苏科版数学七年级下册8.3多项式乘多项式（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·石家庄期中）已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
2．（2024七下·石家庄期中）若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024七下·新昌期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是( )
A． B．
C． D．
4．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为( )
A． B．
C． D．
5．（2024七下·鼓楼期中）计算
（1）
（2）
6．（2024七下·沿河期中）整式的计算：
（1）
（2）
7．（2024七下·长春月考）先化简，再求值：，其中．
8．（2024七下·法库期末）先化简，再求值：，其中．
9．（2024七下·邵阳期末）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶
（1）用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．
（2）当，时，求阴影部分面积．
10．（2024七下·汝州期中）阅读与思考
请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式：，，，… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为①，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②．
任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ．
任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关．探索过程如下：
；
；
；
…
（1）请直接写出： ；
（2）请用代数式表示小丽发现的这一规律：
任务三：观察：，，，……的计算结果，类比任务二，用代数式表示你发现的规律：
二、巩固提高
11．（2024七下·兴宁月考）观察以下等式：
；
；
（1）按以上等式，填空：_______；
（2）利用（1）中的公式，化简求值，其中，．
12．（2024七下·让胡路期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法：
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④．其中正确的有 ．
13．（2024七下·石家庄期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值．
14．（2024七下·榆阳月考）如图，某校有一块长米，宽米的长方形地块，后勤部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座孔子雕像．
（1）计算绿化地块的面积；
（2）当，时，绿化地块的面积是多少平方米？
三、拓展提升
15．（2024七下·诸暨期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．
16．（2024七下·顺德月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
（1）请在图中括号内的数为 ；
（2）展开式共有______项，第19项系数为______；
（3）根据上面的规律，写出的展开式：______；
（4）利用上面的规律计算：；
（5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程）
17．（2024七下·鼓楼月考）【阅读材料】周末，小红自学苏科版初中数学七年级下册的课本第9章内容，然后独立做完了第73页上一道例题：
例2计算：．
小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：，过程如图1；小红想：是否可以用这个方法计算？她尝试写了解题过程如图2，结果正确．
小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图3，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图4，爸爸亲自检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神．
【问题解决】下面请你从用中所学到的方法解决以下问题：
（1）小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 ．
A．数形结合
B．方程
C．类比
D．分类讨论
（2）请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算：；
（3）请计算的商式与余式．
（4）若，那么的值是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，
则该公园小草的面积=（a-2c）（b-c）=．
故答案为：D．
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
5．【答案】（1）
（2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
6．【答案】解：（1）原式，
；
（2）原式，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则进行计算，再合并同类项；
（2）先分别利用完全平方公式、平方差公式进行整式的乘法运算，然后再合并同类项．
7．【答案】，4
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
8．【答案】，0
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
9．【答案】（1）解：由题意得：
长方形的长为：，
长方形的宽为：，
大正方形的长为：，
；
（2）解：，，
．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，根据阴影部分面积的构成并结合去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可求解；
（2）将，代入（1）中的代数式计算，即可求解；
（1）解：由题意得：
长方形的长为：，
长方形的宽为：，
大正方形的长为：，
；
（2）解：，，
．
10．【答案】任务一：①；②25；任务二：（1）；（2）；任务三：
【知识点】多项式乘多项式
11．【答案】（1）
（2），
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
12．【答案】①③④
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
13．【答案】（1）
（2）32
【知识点】多项式乘多项式
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式
15．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
16．【答案】（1）6
（2）；
（3）
（4）解：∴当时，，
；
（5）解：(、、、、是一列常数) ，
，
刚好是的整数倍，
∴除结果的余数为，
∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四.
故答案为：四．
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：（1）图中括号内的数为，
故答案为：；
解：（2）由，展开式有项；
，展开式有项，倒数第三项系数为；
，展开式有项，倒数第三项系数为；
，展开式有项，倒数第三项系数为；
展开式有项，倒数第三项系数为；
……；
以此类推，展开式中共有项， 当时，倒数第三项的系数；
展开式共有项，第项系数为；
故答案为：；；
解：（3）根据图示，
故答案为：；
【分析】（1）根据“ 杨辉三角 ”中数据特点，每个数时肩上的两个数的和，即可得到答案；
（2）根据题设中的算式，得到展开式中共有项， 当时，倒数第三项的系数是，代入数据计算，即可得到答案；
（3）根据题设的算式的介个，依次顺推，即可得到展开式，得到答案；
（4）根据展开式，令 ，代入展开式计算，即可得到所求代数式的值；
（5）将变形为展开后前项和是的倍数，得到除结果的余数为，结合今天是星期五，那么再过天是星期四，即可得到答案．
17．【答案】（1）C
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）8
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故答案为：C；
（4）解：，
．
故答案为：8．
【分析】（1）利用数学常识及数学思想分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法列出算式求解即可；
（3）参照题干的的计算方法列出算式求解即可；
（4）结合，将其代数式计算即可.
