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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1.下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可．
【解析】解：①，是方程；
②，不含未知数，不是一元一次不等式；
③，是代数式，不是不等式；
④，是一元一次不等式；
⑤，是一元一次不等式．
故选：A．
2.已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解析】解：∵，
∴当时，；当时，，故结论错误；
∵，
∴当时，；当时，，故结论错误；
∵，
∴，故结论错误；
∵，，
∴，
∴，故结论正确；
∴正确的个数是个，
故选：．
3.下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
【答案】D
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．
【解析】解：解不等式，
可得．
A.由于，故不是不等式的解，故选项错误；
B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确；
故选D．
4.不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式可得解集为，再在数轴上表示解集即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
在数轴上表示为：
．
故选：D．
5.下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程．
解：由①，得第一步 第二步 由②，得第三步 第四步 不等式组的解是第五步
【答案】第一次出错在第三步；
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．根据去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，即可求解．
【解析】解：解不等式组的过程有错误，第一次出错在第三步；
由①得，
，
由②得，
，
所以不等式组的解是．
一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
要点：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．
要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）
方程（组）、不等式问题 函 数 问 题
从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标.
求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标.
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
1.若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可．
【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
∴．
故选D．
2.年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键．
根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案．
【解析】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是，
故选：D．
3.．若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可．
【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
∴．
故选D．
4．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可．
【解析】解：根据图示，可得，
∴．
故选：C．
5．将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键．
不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解析】解：∵，
∴，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故选：B．
6．已知．
(1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______；
(2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
【答案】(1)1，，，，8，4
(2)＞
(3)见解析
【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．
（1）分别将，，代入A，B的代数式求解即可；
（2）观察（1）中结果即可解答；
（3）利用作差的方法比较A，B的大小．
【解析】（1）解：当时，
，
；
当时，
，
；
当时，
，
；
故答案为：1，，，，8，4
（2）解：由（1）可得，当时，；当时，；当时，；
猜想：无论a为何值，始终成立．
故答案为：＞
（3）解：
∵，
∴，
∴，
∴．
7．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ．
【答案】-3
【解析】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式,
∴k-3≠0且|k|-2=1,
解得k=-3.
8．若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定a的范围．
【解析】解，
解①得，
解②得，
则不等式组的解集是．
∴，
∴，
∵不等式组有1个整数解，则整数解是0．
∴，
解得：
综上：，
故答案是：．
9．解不等式（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】（1）解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为．
10.已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可.
（1）方程组，得：，进而得，即可求解；
（2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可．
【解析】（1）解：方程组，得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：解方程组得：，
可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；
若x是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形；
若是等腰三角形的腰，
则，解得：；
此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形；
综上所述：
11.（2024·广东惠州·二模）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
(1)消毒液和洗手液的单价各是多少元
(2)学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
【答案】(1)消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
(2)最多可以购买50瓶消毒液．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，取最大整数解，即可求解．
【详解】（1）解：设消毒液和洗手液的单价分别为x元和y元，
依题意得：
解得：
答：消毒液和洗手液的单价分别为15元和10元．
（2）设可以购买m瓶消毒液，则可以购买瓶洗手液，
依题意得： ，
解得： ．最大整数解为
答：最多可以购买50瓶消毒液．
12.（2024·广东广州·一模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
【答案】(1)购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元
(2)这个文具店至少购进甲种圆规80个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：
（1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；
（2）解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，
根据题意，得，
解得，
答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．
13.（2024·广东佛山·三模）“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元．
(1)求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？
(2)村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
【答案】(1)种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元
(2)甲种水稻的种植面积最少亩
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：种植30亩甲种水稻的收入种植50亩乙种水稻的收入万元，种植50亩甲种水稻的收入种植30亩乙种水稻的收入万元，据此列出方程，即可求解；
（2）不等关系式：种植甲种水稻的亩数种植乙种水稻的亩数，据此列出不等式，即可求解；
找出等量关系式、不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植乙种水稻平均每亩收入万元，由题意得
，
解得：，
