第9章 专题训练十一 用轴对称求解的相关问题（含答案） 2024-2025学年数学华东师大版七年级下册
文档属性
| 名称 | 第9章 专题训练十一 用轴对称求解的相关问题（含答案） 2024-2025学年数学华东师大版七年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-19 20:27:35 | ||
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文档简介
专题训练十一 用轴对称求解的相关问题
1．(2024哈尔滨南岗区月考)如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路l上建一个货站，使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择l上C、D、E、F4个点中的________点建立货站．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10.如果点D、E分别为边BC、AB上的动点，那么AD＋DE的最小值是________．
3．(2024长春九台区期末)如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM、ON于点A、B，若GH的长为10 cm，则△PAB的周长为________．
4．(2024绥化中考)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝________．
5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝140°，M、N分别是边DC、BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN＝________°.
6．(2024毕节织金县期末)如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线MN上运动时，∠P1OP2＝________°，△OP1P2面积的最小值为________．
7．如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，CD＝3，BD＝2.点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDC＝________．
【详解答案】
1．F 解析：由题意，B、B′关于直线l对称，∴AF＋BF＝AB′，此时点F满足条件．
2．6 解析：作点A关于BC的对称点A′，作A′E⊥AB于点E，交BC于点D，连结CA′、BA′，如图．
则AD＝A′D，
∴AD＋DE＝A′D＋DE≥A′E.
即AD＋DE的最小值为A′E.
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AA′＝12，
∵S△AA′B＝AA′·BC＝AB·A′E，
∴A′E＝＝＝9.6，
即AD＋DE的最小值为9.6.
3. 10 cm 解析：∵点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，∴AP＝AG，BP＝BH.
∴△PAB的周长＝GH.∵GH的长为10 cm，∴△PAB的周长＝10 cm.
4．80° 解析：如图，作点P关于OA的对称点E，连结OP、EP、EO、EM，
∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，
∠EOM＝∠MOP.
作点P关于OB的对称点F，连结NF、PF、OF，
∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，
∠PON＝∠NOF.
∴PM＋PN＋MN＝EM＋NF＋
MN≥EF，当E、M、N、F在同一条直线上时，△PMN周长最短．
又∵∠EOF＝∠EOM＋∠MOP＋
∠PON＋∠NOF，
∠AOB＝∠MOP＋∠PON，
∴∠EOF＝2∠AOB.
又∵∠AOB＝50°，
∴∠EOF＝100°.
∵在△EOF中，∠OEM＋∠OFN＋
∠EOF＝180°，
∴∠OEM＋∠OFN＝180°－100°＝80°.
∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，
∴∠MPO＋∠OPN＝80°.
∴∠MPN＝∠MPO＋∠OPN＝80°.
5．100 解析：如图，分别作点A关于CD、CB的对称点E、F，连结EF分别交CD、CB于点H、G，连结AH、AG、EM、FN.
由对称性知EM＝AM，EH＝AH，NF＝NA，GF＝GA.
∴AM＋MN＋NA＝EM＋MN＋NF≥EF.
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，△AMN的周长最小．
由对称性知∠GAF＝∠GFA，
∠HEA＝∠HAE.
∴∠AGH＝2∠GFA，
∠AHG＝2∠HEA.
∵∠DAB＝140°，
∴∠GFA＋∠HEA＝180°－∠DAB＝40°.
∴∠AGH＋∠AHG＝2∠GFA＋2∠HEA＝2×40°＝80°，
∴∠GAH＝180°－(∠AGH＋∠AHG)＝180°－80°＝100°，
即△AMN的周长最小时，
∠MAN＝100°.
6．90 8 解析：如图，连结OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于点H.
∵S△OMN＝·MN·OH＝12，
MN＝6，∴OH＝4.
∵点P关于OA的对称点为P1，点P关于OB的对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2.
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2(∠POA＋∠POB)＝90°.
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
∴OP＝OH时，△OP1P2的面积最小．
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8.
7．3 解析：如图，作点D关于射线l的对称点D′，连结AD′，交射线l于点E，此时△AED的周长最小．∵BD＝2，∴BD′＝2.∴DD′＝4.∵射线l⊥线段BC，AD⊥BC，∴∠EBD′＝∠ADB＝90°.∵AD＝4，∴AD＝DD′.∴△ADD′为等腰直角三角形．∴∠D′＝45°.
∴∠D′EB＝45°.
