2025六年级下册数学第六章《一元二次方程》第二节《一元二次方程的解法》导学案（第四课时）
（第四课时）
一、自主学习
（一）知识回顾
解方程：
(1)5(x+8)－5=0 (2)3(x+2)=4x+5
（二）创设情境
一个数与它的三分之二、它的一半、它的七分之一加起来的和是33,求这个数.
设这个数为x,怎样列出方程呢
这个方程与上节课学过的一元一次方程有什么不同之处 你会解这个方程吗
（三）学习目标
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法;对解方程的步骤有整体的了解；（运算能力）
2.通过去分母解方程,体会数学中的“化归”思想方法；通过归纳一元一次方程解法的一般步骤,体会解方程的程序化思想方法；（推理能力）
3.培养自觉探索意识,在解题中享受成功的喜悦。
（四）自主学习
【活动1】自主学习（学）
解方程:(x+14)=(x+20)。
解法一： 解法二：
去括号，得 去分母，得
移项，得 去括号，得
合并同类项，得 移项，得
两边同除以( )，得 合并同类项，得
方程两边同除以( )，得
二、合作探究
【活动3】师徒对研（研、展）
1.(1)比较两种方法，你有什么发现？
(2)解含分数系数一元一次方程有哪些步骤？与同伴进行交流
【归纳】：（评）
。
【活动4】 小组共研（研、展）
你能说出解方程每一步的基本依据吗,与同学们进行交流.
【归纳】：（评）
去分母 去括号
移项 合并同类项
系数化为1
学以致用,巩固新知（练）
例2 解方程:=1-
拓展延伸
方程的解是_______.
三、整理提升
1.【自主盘点】结合“知识复盘表”，请你想一想，小组内说一说每个时间段的学习任务和学习活动。（理）
2.【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
当堂评价,争奇斗艳（练）
必做：
1.方程5- ，去分母得( )．
A．5-2(5x+7)=-(x+17) B．20-2(5x+7)=-x+17
C．20-2(5x+7)=-(x+17) D．20-10x+14=-(x+17)
2.若代数式与-1的值相等,则x=____________.
3.解方程：
(1) (2) +1=x－1 (3)
选做：
1.若的倒数与互为相反数,那么a的值是( )
A． B．- C．3 D．-3
2.若方程与关于x的方程的解相同,求a的值.
作业设计
必做：完成课本随堂练习和习题。
选做：预习下一章节。2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（1）》导学案
一、自主学习
（一）知识回顾
解一元一次方程的一般步骤？
（二）创设情景
将一个底面直径是20厘米,高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
（三）学习目标
1.让学生通过分析实际问题中的“不变量”，建立方程解决问题。
⒉ 让学生明白运用方程解决问题的关键是找到等量关系并建立数学模型。
⒊ 设未知数，正确求解，并验明解的合理性。
⒋ 激发学生的学习情绪，让学生在探索问题中学会合作。
（四）自主学习
锻造问题
【活动1】（学研展）
探究1：将一个底面直径是20厘米,高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
锻压前 锻压后
底面半径
高
体 积
根据题意填写上方表格，并根据等量关系，列出方程：__________________
二、合作探究
（一） 铁丝问题
【活动2】（研展评）
探究1：小明想用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。
（1）使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？
师徒对研：先独立思考，再进行师徒对研; 最后徒弟快速陈述，师傅补充修正。限时2分钟。
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？
结论：围成_______________时面积最大
（二）扩展题
【活动3】（研展评）
探究2：小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽多4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
合作共研：先独立思考，再进行组内共研。限时2分钟
例1：要锻造一个直径为10厘米，高为8厘米的圆柱形毛坯，应截取直径为8厘米的圆钢多长？
例2：地球上的海洋面积为陆地面积的2.4倍，地球的表面积约为5.1亿平方千米，求地球上的海洋面积和陆地面积（四舍五入到0.1亿平方千米）。
例3 ：如图所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
三、整理提升（理）
本节课你有哪些收获？
【当堂检测】（练）
必做：
一只直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为131 × 131毫米2、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少？（可以借助计算器）
【拓展训练】
选做：
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体木块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（2）》导学案
一、自主学习
（一）知识回顾
1.锻压前体积 = 锻压后体积
2.列方程的关键是正确找出等量关系。
3.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变
4.长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大。
（二）创设情景
今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁，多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？
（三）学习目标
1.一元一次方程解实际问题的关键步骤。
2.根据题意寻找“等量关系”。
3.拓展，培养创新意识。
（四）自主学习
【活动1】（学研展）
探究1：今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁，多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？
（1）这个问题中已知数是什么？未知数是什么？
（2）设x年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍，你能用代数式表示x年后小亮的年龄和爸爸的年龄吗？试填写下表：
小亮的年龄 爸爸的年龄
今年
X年后
在这个问题中有什么等量关系？你能利用问题中的等量关系列出方程吗？与同伴进行交流。
总结：对比小颖和小明的做法，你发现了什么？
注意：列方程时，关键是找出问题中的等量关系
思考：
小颖和小明所列的方程正确吗？
（2）他们分别根据什么等量关系列的方程？
二、合作探究
（一） 年龄问题
【活动2】（研展评）
探究1：(1)在上面的问题中，多少年前，小亮的年龄是爸爸年龄的 ？
合作共研：先独立思考，再进行组内共研。限时2分钟
(2)经过若干年后，小亮的年龄能等于爸爸年龄的 五分之四吗 这个问题给你的启发是什么？
师徒对研：先独立思考，再进行师徒对研; 最后徒弟快速陈述，师傅补充修正。限时2分钟。
（二）扩展题
【活动3】（研展评）
例1：
例2：某商场今年5月份的销售额是200万元，这比去年5月份销售额的2倍少40万元。去年5月份的销售额是多少万元？
三、整理提升（理）
本节课你有哪些收获？
【当堂检测】（练）
必做：
小明编了一道这样的题：我是4月出生的，我的年龄的2倍加上8，正好是我出生那一月的总天数。你猜我有几岁？请你求出小明的年龄。
2、某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，这家工厂去年、前年共生产再生纸3000t，已知去年的产量比前年的2倍还多150t。这家工厂前年生产再生纸多少吨？
【拓展训练】
选做：
3、甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，甲队与乙队共进行了10场比赛，甲队保持不败记录，一共得了22分，甲队胜了多少场？平了多少场？2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（3）》导学案
（第三课时）
一、自主学习+合作探究
（一）知识回顾
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
2、说一说前面我们学习了哪几种问题？
3、怎样找问题中的等量关系？你有哪些体会？
（二）创设情境
喜欢秋游吗？这节课我们就一起来看看秋游里的数学奥秘。
（三）学习目标
1、 能根据含有两个等量关系的实际问题找到正确的等量关系，列出方程解决实际问题。（运算能力、推理能力）
2、 体验建立方程模型解决问题的一般过程。（模型思想）