答：种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元；
（2）解：设种植甲种水稻亩，则种植乙种水稻（）亩，由题意得
，
解得：，
答：甲种水稻的种植面积最少亩．
1．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解．
【解析】解：∵山岭主峰海拔超过1500米．
∴，
故选：B．
2.以下表达式：；；；；．其中不等式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．
【解析】解：是不等式；
是不等式；
是整式；
是等式；
是不等式；
综上：是不等式，共个，
故选：．
3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【解析】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【解析】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
5.不等式的负整数解有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案．
【解析】解：
不等式的负整数有，，，，共四个，
故选：C．
6.若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得．
【解析】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意；
B、由可得，则，则此项错误，符合题意；
C、由可得，则此项正确，不符合题意；
D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意；
故选：B．
7.若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设有x间宿舍，根据“每间住4人，2人无处住”可得学生有人，再根据“每间住6人，空一间还有一间不空也不满”列出不等式组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
【解析】解：设有x间宿舍，则学生有人，由题意得：
．
故选：C．
8．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数与不等式，解此题的关键在于从一次函数的图象上获取信息．
直接从一次函数的图象上即可得到答案．
【解析】解：由题图可知，当时，，即，
∴不等式的解集为．
故选：D．
9．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解．
【解析】解：由不等式，得，
都能使不等式成立，
当，即时，则都能使恒成立；
当时，不等式的解集为，不符合题意，
，即，
不等式的解集为，
都能使不等式成立，
，
解得：，
∴此时
综上，实数m的取值范围是，
故选：C．
10．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（ ）
A．16题 B．15题 C．14题 D．17题
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系，列出不等式．设答对道题，答错或不答的题目为道，根据选手要得到70分以上（含70分），列出不等式，解不等式即可．
【解析】解：设答对道题，答错或不答的题目为道，根据题意，得：
，
解得，
∴至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）．
故选：A．
11．如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合运用.首先根据题意可知不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围，据此进一步分析求解即可.
【解析】解：由题意可得：直线与直线相交于点A，
∴不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围，
观察图象可知，当时，直线在直线的下方且都在轴的下方，
∴不等式的解集为：，
故选：A.
12．不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．
先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可．
【解析】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式组的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：C．
13.已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ．
【答案】-3
【解析】∵(k-3)x|k|-2+1>0是关于x的一元一次不等式,
∴k-3≠0且|k|-2=1,
解得k=-3.
14.已知，用“＞”或“＜”填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】 ＜ ＞ ＞ ＜
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
【解析】解：解：（1）不等式两边都加2，不等号的方向不变，
故答案为：＜；
（2）不等式两边都乘，不等号的方向改变，
故答案为：＞；
（3）∵，∴，∴，
故答案为：＞．
（4）∵，∴，∴，
故答案为：＜．
15．不等式组的所有整数解的和为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得．
【解析】，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：，
整数解为：3、4，
其和为：7，
故答案为：7．
16．如图，函数和的图象交于点则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析 】先利用A点坐标，然后观察函数图得到当x＜2 时，y=x的图象都在直线的下方，由此得到不等式x＜ax+4的解集．
【解析】解： A（2，3），
观察函数图得到：当x＜2 时，
y=x的图象都在直线的下方，
不等式x＜ax+4的解集x＜2．
故答案为：．
17．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键．
根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即．
【解析】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是．
故答案为：．
18．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解析】（1）解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
（2）由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
19．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围．
【解析】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式组有四个整数解，即为，
∴，
故答案为：．
20．解不等式与不等式组：
(1)解不等式：．
(2)解不等式组：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）．熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键．
（1）先去分母，然后去括号、移项合并，最后系数化为1即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．
【解析】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：；
（2）解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴，
∴，
解得：，
∴不等式组的解集为：.
21.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据题意得，
解得，
答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据题意得，
解得，
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
22.（2024·广东深圳·中考真题）
背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
【答案】任务1：；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案
【解析】
【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
任务1：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了n辆购物车，L是车身总长，即可作答．
任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答．
任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次”，列式，再解不等式，即可作答．
【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加
∴
任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，
令，
解得：
∴一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：设x次扶手电梯，则次直梯，
由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次
可列方程为：，
解得：，
∵x为整数，
∴，
方案一：直梯3次，扶梯2次；
方案二：直梯2次，扶梯3次：
方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三种方案.
