1.1.5 多项式的乘法——多项式乘多项式 教案

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1.1.5 多项式乘多项式
——新授课
一、教材分析
本节课是湘教版初中数学七年级下册第一章第一节《整式的乘法》中的内容，本节主要学习多项式与多项式相乘的运算法则，即先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项
式的每一项，再把所得的积相加。本节是整式乘法的进一步延伸，也是学习一元二次方程、因式分解及分式运算的重要基础，属于初中代数核心内容之一。
二、学情分析
已有基础：学生熟悉单项式乘法及多项式加减法，但对多项式乘法的整体性和系统性缺乏认知。虽然具备初步的代数运算能力，但符号处理（如负号、系数相乘）易出错。
潜在困难：
1.计算能力不足：部分学生因有理数运算基础薄弱，导致多项式乘法中系数计算错误。
2.法则理解偏差：容易漏乘某些项或混淆运算顺序。
3.几何直观欠缺：难以通过图形辅助理解多项式乘法的几何意义。
三、教学目标
1.掌握多项式乘法的法则，能正确进行多项式乘法运算。
2.熟练运用法则解决实际问题（如几何面积计算）。
3.经历从实际问题到代数法则的推导过程，体会转化思想。
4.在逐步纠错中培养严谨的运算习惯，增强学习信心。
四、重点难点
重点：理解并掌握多项式乘多项式的法则。
难点：理解多项式与多项式相乘的法则及正确运用法则进行计算。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、问题导入
【问题】①号长方形的长为ab，宽为a、 ②号长方形的长为bc，宽为a、 ③号长方形的长为b，宽为ab, ④号长方形的长为bc，宽为b,求这四个长方形拼成的大长方形的面积。
法1：
解：①号长方形的面积:a·ab=a2b,
②号长方形的面积:a·bc=abc,
③号长方形的面积:b·ab=ab2,
④号长方形的面积:b·bc=b2c,
故大长方形的面积为a2b+abc+ab2+ b2c.
法2:
解： 长方形ABCD的宽为a+b,
长方形ABCD的长为ab+bc,
故大长方形的面积为
(a+b)(ab+bc)= a2b+abc+ab2+ b2c.
【回顾】乘法对加法的分配律：
(a+b)×c=a×c+b×c
a×(b+c)=a×b+a×c
【规定】多项式与多项式相乘的法则，目标是使整式的乘法满足乘法对加法的分配律.
二、探究新知
【思考】
怎样计算多项式x-2y与多项式3x+y的乘积？
解：(x-2y)(3x+y)=x·(3x+y)+(-2y)·(3x+y)
=x·3x+x·y+(-2y)·3x+(-2y)·y
=3x2+xy-6xy-2y2
=3x2-5xy-2y2.
【归纳】
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a,b,m,n都是单项式)
一般步骤：
1.用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项
2.把所得的积相加
3.有同类项的合并同类项
4.把结果整理成某一字母的降幂排列
三、例题探究
例13计算：(1) (2x + y)(x－3y)；(2) (5x－2)(3x2－x－5).
解：(1) 原式= 2x·x+2x·(－3y) + y·x+ y·(－3y)
= 2x2－6xy + xy－3y2
= 2x2－5xy－3y2.
(2) 原式=15x －5x － 25x－6x ＋2x＋10
=15x －5x －6x －25x＋2x＋10
=15x －11x －23x＋10.
例14 计算：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2)； (2) (x＋y)(x2－xy＋y2).
解：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2)
= x3＋x2y＋xy2－yx2－xy2－y3
= x3－y3.
(2) (x＋y)(x2－xy＋y2)
= x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3
= x3＋y3.
【做一做】(1)设a，b，c都是正数，计算(a+b)(a+c)的结果.
(2)一个长方形的长为a+b，宽为a+c，试着画出长方形，并利用这个长方形解释(1)的结果.
解：(1)( a+b )( a+c )=a2+ac+ba+bc.
(2)该长方形的面积为( a+b )( a+c )，
∵组成该长方形的四个小长方形的面积分别为a2、ac、ba、bc，
∴( a+b )( a+c )=a2+ac+ba+bc.
四、课堂练习
1.计算：(1) (x－2y)(4x+3y)； (2) (x－5y)(3x－y);
(3) (x + y)(x2+xy+y2)； (4) (3x－y)(2x2+5xy－4y2).
2.用不同的方法计算右边几何图形的面积，可得等式( )
A. (2a+b)(a+b)=2a2+b2　　　
B. (2a+b)(a+b)=2a2+2ab+b2　
C. (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2　　　
D. (2a+b)(a+b)=2a2+3ab+2b2　
3.计算(a-2)(-a+1)的结果是 (　 )
A.a2-a-2　　　 B.-a2-a-2　　　 C.-a2+3a-2　　　 D.a2+3a-2
4.如果（2x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，那么m的值为 (　 )
A. 6 B. -3 C. 0 D. 1
5.如图,一边及其邻边长为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则(a+1)(b+1)的值为(　 )
A.20　　　　
B.18　　　　
C.16　　　　
D.14
6.如果关于x的多项式x-2与x2+mx+1的乘积中不含x的一次项,求m的值.
五、课堂小结
什么是多项式乘多项式的法则，在运用过程中需注意什么？多项式乘多项式的一般步骤是什么？
六、作业布置
课堂作业：P14 T7
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