第2课时 解含分母的一元一次方程
1．(教材P12例5变式)解方程＝1－，去分母后正确的是( )
A．3(x－1)＝1－(2x＋1)
B．3(x－1)＝6－(2x＋1)
C．3x－1＝1－(2x＋1)
D．3(x－1)＝6－2x＋1
2．已知关于x的方程2x－＝0的解是x＝－2，则a的值为( )
A．－21 B．21 C．－3 D．3
3．代数式3x＋1与的值互为相反数，则x的值为( )
A． B．－ C．－ D．
4．若代数式比的值多1，则a＝( )
A．－5 B．－ C．5 D．
5．若单项式amb3与－2a2bn的和仍是单项式，则方程－＝1的解为( )
A．x＝－23 B．x＝23
C．x＝－29 D．x＝29
6．小红在解方程＝＋1时，第一步出现了错误：
解：2×7x＝（4x－1）＋1. ……
(1)解方程的错误原因是______________；
(2)写出你的解答过程．
7．解方程：
(1)x－3＝x＋1；
(2)－1＝.
8．小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是＋1＝x，怎么办呢？小明想了想，便翻了书后的答案，此方程的解为x＝－2.5，请你帮忙算一下被污染的常数是多少？
1．方程－＝1的解为( )
A．x＝－2 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝1
2．(教材P13练习T1变式)将方程－＝1去分母得到方程2x－4－3x＋3＝6，其错误的原因是( )
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘以了分母为1的项
C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误
D．去分母时，分子未乘以相应的数
3．小明在解方程＝－1去分母时，方程右边的－1没有乘以2，因而求得的解为x＝1，则原方程的解为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
4．关于x的两个一元一次方程2x＋1＝－5与＝－5(x－1)的解互为相反数，则m的值为( )
A．－26 B．26 C．15 D．－15
5．某同学解方程x－x＝1的过程如下框：
解：x－x＝1. 两边同时乘以10，得x－x＝10.……① 合并同类项，得x＝10.……② 系数化为1，得x＝60.……③
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
6．(2024重庆两江新区月考)解方程：
(1)∶＝；
(2)＋－＝0.
7．阅读解方程的途径．
(1)按照图1所示的途径，填写图2内空格．
图1
图2
①__________；②__________；
(2)已知关于x的方程＋c＝的解是x＝1或x＝2(a、b、c均为常数).求关于x的方程＋c＝(k、m为常数，k≠0)的解(用含k、m的代数式表示).
8．(运算能力)已知x＝3是关于x的方程＝2的解，n满足关系式|2n＋3m|＝0，求m＋n的值．
【详解答案】
课堂达标
1．B 2.C 3.A 4.C 5.A
6．解：(1)常数项1漏乘以6
(2)＝＋1，
去分母，得2×7x＝(4x－1)＋6.
去括号，得14x＝4x－1＋6.
移项，得14x－4x＝－1＋6.
合并同类项，得10x＝5.
系数化为1，得x＝.
7．解：(1)移项，得x－x＝1＋3.
合并同类项，得－x＝4.
系数化为1，得x＝－8.
(2)去分母，得3(3y－1)－12＝2(5y－7).
去括号，得9y－3－12＝10y－14.
移项，得9y－10y＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－y＝1.
系数化为1，得y＝－1.
8．解：设□为a，把x＝－2.5代入方程，得＋1＝－2.5.去分母，得2－2.5a＋3＝－7.5.移项、合并同类项，得－2.5a＝－12.5.解得a＝5.故被污染的常数是5.
课后提升
1．B 解析：去分母，得3(3x＋5)－2(2x＋2)＝6.去括号，得9x＋15－4x－4＝6.移项，得9x－4x＝6－15＋4.合并同类项，得5x＝－5.
系数化为1，得x＝－1.故选B.
2．C 解析：去分母，得2(x－2)－3(x＋1)＝6，去括号，得2x－4－3x－3＝6，
则其错误的原因是去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误．故选C.
