第2课时 和差倍分与销售问题
1．(2024广州中考)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付新车的数量的1.2倍还多1 100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为( )
A．1.2x＋1 100＝35 060
B．1.2x－1 100＝35 060
C．1.2(x＋1 100)＝35 060
D．x－1 100＝35 060×1.2
2. 小华现已读语文书42页，数学书18页．他的计划是每天读语文书5页，数学书4页．那么，几天后他读的语文书页数是数学书页数的两倍？
3．某村有土地60 hm2，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种植粮食面积的2倍少3 hm2，问：茶园和种植粮食的面积各多少公顷？
4．一件球服进价为300元，商店将进价提升x%后标价，再按标价的七五折销售，仍可获利20%，x的值是( )
A．60 B．50 C．40 D．30
5．超市销售甲、乙两种商品，乙种商品的单价比甲种商品少20元．由于市场供需变化，超市决定将甲种商品提价20%，乙种商品降价10%，调价后，乙种商品的单价是甲种商品的一半．求调价后甲种商品的单价．
1．(数学文化)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，其中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只大船，则可列方程为( )
A．4x＝38－6x
B．6x＝38－4x
C．6x＋4(8－x)＝38
D．4x＋6(8－x)＝38
2．在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41.这3个数的位置可能是( )
3．(数学文化)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”“倍加增”指从塔的顶层到底层，每层红灯的数目是上层的2倍，则塔的顶层有________盏灯．
4．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是________元．
5．(2024长春中考)《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3 400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
6．某城市图书馆内的功能区设置阅览座席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的座席总数为1 900个，非遗文献馆的座席数与少年儿童馆的座席数之比为2∶3，山体阅览区的座席数比少年儿童馆的座席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的座席数量．
7．某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高20%，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高30%，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元．分别求甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价．
8．(应用意识)嘉嘉一家在某餐厅用餐，账单总额为145元，用餐过程中，他们又额外点了一些菜品，使得账单增加了33元．之后，他们发现有一道菜没有上，于是从账单中减去了18元．
(1)求此次用餐花了多少钱；
(2)餐厅为了吸引顾客，推出优惠活动：“满100元先减10元，并再享折扣”．嘉嘉结账时，账单总额为135元，求优惠活动中打几折．
【详解答案】
课堂达标
1．A
2．解：设x天后小华读的语文书页数是数学书页数的两倍，则x天中，小华读语文书5x页，数学书4x页．
根据题意，得5x＋42＝2(4x＋18)，
解这个方程，得x＝2.
答：2天后他读的语文书页数是数学书页数的两倍．
3．解：设种植粮食的面积为x hm2，则种植茶园的面积为(2x－3) hm2，
由题意，得x＋2x－3＝60×(1－10%)，
解得x＝19.
∴2x－3＝35.
答：茶园的种植面积为35 hm2，粮食的种植面积为19 hm2.
4．A
5．解：设调价前甲种商品的单价是x元，则乙种商品的单价是(x－20)元，
根据题意，得(1＋20%)x＝2×(1－10%)(x－20)，
解得x＝60.
∴(1＋20%)x＝(1＋20%)×60＝72.
答：调价后甲种商品的单价是72元．
课后提升
1．C 解析：依题意，得6x＋4(8－x)＝38.故选C.
2．A 解析：设最小的数为x(x为正整数)，则其他3个数分别为x＋1，x＋7，x＋8，A.x＋x＋1＋x＋7＝41，解得x＝11，符合题意；B.x＋x＋1＋x＋8＝41，解得x＝，不符合题意；C.x＋x＋7＋x＋8＝41，解得x＝，不符合题意；D.x＋1＋x＋7＋x＋8＝41，解得x＝，不符合题意．故选A.
3．3 解析：设顶层的灯有x盏，由题意，得x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381，解得x＝3.
4．300 解析：设商品的定价为x元，
根据题意，得0.75x＋25＝0.9x－20，解得x＝300.
5．解：设合伙人数为x，
由题意，得400x－3 400＝300x－100，
解得x＝33.
∴400x－3 400＝9 800.