∴△D′EB为等腰直角三角形．
∴BE＝BD′＝2.∴S△EDC＝CD·BE＝×3×2＝3.
1．(2024哈尔滨南岗区月考)如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路l上建一个货站，使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择l上C、D、E、F4个点中的________点建立货站．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10.如果点D、E分别为边BC、AB上的动点，那么AD＋DE的最小值是________．
3．(2024长春九台区期末)如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，GH分别交OM、ON于点A、B，若GH的长为10 cm，则△PAB的周长为________．
4．(2024绥化中考)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝________．
5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝140°，M、N分别是边DC、BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN＝________°.
6．(2024毕节织金县期末)如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线MN上运动时，∠P1OP2＝________°，△OP1P2面积的最小值为________．
7．如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，CD＝3，BD＝2.点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S△EDC＝________．
【详解答案】
1．F 解析：由题意，B、B′关于直线l对称，∴AF＋BF＝AB′，此时点F满足条件．
2．6 解析：作点A关于BC的对称点A′，作A′E⊥AB于点E，交BC于点D，连结CA′、BA′，如图．
则AD＝A′D，
∴AD＋DE＝A′D＋DE≥A′E.
即AD＋DE的最小值为A′E.
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AA′＝12，
∵S△AA′B＝AA′·BC＝AB·A′E，
∴A′E＝＝＝9.6，
即AD＋DE的最小值为9.6.
3. 10 cm 解析：∵点P关于OM的对称点是G，点P关于ON的对称点是H，∴AP＝AG，BP＝BH.
∴△PAB的周长＝GH.∵GH的长为10 cm，∴△PAB的周长＝10 cm.
4．80° 解析：如图，作点P关于OA的对称点E，连结OP、EP、EO、EM，
∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，
∠EOM＝∠MOP.
作点P关于OB的对称点F，连结NF、PF、OF，
∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，
∠PON＝∠NOF.
∴PM＋PN＋MN＝EM＋NF＋
MN≥EF，当E、M、N、F在同一条直线上时，△PMN周长最短．
又∵∠EOF＝∠EOM＋∠MOP＋
∠PON＋∠NOF，
∠AOB＝∠MOP＋∠PON，
∴∠EOF＝2∠AOB.
又∵∠AOB＝50°，
∴∠EOF＝100°.
∵在△EOF中，∠OEM＋∠OFN＋
∠EOF＝180°，
∴∠OEM＋∠OFN＝180°－100°＝80°.
∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，
∴∠MPO＋∠OPN＝80°.
∴∠MPN＝∠MPO＋∠OPN＝80°.
5．100 解析：如图，分别作点A关于CD、CB的对称点E、F，连结EF分别交CD、CB于点H、G，连结AH、AG、EM、FN.
由对称性知EM＝AM，EH＝AH，NF＝NA，GF＝GA.
∴AM＋MN＋NA＝EM＋MN＋NF≥EF.
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，△AMN的周长最小．
由对称性知∠GAF＝∠GFA，
∠HEA＝∠HAE.
∴∠AGH＝2∠GFA，
∠AHG＝2∠HEA.
∵∠DAB＝140°，
∴∠GFA＋∠HEA＝180°－∠DAB＝40°.
∴∠AGH＋∠AHG＝2∠GFA＋2∠HEA＝2×40°＝80°，
∴∠GAH＝180°－(∠AGH＋∠AHG)＝180°－80°＝100°，
即△AMN的周长最小时，
∠MAN＝100°.
6．90 8 解析：如图，连结OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于点H.
∵S△OMN＝·MN·OH＝12，
MN＝6，∴OH＝4.
∵点P关于OA的对称点为P1，点P关于OB的对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2.
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2(∠POA＋∠POB)＝90°.
∴△OP1P2是等腰直角三角形．
∴OP＝OH时，△OP1P2的面积最小．
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8.
7．3 解析：如图，作点D关于射线l的对称点D′，连结AD′，交射线l于点E，此时△AED的周长最小．∵BD＝2，∴BD′＝2.∴DD′＝4.∵射线l⊥线段BC，AD⊥BC，∴∠EBD′＝∠ADB＝90°.∵AD＝4，∴AD＝DD′.∴△ADD′为等腰直角三角形．∴∠D′＝45°.
∴∠D′EB＝45°.
∴△D′EB为等腰直角三角形．
∴BE＝BD′＝2.∴S△EDC＝CD·BE＝×3×2＝3.