2.2 基本不等式 教学设计

基本不等式
教学目标：
1．探索并了解基本不等式的证明；
2．体会证明不等式的基本思想方法；
3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题。
教学重点：1.应用数形结合的思想理解基本不等式；
2.从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。
教学方法：情境教学法、讲授法、直观教学法
教学工具：多媒体
教学过程：
1、情景设置：
（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的。早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一。
（展示24届国际数学家大会会标）大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标。这个会标设计源于古代弦图。它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客。弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机,他的玄机当然不仅仅是像风车这么简单，今天咱们也来研究一下弦图。
二、引入新知：
问题一：请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形 它们在面积上有哪些相等关系和不等关系
有正方形和直角三角形；正方形ABCD的面积等于4个直角三角形的面积加上正方形EFGH的面积，即正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积之和。
如果令，那么，则正方形ABCD的面积，4个直角三角形的面积之和，故有。
问题二：它们有相等的时候吗？
(演示几何画板，学生观察，分析得出结果)。
我们可以得出当且仅当时，；
这其实就是一个从“形”到“数”的转化，运用了数学中非常重要的数形结合的思想方法。
故，当且仅当时，等号成立。
思考：同学们如何理解“当且仅当”？
当时，等号成立；
仅当时，等号成立。
问题三：如果是任意实数，这个结论还成立吗？若成立，你能给出证明吗？ （学生自主完成）
证明：
当且仅当时，等号成立。
这是作差比较法，将得到的差值与零作比较。
因此我们可以得出结论1：
一般地，对于任意实数，我们有，当且仅当时，等号成立。
这是一个很重要的不等式，对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。
问题四：如果，用分别代替，结果如何？
可得。
通常我们把上式写为
我们可以得出结论2：
基本不等式： 如果，则有，当且仅当时，等号成立。
思考：能否用不等式的性质进行证明？（学生活动）
证法一：作差比较法。
沿用问题三的证明过程，用分别代替可得出证明。
证法二：请同学们把以下证明过程补充完整：
要证 ①
只要证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证 ④
显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立 。
这种证明方法叫“分析法”，实际就是执果索因的思想方法。
同学们还有没有用不等式的性质证明这个不等式的其他方法？这个问题请大家在课后进行探讨。
我们常把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，因此我们可以给出基本不等式的代数解释：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
思考：能否用几何方法进行证明？
思考：能否找出图中与和相关的线段 ？
易知是直径，就是半径，比如半径DO=；
可知～，则半弦CD=；
显然半弦CD半径DO，故。
因此我们可以得出基本不等式的几何解释：半弦不大于半径。
或者认为是：直角三角形斜边上的高不大于斜边的一半。
除此以外你还可以想到基本不等式的其他解释吗？前面我们刚学了数列，和在数列中分别表示什么？
分别表示正数的等差中项与等比中项。
因此，从数列的角度看：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
可以看出我们可以从不同的角度去理解基本不等式。
三、例题讲解、强化认知
学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？运用基本不等式的不同形态我们可以解决不同类型的问题。
形态一：
例1. 若，求的最小值。
分析：直接运用形态一
解：
当且仅当即时，y取最小值2。
结论1：已知 x, y 都是正数, P 是常数.
则（当且仅当时，取“=”号）
简称为“积定和最小”。
练一练：下列函数最小值是2的是（ ）
注意：利用求最值时要注意：
（1）各项皆为正数；
（2）和为定值；
（3）注意等号成立的条件。
即“一正，二定，三相等”。
形态二：
例2.若，求的最大值。
解：
=
当且仅当，即时，y取最大值。
注意：一正，二定，三相等。
结论2：已知 x, y 都是正数, S 是常数.
则（当且仅当时，取“=”号）
简称为：“和定积最大”
小结：不论利用哪种形态的基本不等式求最值，都要注意以下几点：
（1）各项皆为正数；
（2）和或积为定值；
（3）注意等号成立的条件。
即“一正，二定，三相等”。
在生活中基本不等式有什么用呢？我们来看看下一个例题：
例3 用篱笆围成一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
解：设菜园的长、宽分别为、，则，篱笆的长为。
显然
由可得，
当且仅当时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短为40m。
小结：一定要注意运用基本不等式的三个限制条件：“一正，二定，三相等”。
练一练：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
四、反思小结，概括提炼
1、掌握了两个不等式；
2、掌握了基本不等式的简单应用，求最值的时候要注意：一正，二定，三相等；积定和最小与和定积最大。
3、感受了数形结合的数学思想。著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”可见数形结合的思想非常重要，是解决数学问题的非常强大的思想武器。
（六）作业布置
1.已知，求的最值。
2.已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论。