答：合伙人数为33，金价为9 800钱．
6．解：设非遗文献馆的座席数有2x个，少年儿童馆的座席数有3x个，则山体阅览区的座席数有4×3x＋200＝(12x＋200)个，
由题意可得2x＋3x＋(12x＋200)＝1 900，
解得x＝100.
∴2x＝200，3x＝300，12x＋200＝1 400.
答：山体阅览区的座席有1 400个，非遗文献馆的座席有200个，少年儿童馆的座席有300个．
7．解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为x元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为(x＋100)元，
根据题意，得(1＋20% )(x＋100)－(1＋30% )x＝70，
解得x＝500.
∴x＋100＝500＋100＝600.
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元．
8．解：(1)根据题意，得145＋33－18＝160(元).
答：此次用餐花了160元钱．
(2)设优惠活动中打x折，
根据题意，得(160－10)×＝135，
解得x＝9.
答：优惠活动中打九折．5.3 实践与探索
第1课时 等积变形问题
1. 一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形．设长方形的长为x cm，可列方程是( )
A．x－1＝(30－x)＋2
B．x－1＝(15－x)＋2
C．x＋1＝(30－x)－2
D．x＋1＝(15－x)－2
2．(2024高州期末)墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可得方程为( )
A．2(x＋10)＝10×4＋6×2
B．2(x＋10)＝10×3＋6×2
C．2x＋10＝10×4＋6×2
D．2(x＋10)＝10×2＋6×2
3. 如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么长方形的长和宽分别为多少？
4．如图，某同学从一个正方形纸片ABCD上剪去一个宽AE为5 cm的长方形纸条AEFD，再从剩下的长方形纸片BCFE上剪去一个宽CH为6 cm的长方形纸条CFGH.若两次剪下的长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则剪下的每一个长方形纸条的面积均为( )
A．30 cm2 B．150 cm2
C．160 cm2 D．900 cm2
5. 一种包装形状类似圆柱体的牙膏的出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm的牙膏，这样一支牙膏可以用36次．该品牌牙膏推出新包装，体积不变，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，则这一支牙膏能用多少次？
1．如图，正方形的一边长减少2 cm后，得到一个长方形(图中阴影部分).若长方形的周长为26 cm，求正方形的边长．设正方形的边长为x cm，可列方程为( )
A．x＋(x＋2)＝26 B．2x＋2(x＋2)＝26
C．x＋(x－2)＝26 D．2x＋2(x－2)＝26
2. 一个药瓶如图所示，它的容积是26.4 cm3，瓶子正放时，瓶内药水液面高6 cm，瓶子倒放时，空余部分高2 cm，则瓶内药水的体积是( )
A．26.4 cm3 B．19.8 cm3
C．6.6 cm3 D．无法确定
3．(2024深圳福田区月考)在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为14 cm和6 cm，如图所示，则图中阴影部分的总面积为( )
A．36 cm2 B．44 cm2
C．84 cm2 D．96 cm2
4．如图，将正方形分成5个面积相等的矩形，其中矩形ABCD中，AB＝3，则BC＝________.
5．(五育文化)劳动节当天，王老师组织学生参加社会实践活动，在如图所示的正方形ABCD苗圃中，分别栽种不同种类的树苗，其中，矩形EGHF的宽EF是6 m，矩形MBCN的宽CN是4 m，且矩形EGHF与矩形MBCN的面积相等，求矩形EGHF的面积．
6. 一个长方体玻璃容器，从里面量长为3 dm，宽为2 dm，高为4 dm.向容器中倒入9 L水，再把一个苹果放入水中，苹果完全浸没在水中，这时测得容器内的水面的高度是18 cm.这个苹果的体积是多少？
7. 如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为3 cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1 cm的长方形纸条．
(1)如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条的周长的2倍，求原正方形纸片的边长；
(2)第一次剪下的长方形纸条的面积可不可能是第二次剪下的长方形纸条的面积的3倍？(用方程的知识解释)
8．(几何直观)如图，由三种不同的正方形(共6个)与一个有缺角的矩形(阴影部分)拼接成矩形ABCD，已知EF＝EG＝1，最小正方形的边长为x.
(1)用x的代数式表示AB、BC的长；
(2)若阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9∶14，求x的值．
【详解答案】
课堂达标
1．B 2.A
3．解：设长方形的宽为x，长为2x，
根据题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，
解得x＝5.5，2x＝2×5.5＝11.
