第5课时 列二元一次方程组解决实际问题
1．(2024成都中考)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
2．某农场去年计划生产小麦和玉米共15 t，实际生产了17 t，其中小麦超产15%，玉米超产10%.该农场去年实际生产小麦、玉米的吨数分别为( )
A．5，10 B．23，11
C．11.5，5.5 D．11，23
3．五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船，小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( )
A．30 B．26 C．24 D．22
4．小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5 m开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为x，爸爸投中的次数为y，根据题意列出的方程组是____________．
5．(数学文化)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问：黄金和白银1枚各重几两．
答：1枚黄金重________两；1枚白银重________两．
6．(2024吉林中考)钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
1．(2024宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4 kg荔枝，每个小箱装3 kg荔枝．该果农现采摘有32 kg荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为( )
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
2．(2024泰安中考)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( )
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
3．(2024龙东地区中考)国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有购买方案( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
4．(数学文化)“幻方”最早记载于我国春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则x－y与m－n的和是________．
图1
图2
5．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760 g．已知从2.5 t废旧智能手机中提炼出的黄金与从0.6 t废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
6．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计95万元；2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计80万元．求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元．
7．(应用意识)某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示．
请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．
【详解答案】
课堂达标
1．B 2.C 3.B
4.
5. 解析：设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，由题意，得
解得
6．解：设白色琴键的个数为x，黑色琴键的个数为y，
由题意，得
解得
答：白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为36.
课后提升
1．C 解析：设可以装x箱大箱，y箱小箱，根据题意，得4x＋3y＝32，
∴x＝8－y.又∵x、y均为自然数，∴或或
∴x＋y＝8或9或10.∴所装的箱数最多为10箱．故选C.
2．D 解析：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱．故选D.
3．B 解析：设购买笔记本x本，碳素笔y支，根据题意，得3x＋2y＝28，
∴y＝14－x.
又∵x、y均为正整数，
∴或或或
∴共有4种购买方案．故选B.
4．6 解析：设空白2个部分右上的数字为p，左下的数字为q，
由题意，得y＋1＋p＝x＋(－2)＋p，m＋(－2)＋q＝n＋1＋q，
∴x－y＝3，m－n＝3.
∴x－y＋m－n＝3＋3＝6.
5．解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x g，白银y g，
根据题意，得
解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 g，白银1 000 g.
6．解：设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意，得
解得
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元．
7．解：设购置钢笔x支，购置笔记本y本，
则
∴
∴10×15＝150(元)，
30×5＝150(元).
答：购置钢笔10支，金额为150元；购置笔记本30本，金额为150元．第4课时 加减法解二元一次方程组(2)
1．二元一次方程组的解是( )
A． B．
C． D．
2．若单项式－3x2y2m＋n与2xm＋ny4是同类项，则m2＋2mn的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3．(2024阜阳期末)已知关于x、y的方程组和有相同的解，求2a＋b的值．
1．已知二元一次方程组：
①②
③④解以上方程组比较适合选择的方法是( )
A．①②用代入法，③④用加减法
B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
2．已知方程组的解中x与y的和为8，求t的值．
3．(运算能力)下面是两个同学解方程组时，不完整的解题过程：
甲同学：①－②，得2y＝－36，
∴y＝－18.
乙同学：由①，得4x＝7y＋19，③
将③代入②，得－7y＋19－5y＝17，
∴－12y＝－2.
∴y＝.
(1)甲、乙两位同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方，并指出他用的哪种消元法；
(2)请你改正并完善两个同学的解题过程．
【详解答案】
课堂达标
1．D 2.B
3．解：∵关于x、y的方程组和有相同的解，
∴方程组和方程组的解也相同．
解得
将代入得
①＋②，得6a＋3b＝12，
∴2a＋b＝4.
课后提升
1．B 解析：已知二元一次方程组：
①②
③④
解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故选B.
2．解：
②－①，得x＋2y＝2，
则
③－④，得y＝－6，
代入③中可得x＝14，
则t＝2×14＋3×(－6)＝10.