3、 通过学习，更加关注生活，增强应用数学的意识，从而激发学习数学的热情。（应用意识）
（四）自主学习+合作探究
【活动1】自主学习，观察思考：（学）
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，成人票每张15元，学生票每张10元，总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗？
这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）设学生人数为x，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 学生 老师
人数
票款/元
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
根据等量关系，可列出方程： 。
解这个方程，得x= 。
因此学生人数为 ，老师人数为 。
【活动2】（学展）
【问题】尝试·交流：
（1）设学生票款为y元，你能根据哪个等量关系列出方程？请列出方程并解答。
（2）你还能列出不同的方程解决这个问题吗？与同伴进行交流。
【活动3】合作探究（研展评）
例3 某学校为丰富“阳光体育”活动，现购进篮球和足球共16个，共花了2820元钱。已知篮球和足球的单价分别为185元、150元，那么篮球和足球各购进多少个？
（要求：先自主思考， 再小组交流。）
（提示：本题涉及哪些量？他们之间有怎样的等量关系？如果设篮球购进x个，你能用含有x的代数式表示它们的数量关系吗？）
【活动4】小试牛刀（练）
小明用172元钱买了两种书，共10本，单价分别为18元、10元，每种书小明各买了多少本？
在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的桌子共16个，如果椅子腿数与桌子腿数加起来共60条，那么椅子和桌子各有多少个？
某工程队共有55人，每人每天平均可挖土2.5m3,或运土3m3,为了合理分配劳力，使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人数分别是多少？
二、整理提升
（一）课堂小结
【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
（二）达标检测（练）
必做：
1.用铝片做听装饮料瓶，现有150张铝片，每张铝片可制瓶身16张或制瓶底43张,一个瓶身和两个瓶底可配成一套,设用x张铝片制瓶身,则下面所列方程正确的是（ ）
A.2×16x=43(150﹣x) B.16x=43(150﹣x)
C.16x=2×43(150﹣x) D.16x=43(75﹣x)
2.成都市为减少雾霾天气采取了多项措施,如对城区主干道进行绿化.现计划把某一段公路的一侧全部栽上银杏树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是（ ）
A.5(x+21﹣1)=6(x﹣1) B.5(x+21)=6(x﹣1)
C.5(x+21﹣1)=6x D.5(x+21)=6x
3.一份试卷共25道题，答对一题得4分，不答或答错扣1分，请问在这次考试中，是否有学生的得分为83分，若有，那么他做对了多少道题？若没有，请说明理由.
选做：
4.请根据图中提供的信息,回答下列问题 :
（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元
（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯,为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定： 这两种商品都打九折;乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯。若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由.
作业设计
必做：
完成课本习题。
选做：
思考如何快速找准等量关系。2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（4）》导学案
（第四课时）
一、自主学习+合作探究
（一）知识回顾
列一元一次方程解决实际问题的基本思路是什么？
（二）创设情境
《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著.其中的许多数学问题是世界上记载最早的.
例如它首先记录了“盈不足”问题.“盈不足”问题，即盈亏问题，是指把一定数量的物品平均分给一定数量的人，若按某种标准分，则分配后有余（盈），按另一种标准分，分配后又会有不足（亏）的问题.
（三）学习目标
1.能列一元一次方程解决盈亏问题；(抽象能力、运算能力)
2.会用表格分析复杂问题中的数量关系，并体会盈亏问题未知数的不同设法；(推理能力、数据观念)
3.进一步体会用一元一次方程解决实际问题的步骤.（模型思想、应用意识）
（四）自主学习+合作探究
【活动1】自主学习，观察思考：（学）
《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问:人数、物价各几何
题目大意:几个人合伙买东西,若每人出8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少
(1)问题中有哪些已知量和未知量 它们之间有怎样的等量关系
(2)设人数为x,其他未知量能用含x的代数式表示吗 请完成下表.
(3)设人数为x.
根据等量关系,列出方程: .
解这个方程,得x= .
因此,人数为 ,物价为 钱.
【活动2】（学展）
【问题】尝试·交流：
如果设物价为y钱,你能列出怎样的方程 与同伴进行交流.
【活动3】知识归纳（研展理）
小组归纳：利用一元一次方程解决“盈不足”问题的方法
【活动4】合作探究（研展评）
例4 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问:人数、金价各几何
题目大意:几个人合伙买金,每人出400钱,会多出3400钱;每人出300钱,会多出100钱.合伙人数、金价各是多少
分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？
（要求：先自主思考， 再小组交流。）
【活动5】思考·交流：（研展评）
(1)对于以上例题，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程
(2)对于以上例题,《九章算术》给出了一种算法:
人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差;
物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数。
你能理解这种解法吗 与方程的求解过程相比，有什么不同 与同伴进行交流。
【活动6】方法归纳（研展评）
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
【活动4】小试牛刀（练）
1.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:
“庭前孩童闹如簇,不知人数不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齐足.”其大意是:孩童们在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4个梨,多12个梨;每人分6个梨,恰好分完.设梨有x个,则可列方程为 .
2.《九章算术》里有一题大意:今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差3钱.问：人数、玉石的价格各是多少？
3.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.求该店有房客多少人.
二、整理提升
（一）课堂小结
【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
（二）达标检测（练）
必做：
1.动物园的门票售价:成人票每张50元,儿童票每张30元.某日动物园售出门票700张,收入29 000元.设儿童票售出x张,根据题意可列出方程为( )
A.30x+50(700-x)=29 000 B.50x+30(700-x)=29 000
C.30x+50(700+x)=29 000 D.50x+30(700+x)=29 000
22.古代名著《孙子算经》中有一题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车各几何 设有车x辆,则根据题意,可列出方程是( )
A.3(x+2)=2x-9 B.3(x+2)=2x+9
C.3(x-2)=2x-9 D.3(x-2)=2x+9
3.某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行,租用同型号客车4辆,还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位.求该客车的载客量.
