2024-2025学年人教版九年级数学下册课件：26.1.2（课时2） 反比例函数的图象与性质的综合应用（30张PPT）

(共30张PPT)
人教版九年级数学下册课件
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图像与性质
课时2 反比例函数的图象与性质的综合应用
1.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)
2.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算.（重点）
3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点)
学习目标
新课讲解
知识点1 反比例函数图象和性质的综合
已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，
所以这个函数的图象位于第一、第三象限，
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
例
新课讲解
结论
判断点是否在反比例函数图象上的两种方法
(1)将点的横坐标作为x的值代入解析式，计算出y的值， 看点的纵坐标是否与所求出的y值相等；
(2)看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数 的比例系数k.
新课讲解
比较反比例函数值大小的方法
1.在同一分支上的点可以利用函数的增减性通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；
2.不在同一分支上的点，依据与 x 轴的相对位置(在 x 轴上方或 x 轴下方)来进行函数值大小的比较.
3.另外，图象法和特殊值法也是解决此类问题的常用方法，图象法形象直观，特殊值法简单直接.
新课讲解
知识点2 反比例函数解析式中 k 的几何意义
1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系
P (2，2) Q (4，1)
新课讲解
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
-5
-4
-3
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
-2
新课讲解
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系
P (-1，4) Q (-2，2)
新课讲解
1
2
3
4
y
x
O
P
Q
S1
S2
P (-1，4)
Q (-2，2)
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想 S1，S2 与 k的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
2
1
-2
-1
-1
-2
3
4
新课讲解
归纳
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
课堂小结
反比例函数
图象
性质
k 的几何意义
画法
形状
图象位置
增减性
列表、描点、连线
双曲线
拓展与延伸
已知一次函数和反比例函数值的大小关系，根据图象确定自变量取值范围的方法
(1)定点：确定两个函数图象的交点坐标；
(2)选段：当横坐标一致时，函数图象在上方的函数值大于函数图象在下方的函数值；
(3)确定范围：根据选段确定自变量的取值范围，要特别注意反比例函数中自变量不能为0.
运用反比例函数解决实际问题
根据题意找出未知量与已知量(即变量与常量)的关系，从而构建函数关系式．
1．(人教9下P2、北师9上P150)某小区要种植一个面积为
3 500 m2的矩形草坪，已知草坪的长y(m)随宽x(m)的变化而变化，则可用函数关系式表示为( )
A．y＝3 500x　 B．x＝3 500y
C．y＝　 D．y＝
C
数学建模思想
建立反比例函数模型，将实际问题转化为数学问题．
A．I＝ B．I＝
C．I＝ D．I＝
2．(跨学科融合)(人教9下P17、北师9上P158改编)某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为( )
C
小结：工作总量=工作效率×工作时间.
3．【例1】某工厂现有原材料100吨，平均每天用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x的函数关系式为　 　．
y＝
4．【例2】(跨学科融合)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距x(米)的数据如下表：
y(度) 100 200 400 500 …
x(米) 1.00 0.50 0.25 0.20 …
(1)y关于x的函数关系式是　 　；
(2)1 000度近视眼镜镜片的焦距为多少？
小结：根据表中数据猜测函数类型，并进行验证，本题y与x的乘积是一个常数.
解：(2)当y＝1 000时，1 000＝，
解得x＝0.1，故1 000度近视眼镜镜片的焦距为0.1米．
y＝
5．【例3】(跨学科融合)(人教9下P16、北师9上P159)某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于150 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
解：(1)设p＝，由图可知A(0.8，120)在函数p＝的图象上，
∴k＝0.8×120＝96，∴此函数的解析式为p＝．
小结：解决不等关系的关键是在图象上找对应点.
(2)当V＝1 m3时，p＝＝96(kPa)．
(3)当p＝150 kPa时，150＝，∴V＝＝0.64(m3)，
∴为了安全起见，气体的体积应不小于0.64 m3．
(2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于150 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
6．【例4】(跨学科融合)为了预防某病毒的传播，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为　 ，自变量x的取值范围为　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为
　 ；
y＝x　
0≤x≤8
y＝(x＞8)　
(2)研究表明，药物燃烧后，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过
　 　分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
　30　
解：(3)把y＝3代入y＝x，得x＝4．
把y＝3代入y＝，得x＝16．
∵16－4＝12＞10，∴此次消毒是有效的．
7．小明要把一篇24 000字的社会调查报告录入电脑，完成录入的时间t(分)与录入文字的速度v(字/分)的函数关系式为
　 　．
t＝
8．(人教9下P12改编)(2022广州)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，当d＝20时，S＝500．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的范围．
解：(1)设S＝，当d＝20时，S＝500，于是得500＝，∴V＝10 000(m3)．
(2)由(1)得S＝，
∵d＞0时，S随d的增大而减小，d＝16时，S＝625；d＝25时，S＝400，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
9．(北师9上P159改编)如图是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完满池水所用的时间t(h)之间的函数图象．
(1)该蓄水池的容积是　 　m3；
(2)如果要6 h排完满池水，那么每小时的排水量应该是多少？
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m3，那么至少要多少小时才可排完满池水？
　48 000　
解：(2)由(1)得V＝，当t＝6时，V＝＝8 000，
∴每小时的排水量应该是8 000 m3．
(3)∵V≤5 000，∴≤5 000，
∴t≥9.6，
∴至少要9.6小时才可排完满池水．
(3)如果每小时排水量不超过5 000 m3，那么至少要多少小时才可排完满池水？
小结：此类题是分段函数，其自变量的值是连续的，两个函数图象的交点是关键点.
谈谈这节课自己的收获
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