江西省宜春市2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·宜春期末）命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为：“， ”
故答案为：D
【分析】本题考查命题的否定.命题的否定：先改量词后否定结论，据此对命题进行改写，可找出结论.
2．（2024高二下·宜春期末）已知集合，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
又，所以，所以.
故答案为：B
【分析】本题考查集合间的基本关系.根据可求出x的取值，进而可求出集合B，再根据，可得，利用两个集合的包含关系，可求出实数的取值范围.
3．（2024高二下·宜春期末）函数的定义域为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为：，，且
解得：，，并且
所以函数的定义域为：
故答案为：B
【分析】本题考查函数的定义域.根据分母不等于0，被开方数大于等于0，对数的真数大于0可列出函数的不等式组，解不等式组可求出函数的定义域.
4．（2024高二下·宜春期末）若函数有最小值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，，有最小值.
当时，二次函数开口向下，无最小值；
当时，无最小值；
当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查函数的最值.采用换元法设，可将问题转化为：，有最小值，利用二次函数的性质分两种情况：当时；当时；当时；根据二次函数的性质可求出最小值列出不等式，解不等式可求出t的取值范围.
5．（2024高二下·宜春期末）已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，且，则，
，
所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查利用指数函数的单调性，对数函数的单调性比较大小.先利用指数函数单调性可得：，再利用指对运算和指数函数单调性可推出：，最后利用对数函数单调性可得：，综合可比较出三个数的大小.
6．（2024高二下·宜春期末）若，，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：设命题p：，命题q：
对于命题p，因为，所以，，
构造函数，易知在R上为增函数，所以；
对于命题q，因为，所以，即；
所以为假命题，为真命题；
所以p是q的必要不充分条件；
故答案为：B.
【分析】本题考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，充分条件和必要条件的判定.先对变形可得：，构造函数，利用指数函数的单调性可推出，利用对数函数的单调性解不等式可得，最后利用充分条件和必要条件的定义进行判断，可选出选项.
7．（2024高二下·宜春期末）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质
【解析】【解答】解：，
所以是方程的两个实数根，则，，，
根据等比数列的性质，，且
所以，即，得.
故答案为：C
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，等比数列的性质.先求出导函数可得：，根据函数极值点的定义结合韦达定理可推出，利用等比数列的性质可得，进而可列出关于t的方程，解方程可求出t的值.
8．（2024高二下·宜春期末）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，
所以，所以，
令，
因为为偶函数，
则，即，
即，
所以，
当时，，即在上单调递减，则在上单调递增，
由，即，
所以，即，解得或，
即实数的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】本题考查函数的奇偶性，利用导函数研究函数的单调性.先令，利用偶函数的性质可推出，进而可推出在上单调递减，则在上单调递增，利用函数的单调性和奇偶性可将函数不等式转化为，解不等式可求出实数的取值范围.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·宜春期末）下列各组函数不是同一函数的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为，定义域为R，是不同函数，A正确；
B，函数的定义域都为R，对应法则相同，它们是相同函数，B错误；
C，的定义域都为R，又，即对应法则相同，它们是相同函数，C错误；
D，函数的定义域为，的定义域为，
是不同函数，D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查同一函数的定义.根据同一函数要满足如下两个条件：(1)定义域相同，就是自变量x的取值范围要相同；(2)函数表达式经过化简后相同；依次求出每个选项中函数的定义域，再化简出函数解析式，据此可判断每个选项是否为同一函数.
10．（2024高二下·宜春期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．有三个极值点 B．为函数的极大值
C．为的极小值 D．有两个极小值
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由函数的图象，可得：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当和时，函数取得个极小值点，
当时，函数取得个极大值点.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性.根据函数的图象，可推出的符号，利用导函数与原函数的关系可推出函数的单调区间为：数在上单调递减，在上单调递增，进而求出函数极值点，再对照选项逐项进行判断，可选出答案.