选做：
4.某班举行联欢会，有x位师生，购买了y份礼品盒。若每人发3个，则还剩7份礼品盒；若每人发4个，则最后还缺24份礼品盒。下列5个方程符合题意的是( )
①3x＋7＝4x－24；②；③3x－7＝4x＋24；
④； ⑤3x＋7＝y。
A.①② B.①②⑤
C.①②③④⑤ D.③④⑤
作业设计
完成课本习题。2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（5）》第五课时导学案
（第五课时）
自主学习
知识回顾
1、列一元一次方程解应用题的基本步骤：
（1）审题（2）设未知数（3）列一元一次方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案
2、回顾前面所出现问题是怎样找等量关系的？
3、说说前面所学“行程问题”的基本等量关系。
（二）创设情境
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校，一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时距学校还有多远？
（三）学习目标
1．正确理解“行程问题”各量之间的数量关系，路程=速度×时间.
2．能根据“行程问题”的等量关系，列方程解应用题．
3．学会用“线段法”分析实际问题中的等量关系．
（四）自主学习
预习课本，尝试思考解决课本中的问题，并总结用一元一次方程解决实际问题的步骤。
二、合作探究
【活动探究一】直线追及问题（学）
小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000m的学校，一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时距学校还有多远？
(1)问题中涉及哪些量 哪些是已知量 哪些是未知量
(2)想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗
(3)你是怎样列出方程的 与同伴进行交流。
（要求：先独立思考，有问题及时请教同学，限时3分钟）（研、展）
小试牛刀（练）：
小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4 m,小强每秒跑6 m。
(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇
(2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10 m处，两人同时同向起跑，经过几秒小强能追上小彬
【活动探究二】环形跑道相遇问题（研、展）
例5 小明和小华两人在400 m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m,小华每分钟跑300 m,两人起跑时站在跑道同一位置。
(1)如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明
(2)如果小明起跑后1 min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇
（要求：先独立思考，再徒弟先说，师傅订正补充，时间3分钟）
小试牛刀（练）：
1.在一个环形跑道上，小明从起点出发，每分钟跑3圈，小红从起点出发，每分钟跑2圈，请问她们何时能再次相遇？
2.在一个环形跑道上，小明从起点出发，每分钟跑3圈，小红从起点的反方向出发，每分钟跑2圈，请问她们何时能再次相遇？
【活动探究三】一元一次方程解决实际问题的步骤（研、展）
用一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？与同伴交流。
三、整理提升
（理）1.直线相遇追及问题的解题方法是什么？
2.环形跑道相遇追及问题的解题方法是什么？
3.一元一次方程解决实际问题的步骤是什么？
当堂检测（练）
必做：
1.育英学校六年级学生步行到郊外旅行。六(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h,六(2)班的学生组成后队，速度为6 km/h。前队出发1 h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12 km/h。
(1)后队出发后，经过多长时间可以追上前队
(2)联络员出发后追上前队时，距离后队有多远
2.今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸;屈绳量之，不足一尺。问:几何 (选自《孙子算经》)
题目大意:有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸;将这根绳子对折来量，绳子差1尺。这根木材有多长
选做：
一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35 km/h的速度前进。突然，1号队员加快速度，以45 km/h的速度独自行进，行进10 km后掉转车头，仍以45 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合。1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过了多长时间
作业设计
必做：完成课本随堂练习和习题。
选做：完成本节课思维导图。2025初中六年级下册数学第七章《相交线与平行线》第一节《两条直线的位置关系》导学案（第一课时）
一、自主学习＋合作探究
（一）知识回顾
同学们，你知道平面内两直线的位置关系有哪两种吗？ 和 。
（二）创设情境
1.播放公益广告：《筷子篇》
一双筷子不仅是一种餐具，更代表了中国文化，它象征着文明、礼仪、团圆，幸福，希望同学们将这种文化和情感传承下去。
2.提出问题：请同学们观察生活，我们日常在使用筷子过程中，两根筷子的摆放位置可能出现哪些情形？
学生活动：一生黑板展示，余下学生同桌利用手中的两支笔，摆一摆，说一说。
（三）学习目标
1. 能够通过具体事例了解在同一平面内两条直线的位置关系。（抽象能力、几何直观）
2. 在两直线的位置关系的基础上理解对顶角、余角、补角的概念，掌握对顶角、余角、补角的性质。 （空间观念、推理能力）
3.能灵活应用对顶角，余角，补角的性质解决数学问题，并进行简单的有条理的表达。 （应用意识）
（四）自主学习＋合作探究
【活动1】自主学习课本66页上半部分，完成下列问题。(学)
1.相交线定义：若两条直线_______________，我们称这两条直线为相交线。
2.平行线定义：在_______平面内，_______的两条直线叫做平行线。
3.说一说生活中有关直线相交和平行的现象。（研，展）
4.火眼金睛 判断正误：（练）
（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线。( ）
（2）没有公共点的两条直线是平行线。( )
【活动2】（学研展）
【问题】对顶角（提示：善于归纳，结合抽象出的图形，总结形成概念）
如图，直线AB与CD相交于点O，那么∠1与∠2的位置有什么关系？它们的
大小有什么关系？为什么？
发现1：∠1与∠2的位置关系(学)
对顶角的定义：
如图，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有___________，它们的两边________________，这样的两个角叫做_______。
发现2：∠1与∠2的大小关系（有几种验证方法？）(研展)
方法1：______________；方法2：_____________；
方法3：因为∠1+∠3=_____°，∠2+∠3=______°，则∠1+____=∠2+____，
所以______=______。
对顶角的性质：______________________。
小试牛刀：（练）
1.下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是( )。
2.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为____，测量原理为：_________。
【活动3】补角、余角的定义及性质（学，展，评）
（一）互余、互补的定义（学）
互为余角：如果_____________，那么称这两个角_________。
互为补角: 如果_____________，那么称这两个角_________。
几何语言：（展）
∵∠1＋∠3=______°，∴∠1与∠3______。
∵∠α＋∠β=______°，∴∠α与∠β______。
注意：互余互补只与两个角的数量有关，与位置无关。（评）
乘风破浪（练）
填写下面表格：
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
70°
95°
x°（0°判断正误：
1.若∠1+∠2+∠3=180 ,则∠1，∠2，∠3互补。 ( )
2.互为补角的两个角一定是一个锐角一个钝角。 ( )
3.一个锐角的补角比它的余角大90°。 ( )
(二)余角、补角的性质
1.补角的性质：（学，评）
如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球想直接入袋，
需要满足∠1=∠2。
思考下列问题：
问题1：∠1的补角是__________，∠2的补角是_________。
问题2：∠AOC与∠BOD有什么关系 为什么？