（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故选：C；
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）解：，
．
故答案为：8．
1 / 1苏科版数学七年级下册8.3多项式乘多项式（分层练习）
一、基础夯实
1．（2024七下·石家庄期中）已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
2．（2024七下·石家庄期中）若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
3．（2024七下·新昌期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
4．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，
则该公园小草的面积=（a-2c）（b-c）=．
故答案为：D．
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
5．（2024七下·鼓楼期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
6．（2024七下·沿河期中）整式的计算：
（1）
（2）
【答案】解：（1）原式，
；
（2）原式，
，
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则进行计算，再合并同类项；
（2）先分别利用完全平方公式、平方差公式进行整式的乘法运算，然后再合并同类项．
7．（2024七下·长春月考）先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
8．（2024七下·法库期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，0
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
9．（2024七下·邵阳期末）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶
（1）用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．
（2）当，时，求阴影部分面积．
【答案】（1）解：由题意得：
长方形的长为：，
长方形的宽为：，
大正方形的长为：，
；
（2）解：，，
．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）由图可求得小长方形的长为，小长方形的宽为，可求大正方形的边长，根据阴影部分面积的构成并结合去括号法则“括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号”和合并同类项法则“合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”计算即可求解；
（2）将，代入（1）中的代数式计算，即可求解；
（1）解：由题意得：
长方形的长为：，
长方形的宽为：，
大正方形的长为：，
；
（2）解：，，
．
10．（2024七下·汝州期中）阅读与思考
请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式：，，，… 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为①，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②．
任务一：补全上面小丽的解答过程：① ；② ．
任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关．探索过程如下：
；
；
；
…
（1）请直接写出： ；
（2）请用代数式表示小丽发现的这一规律：
任务三：观察：，，，……的计算结果，类比任务二，用代数式表示你发现的规律：
【答案】任务一：①；②25；任务二：（1）；（2）；任务三：
【知识点】多项式乘多项式
二、巩固提高
11．（2024七下·兴宁月考）观察以下等式：
；
；
（1）按以上等式，填空：_______；
（2）利用（1）中的公式，化简求值，其中，．
【答案】（1）
（2），
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
12．（2024七下·让胡路期末）关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法：
①当时，；
②当为关于x的三次三项式时，则；
③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；
④．其中正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
13．（2024七下·石家庄期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值．
【答案】（1）
（2）32
【知识点】多项式乘多项式
14．（2024七下·榆阳月考）如图，某校有一块长米，宽米的长方形地块，后勤部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座孔子雕像．
（1）计算绿化地块的面积；
（2）当，时，绿化地块的面积是多少平方米？
【答案】（1）
（2）
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式
三、拓展提升
15．（2024七下·诸暨期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
16．（2024七下·顺德月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：
（1）请在图中括号内的数为 ；
（2）展开式共有______项，第19项系数为______；
（3）根据上面的规律，写出的展开式：______；
（4）利用上面的规律计算：；
（5）假如今天是星期五，那么再过天是星期几？（写过程）
【答案】（1）6
（2）；
（3）
（4）解：∴当时，，
；
（5）解：(、、、、是一列常数) ，
，
刚好是的整数倍，
∴除结果的余数为，
∴假如今天是星期五，那么再过天是星期四.
故答案为：四．
【知识点】多项式乘多项式；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：（1）图中括号内的数为，
故答案为：；
解：（2）由，展开式有项；
，展开式有项，倒数第三项系数为；
，展开式有项，倒数第三项系数为；
，展开式有项，倒数第三项系数为；
展开式有项，倒数第三项系数为；
……；
以此类推，展开式中共有项， 当时，倒数第三项的系数；
展开式共有项，第项系数为；
故答案为：；；
解：（3）根据图示，
故答案为：；
【分析】（1）根据“ 杨辉三角 ”中数据特点，每个数时肩上的两个数的和，即可得到答案；
（2）根据题设中的算式，得到展开式中共有项， 当时，倒数第三项的系数是，代入数据计算，即可得到答案；
（3）根据题设的算式的介个，依次顺推，即可得到展开式，得到答案；
（4）根据展开式，令 ，代入展开式计算，即可得到所求代数式的值；
（5）将变形为展开后前项和是的倍数，得到除结果的余数为，结合今天是星期五，那么再过天是星期四，即可得到答案．
17．（2024七下·鼓楼月考）【阅读材料】周末，小红自学苏科版初中数学七年级下册的课本第9章内容，然后独立做完了第73页上一道例题：
例2计算：．
小红忽然看到弟弟在用竖式乘法计算：，过程如图1；小红想：是否可以用这个方法计算？她尝试写了解题过程如图2，结果正确．
小红还联想到多项式除以多项式是否也可以运用竖式除法的方法进行，于是她先做了一道多位数除以多位数的除法计算题如图3，接着她尝试做了一道多项式除以多项式的习题如图4，爸爸亲自检验结果正确，并表扬了她善于思考、勇于探索的学习精神．
【问题解决】下面请你从用中所学到的方法解决以下问题：
（1）小红把多位数竖式乘法运算方法运用在多项式乘法运算上，这里运用的数学思想是 ．
A．数形结合
B．方程
C．类比
D．分类讨论
（2）请你尝试用小红的竖式乘法运算方法计算：；
（3）请计算的商式与余式．
（4）若，那么的值是 ．
【答案】（1）C
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）8
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故答案为：C；
（4）解：，
．
故答案为：8．
【分析】（1）利用数学常识及数学思想分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法列出算式求解即可；
（3）参照题干的的计算方法列出算式求解即可；
（4）结合，将其代数式计算即可.
（1）解：因为多项式乘法运算仿照了乘法运算法则，所以运用类比的思想．
故选：C；
（2）解：
；
用竖式表示为：
（3）解：用竖式表示为：
∴商式为，余式为；
（4）解：，
．
故答案为：8．
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