江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（下）数学第1周阶段性训练模拟练习（含解析）

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（下）数学第1周阶段性训练模拟练习
一．选择题（共11小题）
1．已知sin（30°+α）＝，60°＜α＜150°，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a＝3，c＝2，A+C＝，则b＝（　　）
A． B．6 C．7 D．8
3．在△ABC中，若＝，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣bc＝3，则△ABC面积的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知α∈（0，π），若，则＝（　　）
A． B． C． D．
6．函数f（x）＝cos2x+6sinx+1的值域是（　　）
A． B． C． D．[﹣6，6]
7．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，满足此条件的△ABC有两解，则AB的取值范围为（　　）
A．（2，4） B．（2，8） C．（4，8） D．（4，+∞）
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，A＝135°，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．设tanα、tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则tan（α+β）＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
10．在△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA＝a，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
11．在△ABC中，a＝x厘米，b＝2厘米，B＝45°．若利用正弦定理解△ABC有两解，则x的取值范围是（　　）
A． B． C．x＞2 D．
二．多选题（共4小题）
（多选）12．下列各式中，值为的有（　　）
A．sin7°cos23°+sin83°cos67°
B．
C．
D．
（多选）13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c﹣b＝2bcsA，则下列结论正确的有（　　）
A．A＝2B
B．若，则△ABC为直角三角形
C．若△ABC为锐角三角形，的最小值为1
D．若△ABC为锐角三角形，则的取值范围为
（多选）14．已知角A，B，C是斜三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（　　）
A．sin（A+B）＝sinC
B．
C．若sinA＞sinB，则A＞B
D．tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC
（多选）15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（　　）
A．若asinA＝bsinB，则△ABC一定为等腰三角形
B．若A＞B，则cosA＞cosB
C．若a：b：c＝3：5：7，则△ABC的最大内角为120°
D．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
三．填空题（共2小题）
16．化简：＝　 　．
17．f（x）＝sinxcosxcos2x的最大值为 　 　．
四．解答题（共3小题）
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长；
（3）若，D为AC边上的一点，BD＝3，且_____，求△ABC的面积．
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．
①BD是∠B的平分线；
②D为线段AC的中点．
19．在直角三角形ABC中，B＝90°，点E，F在边BC上，且BE＝EF＝FC，设BA＝c，BC＝a．
（1）若a＝c，求tan∠EAF，tan∠FAC的值；
（2）若a＝3，求tan∠EAF的最大值．
20．如图，在平面四边形ABCD中，，，△ACD的面积为．
（1）求AC的长；
（2）若AB⊥AD，，求BC的长．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D A D D A C A A B
一．选择题（共11小题）
1．【解答】解：∵60°＜α＜150°，∴90°＜α+30°＜180°，
∵sin（30°+α）＝，
∴cos（30°+α）＝﹣＝﹣，
则cosα＝cos[（30°+α）﹣30°]＝cos（30°+α）cos30°+sin（30°+α）sin30°＝﹣×+×＝．
故选：A．
2．【解答】解：∵A+C＝，
∴B＝π﹣（A+C）＝，
∵a＝3，c＝2，
∴由余弦定理可得：b＝＝＝．
故选：A．
3．【解答】解：∵cosB＝，cosA＝，
∴a2+c2﹣b2＝2ac cosB，b2+c2﹣a2＝2bc cosA，
∴＝＝＝，又＝，
∴＝＝，即sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，又A和B都为三角形的内角，
∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
4．【解答】解：由于a＝，b2+c2﹣bc＝3，
则，
由于A∈（0，π），
所以A＝，
故外接圆的半径为R＝，
所以＝
＝
＝
＝，
由于，
由于△ABC为锐角三角形，
所以，
所以，
故，即．
故选：A．
5．【解答】解：∵α∈（0，π），，
∴sinα＝＝，
∴＝sinαcos﹣cosαsin＝×﹣（﹣）×＝．
故选：D．