归纳总结：补角的性质：_____________________________。
2.余角的性质：（研，展，评）
如图，ON与DC相交所成的∠DON =∠CON= 90°，
且∠1=∠2。
(类比“补角性质”的探究思路，小组交流以下问题：)
问题1：∠1的余角是________，∠2的余角是_________。
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
因为∠DON =∠CON= 90°
所以∠1+____=90°，∠2+____=90°，
所以∠1+____=∠2+____。
因为∠1=∠2，
所以____=_____。
发现1：_________________。
若把探究过程中的∠2换成∠1，你能得到∠3与∠4有什么关系？
发现2：_________________。
问题3：你能得到什么结论？
归纳总结：余角的性质：___________________________。
（要求：先独立思考后，徒弟先说，师傅订正补充，时间3分钟）
大显身手：（练）
填空：
1.若∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3，则_____=_____。理由：________________。
2. 如图，在电线杆C处引两根拉线固定电线杆，若∠1+∠2=90°，∠1+
∠3=90°，那么∠2 =____。理由_________________。
二、整理提升（理）
1.【自主盘点】根据导学案的内容回顾梳理本节课的内容。
2.【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。
达标检测,评价反馈（练）
必做：
1.如图，直线AB,CD相交于点o，∠1=38°，求∠2，∠3，∠4的度数。
2.在长方形的台球桌上，∠1＋∠3=90°∠2=∠3。如果∠2=58°，求∠1等于多少度？
选做：
以台球桌面为背景，自编题目并解答
作业设计
巩固性作业：完成课本随堂练习2和习题4。
拓展性作业：根据本节课所学内容制作思维导图。
平行线教会我们独立思考，相交线教会我们合作与交流。希望同学们在追求梦想的道路上，既有平行线的坚定，又有相交线的精彩。2025初中六年级下册数学第七章《相交线与平行线》第一节《两条直线的位置关系》导学案（第二课时）
一、自主学习+合作探究
（一）知识回顾
1.平行线和相交线的定义
2.互余、互补的定义
3.余角、补角的性质
（二）创设情景：（学）
观察下面图片,你能找出其中相交的直线吗 它们有什么特殊的位置关系
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
（三）学习目标
1.能通过具体情境说出并掌握垂直和垂线的概念.
2.学会用三角板或利用方格纸画一条直线的垂线.
3.理解“垂线的性质”“垂线段最短的性质”以及点到直线的距离.
（四）自主学习+合作探究：
探究一：垂直的定义与表示（独立思考，师徒对研，时间3分钟）（学研展）
想一想：两条相交直线在什么情况下是垂直的？
1.如图，若∠1=60°，那么∠2=_____、∠3=_____、∠4=______.
2.改变图中∠1的大小，若∠1=90°,则∠2= _____ ，∠3= ______ ，∠4=________ ，这时两条直线的关系是________ .
阅读课本69--70页内容，完成下列问题：
(1)垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是_______，那么称这两条直线_______.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做_______.
(2)垂直的表示方法：“直线AB与CD垂直，交于点O”，记作：AB____CD于点O；如果用____,m表示这两条直线，那么“直线_____与 m 垂直，交于点O”，记作：______m 于点O.
思考.交流（独立思考，小组合作，时间5分钟）（学研展）
如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗 为什么
以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗
由∠AOC＝∠BOC，且∠AOC+∠BOC＝180°，
可得∠AOC＝∠BOC=90°，
所以OC⊥AB.
如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗 为什么 与同伴进行交流。
练一练（练）
1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有（ ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1
2.如图，C为直线 AB上一点，过点C引两条射线 CE，CD，且∠ACE=31°，∠DCB=59°.那么CE，CD的位置关系是什么 为什么
探究二：垂线的画法
（学研展）
(1)你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？
探究三：垂线的性质和点到直线的距离
（独立思考，同桌对研，时间5分钟）（学研展）
尝试.思考：(1)画已知直线l的垂线能画几条
(2)如图，点A在直线l上, 你能用三角板过点A画直线l的垂线吗？你能画出多少条
(3)如图，点A在直线l外, 过点A画直线l的垂线，
你能画出多少条呢
知识归纳（评）
垂线的性质1：
如图所示，P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么
知识归纳（评）
垂线的性质2：
巩固练习：（练）
1.如图所示，在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.
若AC=4 cm,BC=3 cm,AB=5 cm,则点A到直线BC的距离为________ cm,点B到直线AC的距离为______cm,点C到直线AB的距离为______ cm.
2. P为直线m外一点，A,B,C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm,则点P到直线m的距离 ( )
A.等于4cm B.等于2cm C.小于2cm D.不大于2cm
二、整理提升（理）
(一）课堂小结，画出本节课思维导图。
（二）当堂检测：（练）
必做
1.如图所示，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( )
A.∠AOD=90° B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC+∠BOD=180°D.∠AOC+∠BOD=180°
2.如图所示,已知点O在直线AB上,CO⊥DO.若∠1=155°,则∠3的度数为 __________ .
3.如图所示，单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是:过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管,其数学道理是 ________________ .
选做.
1.如图所示，过点A画CB的垂线,并指出哪条线段的长度表示点A到直线CB的距离.
2.如图所示，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度数.2025初中六年级下册数学第七章《相交线与平行线》第二节《探索直线平行的条件》导学案（第一课时）
一、自主学习
（一）知识回顾
同一平面内两直线的位置关系：
在同一平面内 有一个交点
没有交点
的两直线叫做平行线。
其实，咱们的劳动人民是智慧的，对于找两直线平行的条件，请看咱们的装修工人是怎么做的.
（二）创设情境
思考：如图，装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明.
（三）学习目标
1.能够通过具体事例掌握同位角的概念，理解并掌握直线平行的条件，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线，掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题；（抽象能力、几何直观）
2.经历对具有平行特征的图形进行观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力；（空间观念、推理能力）
3.增强探索数学奥秘的兴趣和好奇心，通过平行的实例感受数学与生活的紧密联系。（应用意识）
（四）自主学习
【活动1】观察∠1， ∠2大小与直线的位置关系（学展评）
（要求：先独立思考，再限组内5-6号回答。时间：1分钟）
观察∠1， ∠2大小关系以及直线a与b的位置关系
当∠1 ∠2，直线a与b ；
当∠1 ∠2，直线a与b ；
当∠1 ∠2，直线a与b 。
二、合作探究
【活动2】同位角的概念与形状特征（学研展评）
（要求：先独立思考， 组内共研。由3、4号快速陈述，1、2号补充修正。时间5分钟）
【问题】1.直线AB，CD被直线EF所截，构成了____个角。
2.探究∠1与∠2的位置关系。
①在截线EF的（ ）
②在被截线AB、CD的（ ）
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.