答：长方形的长为11，宽为5.5.
4．B
5．解：设这一支牙膏能用x次，根据题意，得
10×36××π＝10×x××π，
解得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
课后提升
1．D 解析：由题意，得2x＋2(x－2)＝26.故选D.
2．B 解析：设药瓶内侧的底面积是x cm2，
根据题意，得6x＋2x＝26.4，
解得x＝3.3，
∴3.3×6＝19.8(cm3).
∴瓶内药水的体积是19.8 cm3.
故选B.
3．B 解析：设小长方形的宽为x cm，则长为(x＋6)cm，
依题意，得x＋6＋x＋x＋x＝14，
解得x＝2，
则小长方形的长为8 cm，
∴图中阴影部分的总面积＝14×(6＋2×2)－6×2×8＝44(cm2).
故选B.
4. 解析：如图，∵S矩形ABCD＝S矩形BCEF，且AB＝3，∴BF·BC＝3BC，∴BF＝3，DE＝AF＝AB＋BF＝3＋3＝6.∵S矩形ABCD＝S矩形AFGH，∴6AH＝3AD.∴AD＝2AH，DH＝2AH＋AH＝3AH.∵S矩形PHDL＝S矩形AFGH，∴3AH·DL＝6AH.∴DL＝2.∴PR＝QR＝LE＝DE＋DL＝6＋2＝8.∴5×3BC＝8×8.解得BC＝.
5．解：设BC＝x m，则FH＝(x－4)m，
根据题意，得4x＝6(x－4)，
解得x＝12.
4×12＝48(m2).
答：矩形EGHF的面积是48 m2.
6．解：18 cm＝1.8 dm，
9 L＝9 dm3，
设这个苹果的体积是x dm3，依题意，得x＋9＝3×2×1.8，
解得x＝1.8.
答：这个苹果的体积是1.8 dm3.
7．解：设原正方形纸片的边长为x cm.
(1)根据题意，得2(x＋3)＝2×2(x－3＋1)，
解得x＝7.
答：原正方形纸片的边长为7 cm.
(2)假设第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形纸条面积的3倍，则3x＝3×1×(x－3)，
整理，得3x＝3x－9，
方程无解．
答：第一次剪下的长方形纸条的面积不可能是第二次剪下的长方形纸条面积的3倍．
8．解：(1)AB＝3x＋2(x＋1)＝5x＋2；BC＝x＋1＋2x＋1＝3x＋2.
(2)长方形ABCD的周长＝2(5x＋2＋3x＋2)＝16x＋8，
阴影部分的周长＝10x＋6.
∵阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9∶14，
∴9(16x＋8)＝14(10x＋6)，
解得x＝3.
故x的值为3.第3课时 工程问题和行程问题
1．某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
2. 整理一批图书，如果由一个人单独做要花60 h．现先由一部分人用1 h整理，随后增加15人和他们一起又做了2 h，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有________人．
3．加工一批零件，由一人做需100 h，现在计划先由若干人做2 h，再增加5人做9 h，恰好完成任务，求先做2 h的有多少人．
4．(数学文化)《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢？设乙出发x日，甲、乙相逢，则可列方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3 h，顺水航行需要2 h，水流速度为3 km/h，则船在静水中的速度是________km/h.
6．甲、乙两人在与铁轨平行的人行道上反向而行．一列火车匀速地从甲身旁开过，用了15 s，然后从乙身旁开过，用了17 s，已知两人的步行速度都是1 m/s，这列火车有多长？
1．(2024赣州月考)甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟走60 m，乙每分钟走90 m，乙到达B地后立即返回，在离B地180 m处与甲相遇，A、B两地相距( )
A．900 m B．720 m C．540 m D．1 080 m
2．(2024宜宾中考)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是( )
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
3．一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成，……还需要几天完成任务．根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图(如图)，设两队合作还需x天完成任务，并列方程为×2＋x＝1.根据上面信息，下面结论不正确的是( )
A．乙队单独做需要8天完成
B．D处代表的代数式为x
C．A处代表的实际意义：甲先做2天的工作量
D．甲先做2天，然后甲、乙两队合作5天完成了整个工程
4．(2024南京浦口区月考)如图，已知A、B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动(点M、点N同时出发)，经过________s，点M、点N分别到原点O的距离相等．
5. 在长江中有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回C地执行任务，甲船继续航行，已知甲、乙两船在静水中的速度均为7.5 km/h，水流速度为2.5 km/h，A、C两地间的距离为10 km，如果乙船由A地经过B地到达C地共用4 h.