6．【解答】解：f（x）＝cos2x+6sinx+1＝1﹣2sin2x+6sinx+1＝﹣2sin2x+6sinx+2＝，
由于﹣1≤sinx≤1，
故f（x）∈[﹣6，6]．
故选：D．
7．【解答】解：∵△ABC有两解，
∴BCsin30°＜AB＜BC，∴2＜AB＜4．
故选：A．
8．【解答】解：因为a＝1，A＝135°，
由正弦定理＝＝＝，可得b＝sinB，c＝sinC，
则＝＝．
故选：C．
9．【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴tanα+tanβ＝3，tanαtanβ＝2，
则tan（α+β）＝＝＝﹣3．
故选：A．
10．【解答】解：∵a＝acosB+bcosA，
∴由余弦定理可得：a＝a×+b×，整理可得：2ac＝2c2，
∴a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
11．【解答】解：如图，
B＝45°，CD⊥AB，则CD＝BC sin45°＝asin45°＝xsin45°，
以C为圆心，CA＝b＝2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，
故CA＞CD且CA＜CB，即xsin45°＜2＜x，
解得．
故选：B．
二．多选题（共4小题）
12．【解答】解：对于A，sin7°cos23°+sin83°cos67°＝sin7°cos23°+cos7°sin23°＝sin（7°+23°）＝sin30°＝；
对于B，+＝＝＝＝4；
对于C，＝tan（2×22.5°）＝；
对于D，＝
＝
＝．
故选：ACD．
13．【解答】解：选项A中，因为c﹣b＝2bcsA，由正弦定理可得sinC＝sinB（2cosA+1），
在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
可得sin（A﹣B）＝sinB，所以A﹣B＝B或A﹣B+B＝π（舍去），
即A＝2B，故A正确；
选项B中，a＝b，可得sinA＝sinB，由A选项可得sin2B＝sinB，
则2sinBcosB＝sinB，在△ABC中，sinB＞0，
可得cosB＝，则B＝，A＝，所以C＝，即△ABC为直角三角形，故B正确；
选项C中，因为△ABC为锐角三角形，由A选项可得A＝2B，
所以，可得＜B＜，所以tanB∈（，1），
所以﹣＝﹣＝+，
设s＝tanB∈（，1），又g（s）＝+在（，1）单调递减，
所以g（s）＞g（1）＝1，故C错误；
选项D中，△ABC为锐角三角形，
＝＝＝＝＝cosB+＝2cosB﹣，
因为△ABC为锐角三角形，所以，可得＜B＜，
所以cosB∈（，），设t＝cosB，即t∈（，），
令f（t）＝2t﹣，t∈（，），
则函数f（t）单调递增，f（）＜f（t）＜f（），
而f（）＝﹣＝，f（）＝﹣＝，
所以f（t）∈（，），即∈（，），故D正确．
故选：ABD．
14．【解答】解：在△ABC中，有A+B+C＝π，
sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，故A正确；
＝sin＝cosC，B错误；
由正弦定理得sinA＞sinB a＞b A＞B，故C正确；
斜△ABC中，A+B＝π﹣C，
∴tan（A+B）＝tan（π﹣C）＝﹣tanC，
又tan（A+B）＝，
∴＝﹣tanC，
整理得：tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故D正确．
故选：ACD．
15．【解答】解：对于A，由asinA＝bsinB和正弦定理得：a2＝b2，∴a＝b．故A正确；
对于B，由0＜B＜A＜π及余弦函数在（0，π）单调递减，得cosA＜cosB，故B错误；
对于C，由a：b：c＝3：5：7及大边对大角得，角C最大，设a＝3k，b＝5k，c＝7k（k＞0），
则，∵C∈（0，π）∴c＝120°，故C正确；
对于D，由△ABC为锐角三角形得A+B，∴，又正弦函数在单调递增，
∴，即sinA＞cosB，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共2小题）
16．【解答】解：＝＝＝tan15°
＝tan（45°﹣30°）＝＝＝2﹣，
故答案为：2﹣．
17．【解答】解：f（x）＝sinxcosxcos2x＝sin2xcos2x＝sin4x≤，
即函数的最大值为，当sin4x＝1，即x＝+，k∈Z时取等号．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
18．【解答】解：（1）在△ABC中，，
结合正弦定理可得； ，
由A∈（0，π），可得sinA＞0，
则有2sinC＝sinA+2sinBcosA，
即2sin（A+B）＝sin A+2sin BcosA，
化简得2sinAcosB＝sinA，即，
又B∈（0，π），所以；
（2）由，得ac＝8，
由余弦定理，得，即a2+c2﹣8＝ac，
即（a+c）2＝3ac+8＝32，解得，
所以△ABC的周长为；
（3）若选①：由BD平分∠ABC，得S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
可得，即，③
在△ABC中，由余弦定理，得，则a2+c2﹣ac＝12，④
联立③④，可得（ac）2﹣9ac＝36，解得ac＝12，
故；
若选②：由题设，
则，
所以a2+c2+ac＝36，⑤
在△ABC中，由余弦定理得，则a2+c2﹣ac＝12，⑥
联立⑤⑥，可得ac＝12，
故．
19．【解答】解：（1）若a＝c，
则三角形ABC为等腰直角三角形，
所以∠BAC＝45°，tan ，tan，
所以tan∠EAF＝tan（∠BAF﹣∠BAE）＝＝，
；
（2）若a＝3，
则，，
所以tan∠EAF＝tan（∠BAF﹣∠BAE）＝＝＝ ＝，当且仅当时取等号，
所以tanEAF的最大值为．
20．【解答】解：（1）∵，，△ACD的面积为，
∴＝，
∴，
∴由余弦定理，得AC2＝AD2+CD2﹣2AD CD cosD
＝，
∴；
（2）由（1）知△ACD中，，，
∴，∵AB⊥AD，∴，
又∵，，
∴在△ABC中，由正弦定理，得，
即，∴．