3.用自己的话总结同位角的概念。
4.图中的同位角还有哪些？
5.同位角形状上有什么特征呢？（提示：同位角从复杂的图形里抽出来的）
教师通过动画演示从复杂图形中抽离出同位角使问题更直观化。（评）
当堂练习（练）
1. 如图中的∠1和∠2是同位角吗 为什么
2.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是（ ）
回到两直线平行的判断上来,当∠1和∠2相等时，两直线 ，即得到：
判断两直线平行的方法：
【活动3】用三角尺和直尺画平行线（学研展评）
（要求：先独立思考，再组内共研。时间：5分钟）
用心感悟：用三角尺和直尺画平行线的方法，
在画图过程中，三角尺起着什么样的作用？
教师通过动画演示用三角尺和直尺画过直线外一点作已知直线的平行线，使操作更直观化。（评）
【活动4】平行公理及其推论（学研展评）
（要求：先自主思考，徒弟有问题及时请教师傅。时间：3分钟）
根据要求画出图形，再探究性质.
（1）你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画出几条？
（2）在下图中，分别过点C，D画直线AB的平行线EF，GH。EF与GH有怎样的位置关系？
根据画出图形，你得出什么结论？
当堂练习（练）
1.如图，直线a,b,c被直线m,n所截，且∠1=∠2，
∠3+∠4=180°，那a与b平行吗？请说明理由。
（要求：先独立思考再师徒共研，时间3分钟）
3、整理提升
（一）课堂小结
【自主盘点】总结本节课学到的知识点和需要注意的地方。（理）
【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
（二）达标检测（练）
必做：
1. ∠1的同位角有哪些？
2. 找出下面点阵图中互相平行的线段，并说明理由.（点阵中相邻的四个点构成正方形）
3.如图，已知AD平分∠CAE，∠B=∠1,试说明：AD∥BC
选做：
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD AB于D,E,F分别为AB，AC上的点，且∠AFE=∠B,试说明EF∥CD
【作业设计】
必做：完成课本随堂练习和习题。
选做：完成本节课思维导图。2025初中六年级下册数学第七章《相交线与平行线》第二节《探索直线平行的条件》导学案（第二课时）
（第二课时）
一、自主学习+合作探究
（一）知识回顾
1.∠1与∠2都是 ，
图形特征：形如 。
2.从∠5= ，可以推出AB∥CD，
理由 。
（二）创设情境
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘CD与EF是否平行，于是，他在两个边缘之间画了一条线段AB。小明只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
（三）学习目标
1.知道内错角和同旁内角的概念，会识别几何图形中的内错角与同旁内角。由内错角与同旁内角的关系，判定两直线平行。（抽象能力、几何直观）
2.经历对具有平行特征的图形进行观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。（空间观念、推理能力）
3.增强探索数学奥秘的兴趣和好奇心，通过平行的实例感受数学与生活的紧密联系。（应用意识）
（四）自主学习+合作探究
【活动1】内错角和同旁内角的概念与形状特征（学研展）
（要求：先独立思考，再师徒共研。时间：6分钟）
【问题】1.直线AB与CD被EF所截，观察∠3与∠5，有怎样的位置关系？
∠3与∠5 同在被截线AB、CD_____，在截线EF_____侧。我们把有∠3与∠5这种特征的 角叫做内错角。
2.你还能找出其他的内错角吗？
3.内错角呈 形。（提示：简化图形，只保留目标角的边，位置关系就一目了然）
4.直线AB与CD被EF所截，∠3与∠6，有怎样的位置关系？
∠3与∠6同在被截线AB、CD_____，在截线EF_____侧。我们把有∠3与∠5这种特征的角叫做同旁内角。
5.你还能找出其他的同旁内角吗？
6.同旁内角呈 形。
（提示：善于归纳，结合抽象出的图形，总结形成概念）
教师通过动画演示从复杂图形中抽离出内错角和同旁内角使问题更直观化。（展评）
【活动2】比较同位角、内错角、同旁内角（学展评）
（要求：先独立思考，限号4、5、6号回答。时间3分钟）
生活中的数学：三线八角手势
当堂练习（练）
1.如图，直线DE,BC被直线AB所截. ∠1与∠2， ∠1和∠3，
∠1和∠4各是什么角？
2.（1）如图1,若ED,BF被AB所截,则∠1与____是同位角.
（2）如图2,若ED,BC被AF所截,则∠3与___ 是内错角.
(3)∠1与∠3是AB和AF被_____所截构成的 角；
(4)∠2与∠4是 和 被BC所截构成的____角.
【活动3】探究内错角、同旁内角与直线平行的关系（学研展评）
（要求：先自主思考，组内谈论，由3、4号快速陈述，1、2号补充修正。时间：8分钟）
【问题1】如果两条直线被第三条直线所截，那么能否利用内错角来判定两条直线平行呢？
如图，由∠3= ∠2，可推出a//b吗？如何推出？
结论：
几何语言：
【问题2】如果两条直线被第三条直线所截，那么能否利用同旁内角来判定两条直线平行呢？如图，如果∠1+∠2=180°，你能判定a//b吗
结论：
几何语言：
总结：证明直线平行的4种方法
1.
2.
3.
4.
