8.3 用正多边形铺设地面
1．用相同的正多边形
1．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是( )
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
2．若用规格相同的正三角形地砖铺地板，则围绕在一个顶点处的地砖的块数为________．
3．写出仅用一种正多边形能把地面铺满的是________.
1．现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
2．李明设计了如图所示四种正多边形的瓷砖图案，用同一种瓷砖可以铺满地面的是( )
A.①②④ B．②③④
C．①③④ D．①②③
3．(2024泉州南安期末)如图1是我国古建筑墙上常用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个内角的度数是________．
图1 图2
4．(应用意识)在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成了一个平面图形．
(1)请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 …
正多边形每个 内角的度数 ______ ______ ______ ______ …
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形．
【详解答案】
课堂达标
1．B 2.6
3．正三角形(答案不唯一)
课后提升
1．D 解析：①∵正三角形的每个内角是60°，60°×6＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
②∵正方形的每个内角是90°，90°×4＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
③∵正五边形的每个内角是108°，
∴不能镶嵌成一个平面图案；
④∵正六边形的每个内角是120°，120°×3＝360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑤∵一般三角形的三个内角组合在一起是180°，6个就可以组成360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑥∵一般四边形四个内角组合在一起可以组成360°，
∴4个就能够镶嵌成一个平面图案．
综上所述，符合题意的有①②④⑤⑥共5种．故选D.
2．A 解析：四个图案中只有正五边形不能铺满地面．故选A.
3．135° 解析：∵正八边形的外角和为360°，∴正八边形的每一个外角为＝45°.∴正八边形的每一个内角为180°－45°＝135°.
4．解：(1)60° 90° 108° 120°
(2)根据镶嵌的知识可知，使得几个内角度数之和为360°时，可以进行镶嵌，由于图形都是正多边形，故只要该正多边形的内角度数可以整除360°时，则可以进行镶嵌，可知60°，90°，120°均可以整除360°，当正多边形的内角度数大于120°时，都不能整除360°，故只选一种正多边形进行平面镶嵌时，只有正三角形，正方形，正六边形可以进行平面镶嵌．2．用多种正多边形
1．(2024衡阳期末)能够铺满地面的正多边形组合是( )
A．正三角形和正五边形
B．正方形和正六边形
C．正方形和正五边形
D．正三角形和正方形
2．如图所示是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形地砖的边数是________．
3．如图，已知用边长相等的三种不同形状的正多边形恰好可以实现平面镶嵌，其中有两种正多边形的形状分别是正方形和正六边形，则第三种正多边形的形状是________．
1．(2024遂宁射洪期末)如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．用正三角形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有m个正三角形和n个正方形(m、n为正整数)，则m＋n的值为( )
A．4 B．3 C．6 D．5
3．(2024深圳坪山区期末)如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠ABC的度数为________．
4．(应用意识)相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题．
(1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；
(2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺？请说明理由．
【详解答案】
课堂达标
1．D 2.6
3．正十二边形
课后提升
1．D 解析：设正多边形地砖的边数是n，则正多边形的一个内角＝(360°－60°)÷2＝150°，则150°n＝(n－2)·180°，解得n＝12.故选D.
2．D 解析：∵正三角形和正方形的一个内角分别是60°，90°，∴60m＋90n＝360，且m、n为正整数，∴m＝3，n＝2.∴m＋n＝5.故选D.
3．120° 解析：正六边形内角和为 (6－2)×180°＝720°，所以每个内角度数为720°÷6＝120°.所以∠ABC＝360°－120°×2＝120°.
4．解：(1)能．理由如下：
∵正三角形的内角和为180°，
∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°.
∵360°÷60°＝6，
∴正三角形能镶嵌成一个平面图形．
(2)能．理由如下：
∵正十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°，
∴正十二边形的每一个内角为1 800°÷12＝150°.
∵150°×2＋60°＝360°，
∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形．