11．（2024高二下·宜春期末）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如与9互质)，则( )
A．若 n为质数，则 B．数列单调递增
C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列
【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、若n为质数，则小于或等于n的正整数中与n互质的数有个，
即，故A正确；
B、易知则即数列不是单调递增，故B错误；
C、小于等于的正整数中与互质的数为，总个，则数列前5项和为：，故C错误；
D、小于等于的正整数中与互质的数为1，2，4，5，...，总个，则而，即数列为等比数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据的定义，结合数列的单调性判断方法、函数最值求解方法以及等比数列定义逐项分析判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·宜春期末）已知是奇函数，当时，，则 ．
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：已知是奇函数 ，所以
故
故答案为：1
【分析】本题考查函数的奇偶性.根据奇函数的性质可得：，再代入具体自变量的取值可求出答案.
13．（2024高二下·宜春期末）已知数列满足：，当为奇数时，；当为偶数时，若，则的取值为 ．
【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由已知当n为奇数时，为偶数，为偶数，；
若，为偶数，则，即；
同理，，又，则.
故答案为：.
【分析】本题考查数列的递推公式.根据条件的递推公式可推出，再根据的值，可推出，进而可推出的值，再结合，可列出方程，解方程可求出m的值.
14．（2024高二下·宜春期末）设集合，且中任意两数之和不能被整除，则的最大值为 ．
【答案】16
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：根据除以5的余数，可将A集合分为5组：
，则，
，则，
，则，
，则，
，则，
A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个，
∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16.
故答案为：
【分析】本题考查集合的描述法，集合的并集运算.根据中的数除以的余数可将集合进行分组，分为5组.，通过列举法依次求出，再根据A中的任何两个数之和不能被5整除，利用集合的并集运算可求出，进而求出n的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·宜春期末）已知数列各项均为正数，且．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前项和．
【答案】（1）数列各项均为正数，且，，
可得，即为，
因为，所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
则；
（2）由题设，
所以数列的前项和为．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.
（1）根据，利用因式分解法可得：，再结合可推出，所以数列是等差数列，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
（2）先对式子进行变形可得：原式，再根据，可将问题转化为：原式，利用等差数列的前n项和公式可求出 数列的前项和 .
16．（2024高二下·宜春期末）已知函数．
（1）当时，求函数在的最小值和最大值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）当时，，，则，
令得，，所以当时，，单调递减
当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，
又因为，，所以的最大值为，
综上所述，函数在的最小值为，最大值为
（2）因为，所以，
当时，在上恒成立，故此时在上为增函数
当时，令，得，当时，
当时，，故此时在上为增函数在上为减函数，
综上所述，当时，在上为增函数当时，在上为增函数在上为减函数．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的最值.
（1）先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值，将极值与区间端点的函数值进行比较，可求出函数的最值；
（2）先求出导函数，分两种情况：与讨论导函数的正负，进而可求出函数的单调区间.
17．（2024高二下·宜春期末）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】（1）设甲工程队的总造价为元，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得，对任意的恒成立．
整理得：对恒成立，
令，，当且仅当，即，等号取到，
，在上递增，
，
所以，综上的取值范围为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求函数的最值.
(1)设甲工程队的总造价为元，利用面积乘以单价，再加上其它报价，通过化简可得：，利用基本不等式可求出报价的最小值，根据取等号的条件可求出报价最低时左右两面墙的长度；
(2)根据题意，利用参变分离可得：对恒成立，令，通过化简可得：，利用对勾函数的性质可求出，进而可求出的取值范围.
18．（2024高二下·宜春期末）已知，，是自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
【答案】（1）当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取到极小值，无极大值；
（2）方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如下图所示：
与有个交点，
则，
即的取值范围为；
（3）证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上严格增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上严格减，
所以，
即得证．
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，函数与方程的综合应用.
（1）把代入函数中，先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值.