3．C 解析：∵小明在解方程＝－1去分母时，方程右边的－1没有乘以2，因而求得的解为x＝1，
∴把x＝1代入方程2x－1＝x＋a－1，得2－1＝1＋a－1，解得a＝1，
即方程为＝－1，
解得x＝0.故选C.
4．A 解析：解方程2x＋1＝－5，得x＝－3，∵一元一次方程2x＋1＝－5与＝－5(x－1)的解互为相反数，∴一元一次方程＝－5(x－1)的解是x＝3.把x＝3代入，得＝－5×(3－1)，解得m＝－26.故选A.
5．解：最早出现错误的步骤是①，
正确的解法如下：对于方程x－x＝1，
将系数的分子、分母化为整数，得
x－x＝1.
合并同类项，得x＝1.
未知数的系数化为1，得x＝6.
6．解：(1)∶＝，
∴x＝×0.4.
∴x＝.
解得x＝.
(2)＋－＝0，
∴＋－＝0.
∴400x＋1 300－3(1 400－300x)＝0.
∴1 300x＝2 900.
解得x＝.
7．解：(1)①x－1＝2 ②x＝3
(2)由题意，得kx＋m＝1或kx＋m＝2，
解得x1＝，x2＝.
8．解：将x＝3代入方程
＝2中，得
＝2，
解得m＝－.
将m＝－代入关系式|2n＋3m|＝0中，得＝0，
∴2n－8＝0，
解得n＝4.
∴m＋n＝－＋4＝.2．解一元一次方程
第1课时 解含括号的一元一次方程
1．(2024哈尔滨道里区月考)下列方程中是一元一次方程的是( )
A．2x＝3y B．x＝9
C．x2＋(x－1)＝1 D．－2＝x
2．已知方程(m－2)x|m|－1＋16＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为________．
3．若关于x的方程3xm－2－m＝0是一元一次方程，则m＝________，方程的解为________．
4．解方程2－3(2－3x)＝2，去括号正确的是( )
A．2－6－9x＝2 B．2－6－3x＝2
C．2－6＋9x＝2 D．2－6＋3x＝2
5．一元一次方程－3(x－1)＝5(x＋2)，去括号得( )
A．－3x－1＝5x＋2
B．－3x－3＝5x＋10
C．－3x＋1＝5x＋2
D．－3x＋3＝5x＋10
6．若关于x的方程2x－(1－a)x＋9＝0的解是x＝3，则a的值为( )
A．－6 B．－4 C．4 D．6
7．(2024石家庄藁城区期末)阅读框图，在四个步骤中，依据“等式的基本性质”的步骤是________(填序号).
解：4－7x＝2(3－x). 去括号，得4－7x＝6－2x.…① 移项，得－7x＋2x＝6－4.…② 合并同类项，得－5x＝2.…③ 系数化为1，得x＝－.…④
8.若2(x＋3)的值与4(1－x)的值相等，则x的值为________．
9. 解下列方程：
(1)5x＋2＝3(x＋2)；
(2)3(x－2)＝x－(7－8x)；
(3)4(x－2)＝3(1＋3x)－12；
(4)5x－3(2x＋1)＝6x－4(5－3x).
1．(教材P12例4变式)对于方程2(2x－1)－(x－3)＝1，去括号正确的是( )
A．4x－1－x－3＝1 B．4x－1－x＋3＝1
C．4x－2－x－3＝1 D．4x－2－x＋3＝1
2．解方程4.5(x＋0.7)＝9x，最简便的方法应该首先( )
A．去括号
B．移项
C．方程两边同时乘以10
D．方程两边同时除以4.5
3．(2024福州连江县期末)解方程2(x－1)＝1时，“去括号”将其变形为2x－2＝1的依据是( )
A．乘法结合律 B．乘法分配律
C．等式的基本性质1 D．等式的基本性质2
4．方程－3(★－9)＝5x－1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，则★处的数字是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(2024北京西城区期中)阅读下面解方程3(3x＋1)＝2(x－2)的步骤，完成填空：
解：去括号，得9x＋3＝2x－4.
移项，得9x－2x＝－4－3.依据________.
合并同类项，得7x＝－7.
系数化为1，得x＝________.