3．解：(1)甲同学的解题过程有错误．
①－②时未给②中等号前面的式子添括号致错．
用的加减消元法．
乙同学的解题过程也有错误．
将③代入②时未给③中的式子添括号致错．
用的代入消元法．
(2)甲同学：①－②，得7y－(－5y)＝－36，
解得y＝－3.
将y＝－3代入①，得－4x＋7×(－3)＝－19，
解得x＝－.
∴原方程组的解为
乙同学：由①，得4x＝7y＋19，③
将③代入②，得－(7y＋19)－5y＝17，
解得y＝－3.
将y＝－3代入①，得－4x＋7×(－3)＝－19，
解得x＝－.
∴原方程组的解为第2课时 代入法解二元一次方程组(2)
1．解方程组把①代入②得( )
A．4(2x－1)－3y＝12
B．4x－(2x－1)＝12
C．4x－3×2x－1＝12
D．4x－3(2x－1)＝12
2．用代入法解方程组首先应选择方程②变形，得y＝________．
3. 用代入法解下列方程组：
(1)(2)
1．(2024秦皇岛昌黎县期末)对于二元一次方程组把①代入②消去y后得到方程3x－x－5＝8，则①可以是( )
A．y＝x＋5 B．y＝x－5
C．x＝y＋5 D．x＝3y－5
2．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是( )
A．甲 B．丙
C．乙和丁 D．甲和丙
3．用代入法解方程组正确的解法是________．
(1)先将①变形为x＝再代入②；
(2)先将①变形为y＝，再代入②；
(3)先将②变形为x＝，再代入①；
(4)先将②变形为y＝9(4x－1)，再代入①.
4．二元一次方程组的解为________．
5．(运算能力)阅读材料：小聪在解方程组
时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：
解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，
即2(2x＋5y)＋y＝5，③
把方程①代入方程③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1，
把y＝－1代入方程①，得x＝4，
∴方程组的解是
(1)模仿小聪的解法，解方程组
(2)已知x、y满足方程组求xy的值．
【详解答案】
课堂达标
1．D 2.2x－5
3．解：(1)把②代入①，得2－2y＋4y＝5，
解得y＝，
把y＝代入②，得x＝－，
则方程组的解为
(2)由②，得x＝－2y－2，③
把③代入①，得－4y－4－3y＝3，
解得y＝－1，
把y＝－1代入③，得x＝0，
则方程组的解为
课后提升
1．A 解析：∵把①代入②消去y后得到方程3x－x－5＝8，∴3x－(x＋5)＝8，则y＝x＋5.故选A.
2．B 解析：
由①，得x＝，③
把③代入②，得3·－5y＝5，
去分母，得24－9y－10y＝10，
解得y＝，把y＝代入③，得x＝＝4－＝，
则合作中出现错误的同学是丙同学．
故选B.
3. (2)(3) 解析：用代入法解方程组正确的解法是先将①变形为y＝，再代入②，
先将②变形为x＝，再代入①，均可正确解方程．
4. 解析：
将①代入②，得2y＝4，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得2x＝2，
解得x＝1，
故方程组的解为
5．解：(1)方程②变形，得3(3x－2y)－y＝17，③
把①代入③，得15－y＝17，
解得y＝－2，
把y＝－2代入①，得x＝，
则方程组的解为
(2)由①，得x2＋4y2＝xy＋16，③
由②，得2(x2＋4y2)＝36－xy，④
把③代入④，得2xy＋32＝36－xy，
解得xy＝.第3课时 加减法解二元一次方程组(1)
1．(教材P35例3变式)解方程组时，由②－①得( )
A．6y＝12 B．2y＝8
C．－2y＝8 D．－4y＝8
2．已知二元一次方程组则x－y的值为( )
A．2 B．6 C．－2 D．－6
3．解下列方程组：
(1) (2)
(3) (4)
(5)
1. 若方程x2a－b－3ya＋b＝2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为( )
A． B．2 C． D．1
2．若则y2－4x2＝________．
3．解方程组：
(1)
(2)
4．(运算能力)根据要求，解答下列问题：
(1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)：
①的解为____________；
②的解为____________；
③的解为____________；
(2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为________；
(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
【详解答案】
课堂达标
1．A 2.A
3．解：(1)
由②－①，得3x＝－9，解得x＝－3.