当堂练习（练）
1.如图三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。
2.根据条件完成填空：
（1）∵∠1= （已知）
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
（2）∵∠1+ =180°（已知）
∴CD//BF（ ）
（3）∵∠4+ =180°（已知）
∴CE//AB（ ）
（4）∵∠2=∠4（已知）
∴ // （ ）
【活动4】尺规作图（学研展评）
（要求：先自主思考，再组内谈论。时间：5分钟）
某公园现有两条直道AB和CD交于O,为方便游客观赏，公园管理部门决定过直道CD上的点P,再修建一条直道MN，并使MN与AB平行，你能在图中画出直道MN吗？
（1）过点P的直线有多少条？
（2）满足什么条件的直线才能与AB平行？
进一步思考
已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN//AB
二、整理提升
（一）课堂小结
【自主盘点】总结本节课学到的知识点和需要注意的地方。（理）
【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
（二）达标检测
必做：
1.已知，如图，直线AB，CD被直线ED所截，∠1=130°，∠2=50°。
求证：AB∥CD（请用三种方法证明）
2.如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？
选做：
3. 如图，EF平分∠BEG，GF平分∠DGE，若∠1+∠2=90°，猜测AB、CD的位置关系，并说明理由。
【作业设计】
必做：完成课本随堂练习和习题。
选做：完成本节课思维导图。2025六年级下册数学第六章《一元二次方程》第二节《一元二次方程的解法》导学案（第三课时）
一、自主学习
（一）知识回顾
1.等式的基本性质是什么？
2.去括号法则是什么？
3.解方程2x+6=1的步骤是什么？
（二）创设情境
小颖在超市买了1袋牛奶和4瓶矿泉水,她付给售货员20元,售货员找回3元.已知1瓶矿泉水比1袋牛奶贵0.5元,你能算出1袋牛奶多少钱吗
你用的什么方法解决这个实际问题 直接计算方便吗
（三）学习目标
1.正确理解和使用去括号法则；（推理能力）
2.会解含有括号的一元一次方程；（运算能力）
3.尝试从不同的角度，用不同的方法有效地解方程，并能评价不同方法之间的差异。
（四）自主学习
【活动1】自主学习，思考题目中有哪些量 这些量之间有什么样的等量关系，请列出方程.（学）
【活动2】探究用去括号解一元一次方程
1.解方程 4(x+0.5)+x=20-3
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
方程两边同除以 ，得
二、合作探究
【活动3】师徒对研 （研、展）
思考:通过以上解方程的过程,你能总结出解含括号的一元一次方程的一般步骤吗
【归纳】：（评）
1. 。
2. 。
3. 。
4. 。
精讲精练：（练）
1.解方程：
（1）4x-3（20-x）=3 （2）11x+1=5（2x+1）
2.解方程:-2(x-1)=4（提示与要求：尝试两种解法）
解法一：
解法二：（温馨提示-------将“x-1”看成一个整体，运用“整体”的数学思想方法）
【活动4】 小组共研（研、展）
观察例题两种解方程的方法,说出它们的区别,并与同学们进行交流.
【归纳】：（评）
去括号的规律:去括号,看符号;是“+”, ;是“-”, .
学以致用,巩固新知（练）
1.若x=-3是关于x的方程m(x+4)-x-2m=5的解,则m的值是( )
A.-2 B.2 C.3 D.5
2.解下列方程
(1) -3(x-5)＝6； (2) 2(3-x)＝9。
三、整理提升
1.【自主盘点】结合“知识复盘表”，请你想一想，小组内说一说每个时间段的学习任务和学习活动。（理）
2.【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
当堂评价,争奇斗艳（练）
必做：
1.判断下列解方程 是否正确？若有错误请改正。
（1）解方程：4-（3-2x）=3
解：去括号，得 4-3-2x=3
合并同类项，得 -2x=2
两边同除以-2，得 x=-1 （ ）
（2）解方程：3（x-1）=5
解：去括号，得 3x-1=5
合并同类项，得 3x=6
两边同除以3，得 x=2 （ ）
2.解方程
（1）5（x-1）=1 （2） 2-（1-x）=-2 （3）4x-3（20-x）=3
3.用两种方法解方程：
-4（1-x）=12
解：法一 ： 法二：
选做：
4.（1） （x-3）=2-（x-3）
（2）若x=1是方程m（x-1）-3（x+m）=0的解，求m的值。
作业设计
必做：完成课本随堂练习和习题。
选做：预习下一章节。2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（1）》导学案
一、自主学习
（一）知识回顾
解一元一次方程的一般步骤？
（二）创设情景
将一个底面直径是20厘米,高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
（三）学习目标
1.让学生通过分析实际问题中的“不变量”，建立方程解决问题。
⒉ 让学生明白运用方程解决问题的关键是找到等量关系并建立数学模型。
⒊ 设未知数，正确求解，并验明解的合理性。
⒋ 激发学生的学习情绪，让学生在探索问题中学会合作。
（四）自主学习
锻造问题
【活动1】（学研展）
探究1：将一个底面直径是20厘米,高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
锻压前 锻压后
底面半径
高
体 积
根据题意填写上方表格，并根据等量关系，列出方程：__________________
二、合作探究
（一） 铁丝问题
【活动2】（研展评）
探究1：小明想用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。
（1）使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？
师徒对研：先独立思考，再进行师徒对研; 最后徒弟快速陈述，师傅补充修正。限时2分钟。
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？
结论：围成_______________时面积最大
（二）扩展题
【活动3】（研展评）
探究2：小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽多4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
合作共研：先独立思考，再进行组内共研。限时2分钟
例1：要锻造一个直径为10厘米，高为8厘米的圆柱形毛坯，应截取直径为8厘米的圆钢多长？
例2：地球上的海洋面积为陆地面积的2.4倍，地球的表面积约为5.1亿平方千米，求地球上的海洋面积和陆地面积（四舍五入到0.1亿平方千米）。
例3 ：如图所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，在从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少？
三、整理提升（理）
本节课你有哪些收获？
【当堂检测】（练）
必做：
一只直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面积为131 × 131毫米2、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少？（可以借助计算器）
【拓展训练】
选做：
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体木块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（2）》导学案
一、自主学习
（一）知识回顾
1.锻压前体积 = 锻压后体积
2.列方程的关键是正确找出等量关系。
3.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变
4.长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大。
（二）创设情景
今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁，多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？
（三）学习目标
1.一元一次方程解实际问题的关键步骤。
2.根据题意寻找“等量关系”。
3.拓展，培养创新意识。
（四）自主学习
【活动1】（学研展）
探究1：今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁，多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？
（1）这个问题中已知数是什么？未知数是什么？
（2）设x年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍，你能用代数式表示x年后小亮的年龄和爸爸的年龄吗？试填写下表：
小亮的年龄 爸爸的年龄
今年
X年后
在这个问题中有什么等量关系？你能利用问题中的等量关系列出方程吗？与同伴进行交流。
总结：对比小颖和小明的做法，你发现了什么？
注意：列方程时，关键是找出问题中的等量关系
思考：
小颖和小明所列的方程正确吗？
（2）他们分别根据什么等量关系列的方程？
二、合作探究
（一） 年龄问题
【活动2】（研展评）
探究1：(1)在上面的问题中，多少年前，小亮的年龄是爸爸年龄的 ？
合作共研：先独立思考，再进行组内共研。限时2分钟
(2)经过若干年后，小亮的年龄能等于爸爸年龄的 五分之四吗 这个问题给你的启发是什么？
师徒对研：先独立思考，再进行师徒对研; 最后徒弟快速陈述，师傅补充修正。限时2分钟。
（二）扩展题
【活动3】（研展评）
例1：
例2：某商场今年5月份的销售额是200万元，这比去年5月份销售额的2倍少40万元。去年5月份的销售额是多少万元？
三、整理提升（理）
本节课你有哪些收获？
【当堂检测】（练）
必做：
小明编了一道这样的题：我是4月出生的，我的年龄的2倍加上8，正好是我出生那一月的总天数。你猜我有几岁？请你求出小明的年龄。
