2024-2025学年人教版九年级数学下册课件：26.1.2课时1 反比例函数的图象与性质(共30张PPT)

(共30张PPT)
北师大版九年级数学下册课件
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图像与性质
课时1 反比例函数的图象与性质
1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 (重点、难点)
2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.（重点）
学习目标
新课导入
知识回顾
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
新课讲解
知识点1 反比例函数的图象和性质
合作探究
例1 画反比例函数 与 的图象.
提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列 表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
新课讲解
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可
得 　的图象．
新课讲解
观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
新课讲解
结论
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限.它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
新课讲解
结论
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限.它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
新课讲解
归纳
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性.
新课讲解
(1)由于 x≠0，y≠0，所以反比例函数的图象与坐标轴没有交点(不经过原点).
(2)在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在每一个象限内”.
(3)反比例函数图象的位置和函数的增减性由 k 的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定 k 的符号.
新课讲解
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.
课堂小结
反比例函数 (k≠0)
k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
当堂小练
3. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( )
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
A.
B.
C.
D.
B
当堂小练
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
5. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0.
＜
S矩形＝|k|．
双曲线y＝中k的几何意义(矩形)
过双曲线上任意一点P(x，y)引x轴、y轴的垂线，则两垂线与坐标轴所围成的矩形面积S矩＝|x|·|y|＝|xy|＝|k|．
1．(北师9上P157改编)如图，点B(3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，则矩形AOCB的面积为　 　．
　6　
双曲线y＝中k的几何意义(三角形)
S三角形＝|k|．
过双曲线上任意一点M(x，y)引x轴的垂线，垂足为A，连接OM，则△AMO的面积S＝|k|．
A．16　 B．8　
C．4　 D．2
2．(2024绥化模拟)如图，点A为反比例函数y＝－图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为( )
D
两支双曲线中面积问题(拓展)
在两支不同的双曲线图象形成的有关几何图形的面积问题中，通常用以下方法：
(1)直接法
适合规则的图形，可以直接计算．
(2)割补法
将所求图形分割成若干个小图形或作辅助线补成一个常规图形，利用以上知识点1、2中的模型进行面积间的加减，进而求解．
(3)转化法
将某些不易于计算面积的图形，利用同底等高、全等、对称等性质转化为易于计算的图形．
(4)坐标法
设出某点坐标，根据解析式或已知关系表示出关联的点的坐标，进而求解．
A．1 B．1.5
C．3 D．6
3．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝－上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为( )
C
小结：考查k的几何意义，除了运用S△POM=|k|外，还应看图象所在的位置来确定k的正负.
4．【例1】(2024云南模拟)如图，反比例函数y＝的图象经过点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，O是原点，若△POM的面积为2，则k＝　 　．
　－4　
5．【例2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝
(k＞0)的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为5．
(1)求k和m的值；
(2)当x≥8时，求函数值y的取值范围．
解：(1)∵A(2，m)，∴OB＝2，AB＝m，
∴S△AOB＝OB·AB＝×2×m＝5，∴m＝5，
∴点A的坐标为(2，5)，把A(2，5)代入y＝，得k＝10．
(2)∵当x＝8时，y＝，
又∵反比例函数y＝在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当x≥8时，y的取值范围为0＜y≤．
(2)当x≥8时，求函数值y的取值范围．
小结：本题可以连接OA，OB，利用同底等高转化求面积；也可以设点P的纵坐标，进而表示出点A，B的坐标，然后求AB的长.
6．【例3】如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数y＝－和y＝于A，B两点，则△ABC的面积等于　 　．
　3　
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点D(1，4)是BC的中点，反比例函数y＝的图象经过点D，并交AB于点E．
(1)求k的值；(2)求五边形OAEDC的面积S．
解：(1)把D(1，4)代入y＝，得k＝1×4＝4．
(2)∵四边形OABC是矩形，D(1，4)是BC的中点，
∴BC＝2CD＝2，∴B点坐标为(2，4)，
∵k＝4，∴y＝，把x＝2代入y＝，得y＝＝2，
∴E(2，2)，∴BE＝2，∴S△EBD＝×2×1＝1，
∴S＝2×4－1＝7，即五边形OAEDC的面积为7．
★9． 0.35 如图，平行于y轴的直线与函数y1＝(x＞0)和y2＝(x＞0)的图象分别交于A，B两点，与x轴交于点D，OA交双曲线y2＝于点C，连接CD，若△OCD的面积为2，则k＝　 　．
　8　
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