6．对于两个非零的有理数a、b，规定a b＝2b－3a，若(5－x) (2x＋1)＝1，则x的值为________．
7．若方程3(2x－1)＝5＋4x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋2)的解互为相反数，则2k－3的值是________．
8．解方程：
(1)2－2(x－1)＝3x＋4；
(2)3x－(x－5)＝2(2x－1)；
(3)5(x＋8)－5＝－6(2x－7)；
(4)－1＝－1.
9. 已知kx4k－5＋5＝3k是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程．
10．(运算能力)方程2(x－1)－3(x＋1)＝0的解与关于x的方程－3k－2＝2x的解互为相反数，求k的值．
【详解答案】
课堂达标
1．B 2.－2 3.3 x＝1
4．C 5.D 6.B
7．②④ 8.－
9．解：(1)5x＋2＝3(x＋2)，
去括号，得5x＋2＝3x＋6.
移项，得5x－3x＝6－2.
合并同类项，得2x＝4.
将未知数的系数化为1，得x＝2.
(2)3(x－2)＝x－(7－8x)，
去括号，得3x－6＝x－7＋8x.
移项，得3x－x－8x＝－7＋6.
合并同类项，得－6x＝－1.
将未知数的系数化为1，得x＝.
(3)4(x－2)＝3(1＋3x)－12，
去括号，得4x－8＝3＋9x－12.
移项，得4x－9x＝－12＋3＋8.
合并同类项，得－5x＝－1.
将未知数的系数化为1，得x＝.
(4)5x－3(2x＋1)＝6x－4(5－3x)，
去括号，得5x－6x－3＝6x－20＋12x.
移项，得5x－6x－6x－12x＝－20＋3.
合并同类项，得－19x＝－17.
将未知数的系数化为1，得x＝.
课后提升
1．D 解析：方程2(2x－1)－(x－3)＝1，去括号，得4x－2－x＋3＝1.故选D.
2．D 解析：解方程4.5(x＋0.7)＝9x，最简便的方法应该首先方程两边同时除以4.5，得x＋0.7＝2x，解得x＝0.7.故选D.
3．B 解析：2(x－1)＝2x－2，是依据乘法分配律运算的．故选B.
4．A 解析：将x＝5代入方程，得
－3(★－9)＝25－1，解得★＝1，即★处的数字是1.故选A.
5．等式的基本性质1 －1
6．2 解析：根据题中的新定义，得2(2x＋1)－3(5－x)＝1，去括号，得4x＋2－15＋3x＝1，移项、合并同类项，得7x＝14，解得x＝2.
7．7 解析：解3(2x－1)＝5＋4x，得x＝4，∵两方程的解互为相反数，∴将x＝－4代入6－2k＝2(x＋2)，得6－2k＝2×(－4＋2)，解得k＝5.∴2k－3＝10－3＝7.
8．解：(1)去括号，得2－2x＋2＝3x＋4.
移项、合并同类项，得－5x＝0.解得x＝0.
(2)去括号，得3x－x＋5＝4x－2.
移项、合并同类项，得－2x＝－7.解得x＝.
(3)去括号，得5x＋40－5＝－12x＋42.
移项、合并同类项，得17x＝7.解得x＝.
(4)去括号，得
－1＝－1，
－1＝－1，
x－－－－1＝－1.
方程两边都乘以16，得x－2－4－8－16＝－16.
解得x＝14.
9．解：∵kx4k－5＋5＝3k是关于x的一元一次方程，
∴4k－5＝1.解得k＝.
故原方程为x＋5＝.
化简，得x＝－.
解得x＝－.
10．解：方程2(x－1)－3(x＋1)＝0，
去括号，得2x－2－3x－3＝0.
移项、合并同类项，得－x＝5.解得x＝－5.
则关于x的方程－3k－2＝2x的解为x＝5，
把x＝5代入－3k－2＝2x，得－3k－2＝10.
方程两边都乘以2，得k＋5－6k－4＝20.
