⅱ）如图6，当与重合时，点恰好在的延长线上，满足，此时．
综上，当△是直角三角形时，为或．
54．（2024 南充）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求的值．
（3）连接，当时，求的面积．
【分析】（1）首先推导出，然后推导出，进而得证；
（2）过点作于点，过点作于点．分别求得，，，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别解答即可；
（3）过点作，交的延长线于点，连接交于点．首先推导出，得到，进一步推导出，得到，，进而得到，是等腰直角三角形，利用，解得，最后利用解答即可．
【解析】（1）证明：四边形是正方形，
，
，，，
，
；
（2）解：方法一：过点作于点，过点作于点．
由题意知，，，，
，，，，，
，即，
，即，
，即，
①当时，则，
即，
整理得．
解得，（不合题意，舍去），
②当时，则，
即，
整理得，
解得；
③当时，则，
即，
整理得，该方程无实数解，
综上所述，当是直角三角形时，的值为秒或2秒；
（3）解：方法一：过点作，交的延长线于点，连接交于点．如图2，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，是等腰直角三角形，
，即，
，
．
方法二：，，
，
又，
，
，
，
，
，，，四点共圆，直径为，如图3，
，
，是等腰直角三角形，
，即，
，
．
55．（2024 广东）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到△．当点的对应点与点重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，连接，，作△的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点在上，．过点作，垂足为，，．在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形平行线证明即可得证；
（2）先证得到，再证，代入变形即可得证；
（3）利用特殊点，，，则就是以为直径的圆和以为直径的圆的交点，根据题意证在内部即可．
【解析】（1）证明：绕点按逆时针方向旋转，得到△，且与重合，
，
，
是的中位线，
，
，
，
．
（2）证明：连接，
旋转，
，，，
，
，
，
是的中位线，是△的中线，
，，
是△的中位线，
，
，
（3）解：存在，理由如下，
解法一：取中点，中点，连接，
是直径，是直径，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
是的切线，即在外，
作，
，，
，
，
，即，
在外，
点在四边形内部．
作，
，，
，，
，
和有交点．
故四边形内存在点，使得．
解法二：相似互补弓形，
分别以，为弦作和，使得△，两圆的交点即为所求．
作图步骤：①在四边形内任取一点，作得外接圆，圆心为，连接，，
②作的中垂线，
③以为圆心，为半径画圆交中垂线于点，
④以为圆心，为半径画圆，交于点，点即为所求．
证明：，
△，
，
，
，
．
故四边形内存在点，使得．
56．（2024 甘南州）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值；
（2）如图2，在矩形中，，点是上的一点，连接，，且，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【分析】（1）如图1，设与交于点，根据正方形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）如图2，设与交于点，根据矩形的性质得到，求得，得到，，于是得到；
（3）如图3，过点作交的延长线于点，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论．
【解析】（1）解：如图1，设与交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
；
（2）解：如图2，设与交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（3）证明：如图3，过点作交的延长线于点，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
△△，
，
，
．
57．（2024 贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 90 度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
【分析】（1）依题意画出图形，证四边形是矩形即可求解；
（2）过作于点，证矩形是正方形，得出，再证△△，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可证明；
（3）分在线段上和的延长线上讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解析】（1）解：如图，即为所求．
，，，
四边形是矩形，
，
故答案为：90．
（2）证明：如图，过作于点．
由（1）知四边形是矩形，
点在的平分线上，，，
，
矩形是正方形，
，，
，
，
又，，
△△，
，
，
．
（3）①当在线段上时，如图，延长、交于点．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
△△，
，
，
△△，
，
，
；
②当在的延长线上时，如图，过作于，并延长交于．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
，
又，，
△△，
，
，
，
，，
，
△△，
，即，
，
，
△△，
，
，
；
综上，的值为或．
58．（2024 镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点、分别在的边、上，，仅用一把无刻度的直尺作、的中点．
操作：如图2，连接、交于点，连接交于点，延长交于点，则、分别为、的中点．
理由：由可得及，所以，，所以，同理，由及，可得，，所以，所以，则，，即、分别为、的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，，点、在直线上．
①作线段的中点；
②在①中作图的基础上，在直线上位于点的右侧作一点，使得；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、、倍为正整数）的线段．如图4，，已知点、在上，他利用上述方法作出了点、在直线上，请在图4中作出线段的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，是的中位线．请在线段上作出一点，使得（要求用两种方法）．
【分析】实践操作（1）①根据【阅读理解】部分的作法：在上任取一点，得到，与交于点，交于点，连接，交于点，作射线交，分别于，，点即为所求点；
②作射线交于点，作射线交于点，点即为所求；
（2）根据上述作法，有两种作法；
【探索发现】如作法一，根据相似可知，连接，交于点，则，即点是的三等分点之一，由此可以得出过点作的平行线；同理可得点是的三等分点之一，则，即点为所求作点．
【解析】【实践操作】
（1）①如图，
点即为所求作的点；
②如图，
点即为所求作的点；
（2）如图，
作法一、
作法二、
点，即为所求作的点；
【探索发现】（3）如图，
作法一、
作法二、
作法三、
作法四、
作法五、
点即为所求的点．
59．（2024 齐齐哈尔）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求△的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则 ；
（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
【分析】（1）利用“一线三垂直“证△△即可得证；
（2）证△△可求长度，然后即可求出△的面积；
（3）要求的值，有两个方向，①把和的值求出来，这题很好求，但是不好求，可以建立坐标系求解析式，再求交点坐标，最后利用两点距离公式求的长度；②根据题干给我们的思路建立一线三直角得相似进行转化即可，利用△△和△△建立关于的方程，求出的长度，最后利用△△求值即可．
（4）由已知条件过作垂线段，可得两个直角三角形，然后解这两个直角三角形即可求解．另外方法二的正切和差角公式可以作为课外拓展知识，在这种直接写答案的题型中可以用下，快速找出答案．
【解析】（1）线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
△△，
；
故答案为：．
（2）线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
△△，
，，
，，
，，
，
，
，
△△，
，即，
，
，
．
（3）方法一：如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立坐标系，
由，，，，
，，，，
设直线解析式为，将、代入得，
，解得：，
直线解析式为，
同理可求直线解析式为：，
令，解得，
，即，，
利用两点距离公式可得，
，
．
故答案为：．
方法二：如图，过作于点，
由△△得，，即，
，
由△△得，，即，
解得，
由△△得，．
故答案为：．
（4）方法一：①当点在点左侧时，如图所示，过作于点，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
；
②当点在点右侧时，如图所示，作交延长线于点，
，，即，
剩下思路与第一种情况方法一致，求得．
综上，的长度为或．
方法二：补充知识：正切和差角公式：，．
①当点在点左侧时，因为，，所以此时点在的左侧，如图所示，
，
解得，即，
，
．
②当点在点右侧时，如图所示，
，
即，
，
．
综上，的长度为或．
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