（2），通过变形可将问题转化为：与的图象有两个交点，先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出函数的极值，根据单调性和极值可画出的大致图象，观察函数图象可求出实数的取值范围.
（3）先求出导函数，进而可推出函数在上单调递减，在上单调递增，根据条件可得，，要证，只需证，只需证，问题转化为证明成立，令，求出导函数，利用基本不等式可推出，进而推出函数在上严格增，利用函数的单调性可证明结论.
19．（2024高二下·宜春期末）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
（1）若，求数列的“点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为若数列存在“点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．
【答案】（1）因为，，，，，
所以数列的“点”为，．
（2）依题意，，
因为数列存在“点”，所以存在，使得，
所以，即．
因为，所以，所以．
又当时，取最大值，所以，又，所以．
当时，有，所以数列存在“点”，
则的取值范围为
（3）若，则数列不存在“点”，即．
由得，，所以
若存在，使得下证数列有“点”．
证明：若，则是数列的“点”
若，因为存在，使得，
所以设数列中第个小于的项为，则，
所以是数列的第个“点”．
综上，数列存在“点”．
不妨设数列的“点”由小到大依次为，，，，，
则是，，，，，中第个小于的项，
故，
因为，所以，所以，
所以
所以
个．
所以
综上，，得证．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，等比数列的求和公式，累和法求数列的和.
（1）先利用数列的通项公式写出数列的各项，再根据数列的“点”定义可求出“点；
（2）先利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，据此可得不等式，解不等式可求出的取值范围，再对进行检验可求出得出答案；
（3）本题需要分两种情况：先证明若，则，结论成立；再证明若存在，使得，则数列存在“点”，再根据数列的“点”定义可得： 数列的 “点” 由小到大依次为，再通过放缩可得：，再进行求和可证明结论.
1 / 1江西省宜春市2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·宜春期末）命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024高二下·宜春期末）已知集合，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·宜春期末）函数的定义域为( )
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·宜春期末）若函数有最小值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·宜春期末）已知，则( )
A． B． C． D．
6．（2024高二下·宜春期末）若，，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高二下·宜春期末）在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·宜春期末）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·宜春期末）下列各组函数不是同一函数的是( )
A．
B．
C．
D．
10．（2024高二下·宜春期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．有三个极值点 B．为函数的极大值
C．为的极小值 D．有两个极小值
11．（2024高二下·宜春期末）对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如与9互质)，则( )
A．若 n为质数，则 B．数列单调递增
C．数列的最大值为1 D．数列为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·宜春期末）已知是奇函数，当时，，则 ．
13．（2024高二下·宜春期末）已知数列满足：，当为奇数时，；当为偶数时，若，则的取值为 ．
14．（2024高二下·宜春期末）设集合，且中任意两数之和不能被整除，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·宜春期末）已知数列各项均为正数，且．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前项和．
16．（2024高二下·宜春期末）已知函数．
（1）当时，求函数在的最小值和最大值；
（2）讨论函数的单调性．
17．（2024高二下·宜春期末）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
18．（2024高二下·宜春期末）已知，，是自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
19．（2024高二下·宜春期末）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
（1）若，求数列的“点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为若数列存在“点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定为：“， ”
故答案为：D
【分析】本题考查命题的否定.命题的否定：先改量词后否定结论，据此对命题进行改写，可找出结论.
2．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
又，所以，所以.
故答案为：B
【分析】本题考查集合间的基本关系.根据可求出x的取值，进而可求出集合B，再根据，可得，利用两个集合的包含关系，可求出实数的取值范围.
3．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为：，，且
解得：，，并且
所以函数的定义域为：
故答案为：B
【分析】本题考查函数的定义域.根据分母不等于0，被开方数大于等于0，对数的真数大于0可列出函数的不等式组，解不等式组可求出函数的定义域.
4．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，，有最小值.
当时，二次函数开口向下，无最小值；
当时，无最小值；
当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.
