8.2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
1.多边形和正多边形的概念
多边形：由n条不在同一直线上的线段首尾 组成的平面图形称为n边形，即我们通常所说的多边形.
正多边形：各边都 ，各内角也都 的多边形叫做正多边形.
多边形的对角线：连结多边形 的两个顶点的 叫做多边形的对角线.
2.多边形的内角和公式
公 式： n边形的内角和为 .
类型之一 探索多边形的内角和
已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某一顶点的对角线的条数，探索多边形的内角和公式.
(1)如图1，一个四边形可以分成个 三角形，于是四边形的内角和为 ；
(2)如图2，一个五边形可以分成个 三角形，于是五边形的内角和为 ；
(3)按此规律，n(n≥3)边形可分成多少个三角形？n边形的内角和是多少？
类型之二 求多边形的内角和
[2022·临沂]如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是( )
A.900° B.720° C.540° D.360°
如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°.若直线l与AB、AD分别相交于点M、N，则∠1＋∠2＝ °.
类型之三 求多边形的边数
已知两个多边形的内角和为 1800°，且这两个多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数.
1.下列说法正确的是( )
A.各角都相等的多边形为正多边形
B.各边都相等的多边形为正多边形
C.经过n边形的一个顶点可引(n－2)条对角线
D.正方形是正多边形
2.[2024·包头]若一个n边形的内角和是900°，则n＝ .
3.[2024·巴中]从五边形的一个顶点出发可以引 条对角线.
1.[2024·乐山]下列多边形中，内角和最小的是( )
A B C D
2.[2024·自贡]凸七边形的内角和是° .
3.[2024·日照]若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是 边形.
4.[2024·临夏州]“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂.”图1窗棂的外边框为正六边形(如图2)，则该正六边形的每个内角为 .
图1 图2
5.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的度数是 .
6.如图，P是正六边形ABCDEF内的一点，连结AP、BP.若AP平分∠FAB，∠APB＝40°，则∠CBP＝ °.
7.一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 .
8.已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由.
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
9.(推理能力)如图，在n边形中，AF∥DE，∠B＝130°，∠C＝110°，求∠A＋∠D的度数.
参考答案
【预习导航】
1.顺次连结 相等 相等 不相邻 线段
2.(n－2)·180°(n≥3)
【归类探究】
【例1】(1)2 360° (2)3 540°
(3)过n边形一个顶点的对角线可以将n边形分成(n－2)个三角形，于是n边形的内角和为(n－2)·180°.
【例2】C
【例3】225
【例4】两个多边形的边数分别为4和10.
【当堂测评】
1.D 2.7 3.2
【分层训练】
1.A 2.900 3.八 4.120° 5.40°
6.40 7.6或7
8.(1)甲对，乙不对.理由略. (2)x＝2
9.∠A＋∠D＝300°
。第2课时 多边形的外角和
多边形的外角和定理
定 理：任意多边形的外角和都为 .
注 意：多边形的外角和是一个定值，不随边数的改变而改变，无论边数增加还是减少，外角和都是360°.
类型之一 多边形的外角和
如图，淇淇从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形.
(1)淇淇一共走了多少米？
(2)求这个多边形的内角和.
类型之二 多边形外角和与内角和的综合
[2024秋·泸州月考]已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2160°.
(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；
(2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有几条边？内角和是多少？
1.[2024·资阳]已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.[2024·遂宁]佩佩在某古镇研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40°
C.45° D.60°
3.[2022·江西]正五边形的外角和为 .
4.[2024·青海]正十边形一个外角的度数是 .
1.[2022·河北]如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α、β，则下列结论正确的是( )
A.α－β＝0
B.α－β＜0
C.α－β＞0
D.无法比较α与β的大小
2.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为( )
A.1∶3 B.1∶2
C.2∶1 D.3∶1
3.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3＝( )
A.90° B.180°
C.120° D.270°
4.[2024·赤峰]如图是正n边形纸片的一部分，其中l、m是正n边形两条边的一部分，若l、m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
5.[2024·河北]直线l与正六边形ABCDEF的边AB、EF分别相交于点M、N，如图所示，则α＋β＝( )
A.115° B.120° C.135° D.144°
6.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
7.[2024春·新晃县期中]阅读小明和小红的对话，解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是 °.
(2)小明求的是几边形的内角和？
(3)若这个多边形是正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？
8.(创新意识)利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果.
如图1，我们称它为“A”型图案，易知：∠EDF＝∠A＋∠B＋∠C.
运用以上模型结论解决问题：
图1
(1)如图2，我们称它为“五角星”型图案，求∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5的度数；
图2
(2)如图3，我们称它为“七角星”型图案，求∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋∠A7的度数.
图3
参考答案
【预习导航】
360°
【归类探究】
【例1】(1)淇淇一共走了180m.
(2)这个多边形的内角和是2 880°.
【例2】(1)这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54.
(2)当新多边形有13条边时内角和为1980°，12条边时内角和为1800°，11条边时内角和为1620°.
【当堂测评】
1.C 2.C 3.360° 4.36°
【分层训练】
1.A 2.D 3.B 4.B 5.B
6.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°.
7.(1)30
(2)小明求的是十二边形的内角和.
(3)这个正多边形的一个外角是30°.
8.(1)∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝180°.
(2)∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＋∠A6＋∠A7＝180°.
。