移项、合并同类项，得－5k＝19，解得k＝－.第3课时 列一元一次方程解决实际问题
1．已知九年级(1)班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则( )
A．2x＋3(72－x)＝30
B．3x＋2(72－x)＝30
C．2x＋3(30－x)＝72
D．3x＋2(30－x)＝72
2．(数学文化)《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2 h，箭尺读数为18 cm；供水6 h，箭尺读数为42 cm.若设箭尺每小时上升x cm，则可列方程为( )
A．18－2x＝42－6x
B．2x＋6x＝42＋18
C．18－＝42－
D．2x＋18＝6x＋42
3．某班有52名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少17人，则女生有________人．
4．(2024盐城中考)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问：绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺．
5．某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量.
6．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作，已知截成10 cm的导线根数是20 cm的导线根数的3倍，求截成10 cm的导线根数．
1．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为( )
A．10x＋5(x－1)＝70
B．10x＋5(x＋1)＝70
C．10(x－1)＋5x＝70
D．10(x＋1)＋5x＝70
2．文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元，”小华说：“那就多买一个吧，谢谢．”根据两人的对话可知，小华结账时实际付了( )
A．540元 B．522元
C．486元 D．469元
3．(2024烟台中考)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问：织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问：一共织了多少布( )
A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺
4．中国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问：生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两(中国古代1斤等于16两).今有干丝12斤，问：原有生丝多少？”则原有生丝为________斤．
5．中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5 h缩短至1 h，运行里程缩短了40 km.已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200 km，求高铁的平均速度．
6．(五育文化)某校开展“红五月”主题教育，特组织学生去电影院观看爱国主义教育电影．某班教师与学生一共去了50人，已知电影票成人票每张40元，老师买成人票，学生票按成人票五折优惠，电影票共需1 080元．这个班参与活动的教师和学生各多少人？
7．(应用意识)已知A、B两地果园分别有苹果30 t和40 t，C、D两地的农贸市场分别需求苹果20 t和50 t．已知从A、B两地到C、D两地的运价如下表：
到C地 到D地
A果园 每吨15元 每吨12元
B果园 每吨10元 每吨9元
(1)若从A果园运到C地的苹果为10 t，则从A果园运到D地的苹果为________t，从B果园运到C地的苹果为________t，从B果园运到D地的苹果为________t，总运输费为________元；
(2)如果总运输费为750元，那么从A果园运到C地的苹果为多少吨？
【详解答案】
课堂达标
1．D 2.A 3.23 4.15
5．解：设该客车的载客量为x人，
由题意知，4x＋30＝5x－10，解得x＝40.
答：该客车的载客量为40人．
6．解：设截成20 cm的导线x根，则截成10 cm的导线3x根，
根据题意，得10×3x＋20x＝150，
解得x＝3，
∴3x＝9.
答：截成10 cm的导线9根．
课后提升
1．A 解析：每个肉粽x元，则每个素粽(x－1)元，依题意，得10x＋5(x－1)＝70.故选A.
2．C 解析：设小华结账时实际买了x个笔袋，依题意，得18(x－1)－18×0.9x＝36，解得x＝30，则18×0.9x＝18×0.9×30＝486.故选C.
3．C 解析：设每天减少x尺布，
∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，
∴5－29x＝1，解得x＝，
∴5＋5－＋5－＋…＋1＝＝90(尺).故选C.
4. 解析：设原有生丝x斤，依题意，得＝，解得x＝.
5．解：设高铁的平均速度为x km/h，则普通列车的平均速度为(x－200) km/h，
由题意，得x＋40＝3.5(x－200)，解得x＝296.
答：高铁的平均速度为296 km/h.
6．解：设参与活动的教师有x人，则参与活动的学生有(50－x)人，
根据题意，得40x＋40×0.5(50－x)＝1 080，
解得x＝4，
∴50－x＝50－4＝46.
答：参与活动的教师有4人，参与活动的学生有46人．
7．解：(1)20 10 30 760
(2)设从A果园运到C地的苹果为x t，由题意可得
15x＋12(30－x)＋10(20－x)＋9[40－(20－x)]＝750，
解得x＝5.
答：从A果园运到C地的苹果为5 t．