故答案为：A
【分析】本题考查函数的最值.采用换元法设，可将问题转化为：，有最小值，利用二次函数的性质分两种情况：当时；当时；当时；根据二次函数的性质可求出最小值列出不等式，解不等式可求出t的取值范围.
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，且，则，
，
所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查利用指数函数的单调性，对数函数的单调性比较大小.先利用指数函数单调性可得：，再利用指对运算和指数函数单调性可推出：，最后利用对数函数单调性可得：，综合可比较出三个数的大小.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：设命题p：，命题q：
对于命题p，因为，所以，，
构造函数，易知在R上为增函数，所以；
对于命题q，因为，所以，即；
所以为假命题，为真命题；
所以p是q的必要不充分条件；
故答案为：B.
【分析】本题考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，充分条件和必要条件的判定.先对变形可得：，构造函数，利用指数函数的单调性可推出，利用对数函数的单调性解不等式可得，最后利用充分条件和必要条件的定义进行判断，可选出选项.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值；等比数列的性质
【解析】【解答】解：，
所以是方程的两个实数根，则，，，
根据等比数列的性质，，且
所以，即，得.
故答案为：C
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，等比数列的性质.先求出导函数可得：，根据函数极值点的定义结合韦达定理可推出，利用等比数列的性质可得，进而可列出关于t的方程，解方程可求出t的值.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为为偶函数，
所以，所以，
令，
因为为偶函数，
则，即，
即，
所以，
当时，，即在上单调递减，则在上单调递增，
由，即，
所以，即，解得或，
即实数的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】本题考查函数的奇偶性，利用导函数研究函数的单调性.先令，利用偶函数的性质可推出，进而可推出在上单调递减，则在上单调递增，利用函数的单调性和奇偶性可将函数不等式转化为，解不等式可求出实数的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为，定义域为R，是不同函数，A正确；
B，函数的定义域都为R，对应法则相同，它们是相同函数，B错误；
C，的定义域都为R，又，即对应法则相同，它们是相同函数，C错误；
D，函数的定义域为，的定义域为，
是不同函数，D正确.
故答案为：AD
【分析】本题考查同一函数的定义.根据同一函数要满足如下两个条件：(1)定义域相同，就是自变量x的取值范围要相同；(2)函数表达式经过化简后相同；依次求出每个选项中函数的定义域，再化简出函数解析式，据此可判断每个选项是否为同一函数.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由函数的图象，可得：
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当和时，函数取得个极小值点，
当时，函数取得个极大值点.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性.根据函数的图象，可推出的符号，利用导函数与原函数的关系可推出函数的单调区间为：数在上单调递减，在上单调递增，进而求出函数极值点，再对照选项逐项进行判断，可选出答案.
11．【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、若n为质数，则小于或等于n的正整数中与n互质的数有个，
即，故A正确；
B、易知则即数列不是单调递增，故B错误；
C、小于等于的正整数中与互质的数为，总个，则数列前5项和为：，故C错误；
D、小于等于的正整数中与互质的数为1，2，4，5，...，总个，则而，即数列为等比数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据的定义，结合数列的单调性判断方法、函数最值求解方法以及等比数列定义逐项分析判断即可.
12．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：已知是奇函数 ，所以
故
故答案为：1
【分析】本题考查函数的奇偶性.根据奇函数的性质可得：，再代入具体自变量的取值可求出答案.
13．【答案】
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由已知当n为奇数时，为偶数，为偶数，；
若，为偶数，则，即；
同理，，又，则.
故答案为：.
【分析】本题考查数列的递推公式.根据条件的递推公式可推出，再根据的值，可推出，进而可推出的值，再结合，可列出方程，解方程可求出m的值.
14．【答案】16
【知识点】集合的表示方法；并集及其运算
【解析】【解答】解：根据除以5的余数，可将A集合分为5组：
，则，
，则，
，则，
，则，
，则，
A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个，
∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16.