把x＝－3代入①中，解得y＝4.
∴方程组的解为
(2)
①＋②×3，得10x＝50，解得x＝5.
把x＝5代入②，得2×5＋y＝13，解得y＝3.
∴方程组的解为
(3)
①×5＋②，得13x＝26，解得x＝2.
把x＝2代入①，得2×2＋y＝3，
解得y＝－1.
∴方程组的解为
(4)原方程组可化为
①×3，得3x－3y＝6.③
③－②，得y＝3.
把y＝3代入①，得x－3＝2，解得x＝5.
∴原方程组的解为
(5)原方程组可化为
由①＋②，得4y＝28，解得y＝7.
把y＝7代入①，得3x－7＝8，解得x＝5.
∴原方程组的解为
课后提升
1．A 解析：∵方程x2a－b－3ya＋b＝2是关于x、y的二元一次方程，
∴解得
∴ab＝×＝.故选A.
2．－5 解析：
①＋②，得4x＝6，解得x＝，
把x＝代入①，得3＋y＝1，解得y＝－2，∴y2－4x2＝4－4×＝－5.
3．解：(1)
①＋②，得3x＝9，解得x＝3.
把x＝3代入①，得y＝4.
∴方程组的解是
(2)原方程组整理，得
①×3＋②，得11x＝11，解得x＝1.
把x＝1代入①，得y＝1.
∴原方程组的解为
4．解：(1)① ② ③
(2)x＝y
(3)答案不唯一，如
方程组的解为6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 代入法解二元一次方程组(1)
1．如果2x－7y＝8，那么用含x的式子表示y正确的是( )
A．y＝ B．y＝
C．x＝ D．x＝
2．(教材P33例1变式)用代入消元法解方程组将①代入②可得( )
A．5x－4x－2＝7 B．5x－2x－1＝7
C．5x－4x＋1＝7 D．5x－4x＋2＝7
3. 用代入法解方程组消去未知数最简便的方法是( )
A．消去x
B．消去y
C．消去两个中的任何一个都一样
D．无法确定
1．对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可得( )
A．x＋3x－6＝7 B．x－3x－6＝7
C．x＋3x＋6＝7 D．x－3x＋6＝7
2．(数学文化)“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x＋y的值为( )
A．0 B．－4
C．－4或9 D．9
3. 解下列方程组：
(1) (2)
4．(运算能力)先阅读材料，然后解方程组．
解方程组：
解：由①，得x＋1＝6y.③
把③代入②，得2×6y－y＝11，即y＝1.
把y＝1代入③，得x＋1＝6，∴x＝5.
∴方程组的解为
上述方法为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组：
【详解答案】
课堂达标
1．B 2.A 3.B
课后提升
1．D 解析：对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可得x－3x＋6＝7.故选D.
2．A 解析：根据题意，得
解得
∴x＋y＝0.
故选A.
3．解：(1)
将②代入①，得3(y＋3)＋2y＝14.
解得y＝1.
把y＝1代入②，得x＝4.
∴原方程组的解为
(2)
由①，得2m－5n＝20，则2m＝20＋5n.③
把③代入②，得20＋5n＋3n＝4.
整理，得8n＝－16，∴n＝－2.
把n＝－2代入③，得2m＝20＋5×(－2).
整理，得2m＝10，∴m＝5.
∴原方程组的解是
4．解：
把①代入②，得2(5x＋2)＝11x＋7.
整理，得10x＋4＝11x＋7，
解得x＝－3.
把x＝－3代入①，
得3×(－3)＋2y＝5×(－3)＋2，
解得y＝－2.
∴方程组的解为