2、某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，这家工厂去年、前年共生产再生纸3000t，已知去年的产量比前年的2倍还多150t。这家工厂前年生产再生纸多少吨？
【拓展训练】
选做：
3、甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，甲队与乙队共进行了10场比赛，甲队保持不败记录，一共得了22分，甲队胜了多少场？平了多少场？2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（3）》导学案
（第三课时）
一、自主学习+合作探究
（一）知识回顾
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
2、说一说前面我们学习了哪几种问题？
3、怎样找问题中的等量关系？你有哪些体会？
（二）创设情境
喜欢秋游吗？这节课我们就一起来看看秋游里的数学奥秘。
（三）学习目标
1、 能根据含有两个等量关系的实际问题找到正确的等量关系，列出方程解决实际问题。（运算能力、推理能力）
2、 体验建立方程模型解决问题的一般过程。（模型思想）
3、 通过学习，更加关注生活，增强应用数学的意识，从而激发学习数学的热情。（应用意识）
（四）自主学习+合作探究
【活动1】自主学习，观察思考：（学）
在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，成人票每张15元，学生票每张10元，总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗？
这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
（2）设学生人数为x，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 学生 老师
人数
票款/元
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
根据等量关系，可列出方程： 。
解这个方程，得x= 。
因此学生人数为 ，老师人数为 。
【活动2】（学展）
【问题】尝试·交流：
（1）设学生票款为y元，你能根据哪个等量关系列出方程？请列出方程并解答。
（2）你还能列出不同的方程解决这个问题吗？与同伴进行交流。
【活动3】合作探究（研展评）
例3 某学校为丰富“阳光体育”活动，现购进篮球和足球共16个，共花了2820元钱。已知篮球和足球的单价分别为185元、150元，那么篮球和足球各购进多少个？
（要求：先自主思考， 再小组交流。）
（提示：本题涉及哪些量？他们之间有怎样的等量关系？如果设篮球购进x个，你能用含有x的代数式表示它们的数量关系吗？）
【活动4】小试牛刀（练）
小明用172元钱买了两种书，共10本，单价分别为18元、10元，每种书小明各买了多少本？
在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的桌子共16个，如果椅子腿数与桌子腿数加起来共60条，那么椅子和桌子各有多少个？
某工程队共有55人，每人每天平均可挖土2.5m3,或运土3m3,为了合理分配劳力，使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人数分别是多少？
二、整理提升
（一）课堂小结
【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
（二）达标检测（练）
必做：
1.用铝片做听装饮料瓶，现有150张铝片，每张铝片可制瓶身16张或制瓶底43张,一个瓶身和两个瓶底可配成一套,设用x张铝片制瓶身,则下面所列方程正确的是（ ）
A.2×16x=43(150﹣x) B.16x=43(150﹣x)
C.16x=2×43(150﹣x) D.16x=43(75﹣x)
2.成都市为减少雾霾天气采取了多项措施,如对城区主干道进行绿化.现计划把某一段公路的一侧全部栽上银杏树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是（ ）
A.5(x+21﹣1)=6(x﹣1) B.5(x+21)=6(x﹣1)
C.5(x+21﹣1)=6x D.5(x+21)=6x
3.一份试卷共25道题，答对一题得4分，不答或答错扣1分，请问在这次考试中，是否有学生的得分为83分，若有，那么他做对了多少道题？若没有，请说明理由.
选做：
4.请根据图中提供的信息,回答下列问题 :
（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元
（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯,为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定： 这两种商品都打九折;乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯。若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由.
作业设计
必做：
完成课本习题。
选做：
思考如何快速找准等量关系。2025六年级下册数学第六章《一元一次方程》第三节《一元一次方程的应用（4）》导学案
（第四课时）
一、自主学习+合作探究
（一）知识回顾
列一元一次方程解决实际问题的基本思路是什么？
（二）创设情境
《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著.其中的许多数学问题是世界上记载最早的.
例如它首先记录了“盈不足”问题.“盈不足”问题，即盈亏问题，是指把一定数量的物品平均分给一定数量的人，若按某种标准分，则分配后有余（盈），按另一种标准分，分配后又会有不足（亏）的问题.
（三）学习目标
1.能列一元一次方程解决盈亏问题；(抽象能力、运算能力)
2.会用表格分析复杂问题中的数量关系，并体会盈亏问题未知数的不同设法；(推理能力、数据观念)
3.进一步体会用一元一次方程解决实际问题的步骤.（模型思想、应用意识）
（四）自主学习+合作探究
【活动1】自主学习，观察思考：（学）
《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问:人数、物价各几何
题目大意:几个人合伙买东西,若每人出8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少
(1)问题中有哪些已知量和未知量 它们之间有怎样的等量关系
(2)设人数为x,其他未知量能用含x的代数式表示吗 请完成下表.
(3)设人数为x.
根据等量关系,列出方程: .
解这个方程,得x= .
因此,人数为 ,物价为 钱.
【活动2】（学展）
【问题】尝试·交流：
如果设物价为y钱,你能列出怎样的方程 与同伴进行交流.
【活动3】知识归纳（研展理）
小组归纳：利用一元一次方程解决“盈不足”问题的方法
【活动4】合作探究（研展评）
例4 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问:人数、金价各几何
题目大意:几个人合伙买金,每人出400钱,会多出3400钱;每人出300钱,会多出100钱.合伙人数、金价各是多少
分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？
（要求：先自主思考， 再小组交流。）
【活动5】思考·交流：（研展评）
(1)对于以上例题，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程
(2)对于以上例题,《九章算术》给出了一种算法:
人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差;
物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数。
你能理解这种解法吗 与方程的求解过程相比，有什么不同 与同伴进行交流。
【活动6】方法归纳（研展评）
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
【活动4】小试牛刀（练）
1.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:
“庭前孩童闹如簇,不知人数不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齐足.”其大意是:孩童们在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4个梨,多12个梨;每人分6个梨,恰好分完.设梨有x个,则可列方程为 .
2.《九章算术》里有一题大意:今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差3钱.问：人数、玉石的价格各是多少？
3.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.求该店有房客多少人.
二、整理提升
（一）课堂小结
【分享收获】说一说学习的知识和思想方法等。（理）
（二）达标检测（练）
必做：
1.动物园的门票售价:成人票每张50元,儿童票每张30元.某日动物园售出门票700张,收入29 000元.设儿童票售出x张,根据题意可列出方程为( )
A.30x+50(700-x)=29 000 B.50x+30(700-x)=29 000
C.30x+50(700+x)=29 000 D.50x+30(700+x)=29 000
22.古代名著《孙子算经》中有一题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车各几何 设有车x辆,则根据题意,可列出方程是( )
A.3(x+2)=2x-9 B.3(x+2)=2x+9
C.3(x-2)=2x-9 D.3(x-2)=2x+9
3.某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行,租用同型号客车4辆,还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位.求该客车的载客量.
