广东省茂名市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题（含答案）

广东省茂名市2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则( )
A. B. C. D.
3.若直线与直线平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知的顶点，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
5.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得元奖金比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？( )
A. 甲元，乙元 B. 甲元，乙元
C. 甲元，乙元 D. 甲元，乙元
6.若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则( )
A. B. C. D.
7.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为( )
A. B. C. D.
8.过双曲线的右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点、均在轴右侧已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程为实数表示的曲线，则( )
A. 曲线不可能表示一个圆 B. 曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C. 曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D. 曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
10.已知随机事件，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则事件与事件相互独立
B. 若，则事件与事件互为对立事件
C. 若事件，，两两互斥，则
D. 若事件，，两两独立，则
11.如图，曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 曲线关于对称 B. 的最大值为
C. 该椭圆的离心率为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的实轴长为，则正数 。
13.已知点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是 。
14.“若点为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一已知椭圆，点是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直线经过两直线和的交点．
若直线与直线垂直，求直线的方程
若直线与圆相切，求直线的方程．
16.(本小题15分)
流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播。科学测定, 当空气相对湿度大于65%或小于40%时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在45%-55%时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[a,b).
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)
频数 2 3 15 30 50 75 120 5
(1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率;
(2)从区间[15,35)的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于[25,35)内的概率.
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
证明：平面
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知圆关于直线对称．
求圆的标准方程
若直线与圆相交于、两点，求
在的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值．
19.本小题分
如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于，与，，当时，为的中点．
求抛物线的方程
若，证明：
若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，则．
因为，，所以，
故．
故选D．
2.【答案】
【解析】根据题意可得，所以，解得．
故选B．
3.【答案】
【解析】
由题意，得，解得或，
经检验，当时，两直线重合，应舍去，
故，
则直线与直线之间的距离为．
故选D
4.【答案】
【解析】由题意可得：，
，
，
，
，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】
乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为，
所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，
所以甲元，乙元，
故选：．
6.【答案】
【解析】圆的标准方程为，
圆心坐标为，
依题意得，所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】
因为平面，平面，平面均与直线垂直，
所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，且互不相等，
故共有个不同的值．
故选A．
8.【答案】
【解析】因为，在轴右侧，不妨设在第一象限．
如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，
由得四边形为正方形，
由焦点到渐近线的距离为得，
又，所以，
又，
所以，
所以，
从而可得．
故选C．
9.【答案】
【解析】
若曲线表示圆，
则，解得，
则曲线的方程为，无意义，A正确．
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，
则，不等式无解，不正确．
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，C正确．
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则 解得，D正确．
故选ACD．
10.【答案】
【解析】对于，根据事件独立性的定义可得独立，故A正确；
对于，投掷一个骰子，记事件：骰子的点数为奇数，
记事件：骰子的点数小于，
则，
满足，
但不是对立事件，故B错误；
对于，若两两互斥，
根据互斥事件的概率性质可得，故C正确；
对于：考虑从，，，中随机选出一个数字，
记事件“取出的数字为或”，“取出的数字为或”，“取出的数字为或”，
则“取出的数字为”，
显然，
，
满足，，，
所以事件，，两两独立，但是，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】由方程可以看出其关于，对称，A正确
由题意知，
因为，，
所以，
则，当且仅当时，取等号，故B正确
联立方程，
解得顶点坐标为和，
同理可得另外两个顶点坐标为和，
所以椭圆长轴长为
椭圆的短轴长为，，
所以该椭圆的离心率为：，C错误
看作关于的一元二次方程，
由，解得，D正确，
故选ABD．
12.【答案】
【解析】双曲线的实轴长为，
可得，解得或舍去．
故答案为．
13.【答案】
【解析】直线恒过点
，
若直线与线段有公共点，
则，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
如图，延长与，相交于点，则平分，且，
所以，且点是的中点，
由椭圆的定义知，，
所以，即，
连接，
因为是的中点，所以，
设点，
则，
所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆，
易知，
当在如图位置即圆与轴左交点时，最小，
．
故答案为．
15.【解析】直线经过两直线：和：的交点，
联立两直线：和：，
解得，，即交点坐标为，
直线的斜率为，因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
若直线与圆相切，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即，
根据题意得：圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为：，
综上：直线的方程为或．
16.【答案】（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快，
而样本在上的频数为，所以所求频率为；
（2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于内”，
设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含、、、、、、、
、、，共个样本点，
而事件包含，，，，，，共6个样本点，
所以.

17.【解析】证明：因为为等边三角形，为的中点，
所以，
因为，，，由，得，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面；
由可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，
由可知，轴平面，不妨取平面的法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.【解析】圆的方程可化为，圆心为，
因为圆关于直线对称，
所以，得，
所以圆的标准方程为
由得圆心为，半径，
直线方程为 ，
则圆心到直线的距离，直线与圆相交，
所以 ．
圆 的圆心为 ，半径为，
点 到直线： 的距离为，
点到直线距离的最大值为 ，
所以面积的最大值为 ．
19.【解析】联立消去，可得，
设，，则，，抛物线方程为：；
，设，，其中，，
代入，
，，
，
，
，
，
同理，
，，，；
过点，，
同理设，过点，
，结合可得，，
，恒过点．
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