故答案为：
【分析】本题考查集合的描述法，集合的并集运算.根据中的数除以的余数可将集合进行分组，分为5组.，通过列举法依次求出，再根据A中的任何两个数之和不能被5整除，利用集合的并集运算可求出，进而求出n的最大值.
15．【答案】（1）数列各项均为正数，且，，
可得，即为，
因为，所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
则；
（2）由题设，
所以数列的前项和为．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.
（1）根据，利用因式分解法可得：，再结合可推出，所以数列是等差数列，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
（2）先对式子进行变形可得：原式，再根据，可将问题转化为：原式，利用等差数列的前n项和公式可求出 数列的前项和 .
16．【答案】（1）当时，，，则，
令得，，所以当时，，单调递减
当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，
又因为，，所以的最大值为，
综上所述，函数在的最小值为，最大值为
（2）因为，所以，
当时，在上恒成立，故此时在上为增函数
当时，令，得，当时，
当时，，故此时在上为增函数在上为减函数，
综上所述，当时，在上为增函数当时，在上为增函数在上为减函数．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的最值.
（1）先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值，将极值与区间端点的函数值进行比较，可求出函数的最值；
（2）先求出导函数，分两种情况：与讨论导函数的正负，进而可求出函数的单调区间.
17．【答案】（1）设甲工程队的总造价为元，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得，对任意的恒成立．
整理得：对恒成立，
令，，当且仅当，即，等号取到，
，在上递增，
，
所以，综上的取值范围为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求函数的最值.
(1)设甲工程队的总造价为元，利用面积乘以单价，再加上其它报价，通过化简可得：，利用基本不等式可求出报价的最小值，根据取等号的条件可求出报价最低时左右两面墙的长度；
(2)根据题意，利用参变分离可得：对恒成立，令，通过化简可得：，利用对勾函数的性质可求出，进而可求出的取值范围.
18．【答案】（1）当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取到极小值，无极大值；
（2）方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如下图所示：
与有个交点，
则，
即的取值范围为；
（3）证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上严格增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上严格减，
所以，
即得证．
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，函数与方程的综合应用.
（1）把代入函数中，先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值.
（2），通过变形可将问题转化为：与的图象有两个交点，先求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出函数的极值，根据单调性和极值可画出的大致图象，观察函数图象可求出实数的取值范围.
（3）先求出导函数，进而可推出函数在上单调递减，在上单调递增，根据条件可得，，要证，只需证，只需证，问题转化为证明成立，令，求出导函数，利用基本不等式可推出，进而推出函数在上严格增，利用函数的单调性可证明结论.
19．【答案】（1）因为，，，，，
所以数列的“点”为，．
（2）依题意，，
因为数列存在“点”，所以存在，使得，
所以，即．
因为，所以，所以．
又当时，取最大值，所以，又，所以．
当时，有，所以数列存在“点”，
则的取值范围为
（3）若，则数列不存在“点”，即．
由得，，所以
若存在，使得下证数列有“点”．
证明：若，则是数列的“点”
若，因为存在，使得，
所以设数列中第个小于的项为，则，
所以是数列的第个“点”．
综上，数列存在“点”．
不妨设数列的“点”由小到大依次为，，，，，
则是，，，，，中第个小于的项，
故，
因为，所以，所以，
所以
所以
个．
所以
综上，，得证．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，等比数列的求和公式，累和法求数列的和.
（1）先利用数列的通项公式写出数列的各项，再根据数列的“点”定义可求出“点；
（2）先利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，据此可得不等式，解不等式可求出的取值范围，再对进行检验可求出得出答案；
（3）本题需要分两种情况：先证明若，则，结论成立；再证明若存在，使得，则数列存在“点”，再根据数列的“点”定义可得： 数列的 “点” 由小到大依次为，再通过放缩可得：，再进行求和可证明结论.
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