（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：A．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
B．∵，
∴，则此项错误，不符题意；
C．∵，
∴，则此项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，则此项正确，符合题意；
故选：D．
（2023·广东广州·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：B．
（2023·广东·中考真题）一元一次不等式组的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】第一个不等式解与第二个不等式的解，取公共部分即可.
【详解】解：
解不等式得：
结合得：不等式组的解集是，
故选：D．
（2021·广东深圳·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式性质求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：不等式x-1＞2，
解得：x＞3．
表示在数轴上为：
故选：D．
（2020·广东·中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2 3x≥ 1，得：x≤1，
解不等式x 1≥ 2（x＋2），得：x≥ 1，
则不等式组的解集为 1≤x≤1，
故选：D．
（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
（2023·广东·中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
【答案】8.8
【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得，
解得：；
故答案为8.8．
（2022·广东·中考真题）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解出两个不等式，根据求不等式组解集的口诀得到解集．
【详解】解：
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集是．
（2022·广东广州·中考真题）解不等式：
【答案】
【分析】先移项合并同类项，然后将未知数系数化为1即可．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
不等式两边同除以3得：．
（2020·广东广州·中考真题）解不等式组：．
【答案】x≥3
【分析】根据解不等式组的解法步骤解出即可．
【详解】
由①可得x≥3,
由②可得x>2,
∴不等式的解集为：x≥3．
（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】(1)A、B玩具的单价分别为50元、75元；
(2)最多购置100个A玩具．
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
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第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组
1.下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.已知，下列结论：；；若，则；若，则，其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．．
3.下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
．
4.不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5.下面解不等式组的过程有没有错误？若有错误，请指出第一次出错在哪一步，并写出你的解题过程．
解：由①，得第一步 第二步 由②，得第三步 第四步 不等式组的解是第五步
一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
要点：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．
要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）
方程（组）、不等式问题 函 数 问 题
从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标.
求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标.
求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
1.若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
2.年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
3.．若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
4．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知．
(1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______；
(2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
7．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ．
8．若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ．
9．解不等式（组）：
(1)；
(2)．
10.已知关于的方程组．
(1)若方程组的解满足，求的取值范围．
(2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值．
11.（2024·广东惠州·二模）某中学计划购买消毒液和洗手液两种物品．若购买10瓶消毒液和3瓶洗手液需用180元；若购买4瓶消毒液和6瓶洗手液需用 120 元．
(1)消毒液和洗手液的单价各是多少元
(2)学校决定购买消毒液和洗手液共110瓶，总费用不超过1350元，最多可以购买多少瓶消毒液
12.（2024·广东广州·一模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．
(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；
(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？
13.（2024·广东佛山·三模）“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元．
(1)求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？
(2)村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？
1．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
2.以下表达式：；；；；．其中不等式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
5.不等式的负整数解有（ ）个．
A． B． C． D．
6.若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7.若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
8．一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．．
10．某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（ ）
A．16题 B．15题 C．14题 D．17题
11．如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
12．不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13.已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝ ．
14.已知，用“＞”或“＜”填空：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
15．不等式组的所有整数解的和为 ．
16．如图，函数和的图象交于点则不等式的解集为 ．
17．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ．
18．解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来
19．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是
20．解不等式与不等式组：
(1)解不等式：．
(2)解不等式组：
21.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
22.（2024·广东深圳·中考真题）
背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
（2024·广东广州·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东广州·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
（2023·广东·中考真题）一元一次不等式组的解集为( )
A． B． C． D．
（2021·广东深圳·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
（2020·广东·中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
（2023·广东·中考真题）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 折．
（2022·广东·中考真题）解不等式组：．
（2022·广东广州·中考真题）解不等式：
（2020·广东广州·中考真题）解不等式组：．
（2023·广东深圳·中考真题）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
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