8.1 与三角形有关的边和角
1．认识三角形
第1课时 三角形的有关概念及分类
1．下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是( )
2．(2024南宁兴宁月考)如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是( )
A．① B．② C．③ D．都不对
3．如图，∠B是______________的内角，△ABD的外角是______________；在△ABE中，AE所对的角是________，∠B所对的边是______；AD在△ADE中，是________的对边，在△ADC中，是________的对边．
4．(新考法)如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是( )
A．①对，②不对 B．①不对，②对
C．①②都不对 D．①②都对
1．如图，图中三角形的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，图中锐角三角形有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，图中以DE为边的三角形有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知△ABC的三边a、b、c满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC是________三角形(填“等边”“等腰”或“三边互不相等的”).
5．如图所示．
(1)图中有多少个三角形？并把它们写出来；
(2)试写出△ABC的边、顶点和内角．
6．(几何直观)如图所示．
(1)图中共有多少个三角形？并把它们写出来；
(2)线段AE是哪些三角形的边？
(3)∠B是哪些三角形的内角？
【详解答案】
课堂达标
1．A 2.A
3．△ABD、△ABE、△ABC ∠ADE(或∠ADC) ∠B AE ∠AED
∠C
4．B
课后提升
1．B 解析：图中三角形有：△ABC、△ABD、△ADE、△ADC、△CDE，共5个．故选B.
2．B 解析：①以A为顶点的锐角三角形：△ABC、△ADC，共2个；②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个．图中锐角三角形有2＋1＝3(个).故选B.
3．C 解析：以DE为边的三角形有△DEC、△AED、△DEF、△BED.故选C.
4．等边 解析：由题意可得
∴a＝b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
5．解：(1)图中有8个三角形，它们分别是：△ABC、△ABE、△ACD、△BOD、
△COE、△BDC、△CEB、△BOC.
(2)△ABC的边是AB、BC、AC，顶点是A、B、C，三个内角是∠A、∠ABC、∠ACB.
6．解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、
△ADC、△AEC.
(2)线段AE分别为△ABE、△ADE、△AEC的边．
(3)∠B分别为△ABD、△ABE、△ABC的内角．第2课时 三角形的中线、角平分线和高
1．画△ABC的边AC上的高，正确的是( )
2．王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的( )
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
3．如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为2 cm2，则△ABC的面积为( )
A．6 cm2 B．5 cm2 C．4 cm2 D．3 cm2
4．如图，借助于一副三角板和直尺测量并计算△ABC的面积，它的面积是________cm2.
5．如图，点O是△ABC的两条中线BE、CF的交点，连结AO并延长交BC于点D，则BD________CD.(填“＞”“＝”或“＜”)
6．如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝12，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为________．
7．(2024安阳滑县月考)如图，已知三角形的内角和等于180°，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点P为AC上一点，连结BP，∠ABP＝∠ABC.
(1)BP是△ABC的________；(填“高”“中线”或“角平分线”)
(2)若∠A＝34°，求∠BPC的度数．
1．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( )
A．BF＝CF B．∠ADC＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
2．(2024金昌月考)如图所示，BA⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A、D，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD＝4.8，则点A到线段BC的距离是( )
A．10 B．8 C．6 D．4.8
3．如图，△ABC的面积是10，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是( )
A． B． C． D．
4．(2024营口鲅鱼圈区月考)如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14，则AB＝________，AC＝________．
5．(教材P84练习T2变式)如图，已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为16，则△ABE的面积为________．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，AB＝12 cm，BC＝13 cm，AC＝5 cm.求：
(1)△ABC的面积；
(2)AD的长．
7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
8．(推理能力)如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.
(1)试说明：DO是△EDF的角平分线；
(2)若将(1)中结论与AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC中的任何一个条件交换，所得说法正确吗？请选择一个说明．
【详解答案】
课堂达标
1．D 2.B 3.C
4．8 5.＝ 6.5
7．解：(1)角平分线
(2)∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，
∴∠ABC＝180°－90°－34°＝56°.
∴∠ABP＝∠CBP＝28°.
∴∠BPC＝180°－90°－28°＝62°.
课后提升
1．C 解析：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF.A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，∴∠ADC＝90°.
B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE.∴∠BAF与
∠CAF不相等，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF.D说法正确，不符合题意．故选C.
2．D 解析：∵AD⊥BC，AD＝4.8，
∴点A到线段BC的距离是4.8.故选D.
3．D 解析：连结BG，如图所示．
∵点D是BC的中点，S△ABC＝10，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝5.
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△DBE＝S△ABD＝，S△ACE＝S△DCE＝S△ACD＝.
∴S△ABE＋S△ACE＝＋＝5.
∴S△BEC＝S△ABC－(S△ABE＋S△ACE)＝10－5＝5.
∵点F是BE的中点，点G是CE的中点，
∴S△AEF＝S△ABF＝S△ABE＝，S△AEG＝S△ACG＝S△ACE＝.
∵点G是CE的中点，
∴S△BEG＝S△BCG＝S△BEC＝.
∵点F是BE的中点，
∴S△EFG＝S△BGF＝S△BEG＝.
∴S△AEF＝S△AEG＝S△EFG＝.
∴S△AFG＝S△AEF＋S△AEG＋S△EFG＝3×＝.故选D.
4．8 6 解析：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.
∴△ABD的周长－△ADC的周长＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝2，
即AB－AC＝2①.
又∵AB＋AC＝14②，
∴①＋②，得2AB＝16，AB＝8，
②－①，得2AC＝12，AC＝6.
5．4 解析：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为16，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积＝×16＝8.
∵BE是△ABD的中线，
∴△ABE的面积＝△ABD的面积＝×8＝4.
6．解：(1)∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5 cm，AB＝12 cm，
∴S△ABC＝AC·AB＝×5×12＝30(cm2).
(2)∵AD是BC边上的高，
∴S△ABC＝BC·AD＝30 cm2.
设AD＝x cm，则×13×x＝30，解得x＝，∴AD＝ cm.
7．解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE.
∵∠1＝∠2＝15°，
∴∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.
∴∠CAE＝∠BAE＝30°.
∴∠4＋∠3＝30°.
又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.
∵∠2＝15°＝∠3，
∴AE是△DAF的角平分线．
8．解：(1)如图，∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2.
∵DE∥AB，∴∠3＝∠2.
∵DF∥AC，∴∠1＝∠4.
∴∠3＝∠4，即DO是∠EDF的平分线．
∴DO是△EDF的角平分线．
(2)所得说法正确．如：“DO是△EDF
的角平分线”与“DF∥AC”交换(答案不唯一).理由如下：
如图，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.
∵DE∥AB，∴∠3＝∠2.
∵DO是△EDF的角平分线，∴∠3＝∠4.
∴∠1＝∠4.∴DF∥AC.