选做：
4.某班举行联欢会，有x位师生，购买了y份礼品盒。若每人发3个，则还剩7份礼品盒；若每人发4个，则最后还缺24份礼品盒。下列5个方程符合题意的是( )
①3x＋7＝4x－24；②；③3x－7＝4x＋24；
④； ⑤3x＋7＝y。
A.①② B.①②⑤
C.①②③④⑤ D.③④⑤
作业设计
完成课本习题。2025初中六年级数学下册第七章《相交线与平行线》第三节《平行线的性质》导学案（第二课时）
（第二课时）
自主学习+合作探究
知识回顾
1、判定方法与性质的比较
两条直线被第三条直线直线所截，
2、根据图形标注的角说出平行线判定和性质:
∵∠1= ，∴ .
∵∠4= ，∴ .
∵ =180°，∴ .
创设情境
如何来应用平行线的判定和性质呢？
（三）学习目标
1.熟练掌握判断直线平行的条件和平行线的性质，并能解决一些问题；（推理能力）
2.经历探索平行线性质的过程，发展好奇心、想象力和创新意识；（创造能力）
3.综合运用平行线的性质和判定进行计算和说理，并能解决实际问题。（应用意识）
（四）自主学习+合作探究
【活动探究一】（学）
如图：（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2 +∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
变式：已知∠1=∠2， ∠2=∠M，试说明：AM∥CE.
（要求：先独立思考，有问题及时请教同学，限时2分钟）（研、展）
归纳小结（评）
平行线的判定是先已知角相等或互补，后得到两直线平行。
平行线的性质是先已知两直线平行，后得到角相等或互补。
小试牛刀1（练）
如图，根据条件说出图中的平行线。
（1）∠1=∠4，可得 ∥ ，根据是： ；
（2）∠2=∠3，可得 ∥ ，根据是：
（3）∠B=∠5，可得 ∥ ，根据是： ；
（4）∠D=∠5，可得 ∥ ，根据是：
（5）∠D+∠BCD=180°，可得 ∥ ， 根据是： ；
（6）∠B+∠BCD=180°，可得： ∥ ，根据是： ；
2. 如图，已知∠1=105°， ∠2=75°，你能判断a∥b吗？
例题讲解（评）
例2 如图 ，AB∥CD，如果∠1=∠2， 那么EF与AB 平行吗？说说你的理由．
小试牛刀2（练）
1.如图，AE∥CD，若∠1 = 37°,∠D =54°，求∠2 和∠BAE的度数.
如图，AC平分∠BAD，∠1 = ∠2 可以判断哪两条线段平行？说明理由
例题讲解（评）
例3 如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3 的度数.
小试牛刀3（练）
1. 如图，AC∥ED，AB∥DF，∠A=64°求∠EDF的度数.
变式一 如图，AF∥ED，AE∥DF，∠A=64°,求∠D的度数.
变式二 如图，AF∥ED，AE∥DF，试说明：∠D= ∠A.
二、整理提升
（理）1、梳理一下平行线的判定与性质的区别．
2.本节课运用了哪些数学思想方法
当堂检测（练）
必做：
1、 如图，∠A＝∠C＝ 60 ， ∠1＝120 ，可以判断哪些直线平行？说明理由.
变式一 如图，AE∥CF，AB∥CD，∠A=60°, 求∠C的度数.
变式二 如果两个角的两边分别平行,那么这两个角有何数量关
选做： 某村要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，如图所示，水渠从C村什么方向修建，可以保持与AB的方向一致？
作业设计
必做：完成课本随堂练习和习题。
选做：完成本节课思维导图。
硕果累累
得分环节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
得分2025初中六年级数学下册第七章《相交线与平行线》第三节《平行线的性质》导学案（第一课时）
自主学习+合作探究
知识回顾（学）
（1）因为∠1=∠5 (已知)
所以 a∥b（ ）
（2）因为∠4=∠ (已知)
所以a∥b（ ）
（3）因为∠4+∠ =180° (已知)
所以a∥b（ ）
创设情境
平行线的判定方法有？如果把已知和结论交换一下，还能成立吗？
（三）学习目标
1.经历观察、操作、推理、交流等活动探索平行线的性质，并掌握平行线的性质 ，进一步发展空间观念、几何直观；（推理能力）
2.经历探索平行线性质的过程，发展好奇心、想象力和创新意识；（创造能力）
3.能够应用平行线的性质解决简单的实际问题，提高数学素养。（应用意识）
（四）自主学习+合作探究
【活动探究一】（学）
如图：直线 a 与b 直线平行。
测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其它同位角吗？它们的大小有什么关系？
图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
（要求：先独立思考，有问题及时请教同学，限时2分钟）（研、展）
规律总结（评）
两条平行直线被第三条直线直线所截， 。
定理验证（研、展、评）
已知当a∥b,同位角∠1和∠2有什么关系？为什么？
已知：a// b那么∠3与∠2有什么关系？为什么？
已知：a// b那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
定理归纳（评）
平行线性质定理
符号语言：
符号语言：
符号语言：
例题讲解（评）
例题：如图，直线a∥b, ∠1 = 115°，求∠2的度数。
小试牛刀1（练）
1、如图所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。
2.如图a∥b，c ∥d，
∠１=60°,那么 ①∠2=____ ②∠3=____
③ ∠4=____ ④ ∠5=____
【活动探究二】（研、展、评）
如图一束平行线AB 与DE射向一个水平镜面后反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4
（1）∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
小试牛刀2（练）
如图，一辆大巴在5.1假期旅游中，经过一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次拐的角∠B等于142度，第二次拐的角∠C是多少度？为什么？
二、整理提升
（理）1、本节课学行线的三个性质，总结了平行线的判定与性质的区别．
2.本节课运用了哪些数学思想方法
当堂检测（练）
必做：
1. 如图（1），直线AB，CD被直线AE 所截，AB∥CD，
∠1=105°. 求∠2，∠3，∠4的度数.（写出证明过程）
选做：
一条小船上测得灯塔的方向是北偏西48度，那么这条小船在灯塔的什么方向？
作业设计
必做：完成课本随堂练习和习题。
选做：完成本节课思维导图。
硕果累累
得分环节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分
得分