(1)A、B两地之间的距离是多少千米？
(2)当乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地多远？
6．(2024陕西A卷中考)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间．
7．(应用意识)小明每天早上要到距家1 000 m的学校上学，一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追赶小明．
(1)若爸爸在途中追上了小明，请问：爸爸追上小明用了多长时间？
(2)若爸爸出发2 min后，小明也发现自己忘了带数学书，于是他以100 m/min的速度往回走，与爸爸在途中相遇了，请问：这种情况下爸爸出发多久追上小明？
(3)小明家养了一条聪明伶俐的小狗，小狗跟着爸爸冲出了门，以240 m/min的速度去追小明，小明看到小狗的一刹那想到自己忘了带数学书，立即以120 m/min的速度返回，小狗仍以原速度往爸爸这边跑，跑到爸爸身边又折回往小明身边跑，直到爸爸和小明相遇方停下，随后又跟着爸爸回到家，请问小狗从出门到回家共跑了多少米？
【详解答案】
课堂达标
1．D 2.10
3．解：设先做2 h的有x人，
依题意，得×2＋(x＋5)××9＝1，
解得x＝5.
答：先做2 h的有5人．
4．D 5.15
6．解：设这列火车速度是x m/s，则
15(x＋1)＝17(x－1)，
15x＋15＝17x－17，
x＝16，
∴15×(16＋1)
＝15×17
＝255(m).
答：这列火车长255 m.
课后提升
1．A 解析：设甲所用的时间为x min，根据题意，得60x＝90x－2×180，解得x＝12，∴A、B两地的距离为60x＋180＝900.故选A.
2．D 解析：设快马追上慢马的天数是x天，根据题意，得240x＝150(x＋12)，解得x＝20，∴快马追上慢马的天数是20天．故选D.
3．D 解析：A.甲队单独做需要12天完成，根据所列的方程可知乙队单独做需要8天完成，故不符合题意；
B．根据所列的方程可知D处代表的代数式为，故不符合题意；
C．A处代表的实际意义：甲先做2天的工作量，故不符合题意；
D．解方程×2＋x＝1，得x＝4，所以甲、乙两队合作4天完成了整个工程，故符合题意．故选D.
4．5或 解析：∵点A表示的数为－10，OB＝2OA，∴OB＝2OA＝20.
∴点B表示的数为20.
设经过x s，点M、点N到原点O的距离相等，
则点M表示的数为x－10，点N表示的数为20－3x，
根据题意，得|x－10|＝|20－3x|，
∴x－10＝20－3x或x－10＝－(20－3x)，解得x＝或x＝5，
即经过5 s或 s后，点M、点N到原点O的距离相等．
5．解：(1)设A、B两地之间的距离是x km，
由题意可列方程＋＝4，解得x＝20；
或＋＝4，解得x＝.
答：A、B两地之间的距离为20 km或 km.
(2)4×(7.5＋2.5)＝40(km).
当x＝20时，40－20＝20(km)，甲船驶离B地20 km；
当x＝时，40－＝(km)，甲船驶离B地 km.
答：甲船驶离B地20 km或 km.
6．解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，
根据题意，得＋＝1，
解得x＝2.
答：这次小峰打扫了2 h.
7．解：(1)设小明爸爸追上小明用了x min，
依题意，得80×5＋80x＝180x，
解得x＝4.
答：爸爸追上小明用了4 min.
(2)设爸爸出发y min追上小明，
依题意，得180y＋100(y－2)＝80×7，
解得y＝.
答：爸爸出发 min追上小明．
(3)小狗追上小明用时80×5÷(240－80)＝2.5(min)，
[80×(5＋2.5)－180×2.5]÷(120＋180)＝0.5(min)，
240×(2.5＋0.5)＋180×(2.5＋0.5)＝1 260(m).
答：小狗从出门到回家共跑了1 260 m．
