8.3 用正多边形铺设地面
1.用相同的正多边形
用相同的正多边形拼地板
内 容：用多边形能镶嵌成平面的理由是围绕一点拼在一起的n个多边形的内角加在一起恰好能组成一个周角.
注 意：(1)n边形的内角和是(n－2)·180°，且正多边形的每个内角都相等，从而求出正n边形的每一个内角为；
(2)如果正多边形的每个内角的度数的整数倍是360°，那么这个正多边形就能镶嵌成一个平面图形；
(3)用同一种正多边形能镶嵌成平面的有正三角形、正方形、正六边形.
类型 用相同的多边形拼地板
小红家买了新房，爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，购买方式有( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
我们常见到如图所示图案的地面，它们分别是用正方形或用正六边形形状的材料铺成的，这种形状的材料能铺成平整、无空隙的地面.像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？
1.用下列一种多边形不能铺满地面的是( )
A.正方形 B.正十一边形
C.正六边形 D.等边三角形
2.如图，在下面四个图形中，能用来铺设地板的共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，则图中∠1的度数是( )
A.18° B.30° C.36° D.54°
1.某人到瓷砖商店去购买一种形状为多边形的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( )
A.三角形 B.正方形
C.正八边形 D.正六边形
2.用一批相同的正六边形地砖密铺地面，每个顶点处的正六边形地砖有( )
A.2块 B.3块 C.4块 D.6块
3.如果只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的每个内角度数为 .
4.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的.
(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无缝的地面？
(2)像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？
5.某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面.第1次铺2块，如图1；第2次把第1次铺的完全围起来，如图2，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3.
…
(1)依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为多少？
(2)依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为多少？
(3)依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为多少？
6.(创新意识、应用意识)我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊五边形地砖铺成的.如图是所铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于( )
A.120° B.108°
C.100° D.90°
参考答案
【归类探究】
【例1】C
【例2】所用材料的形状不能全是正五边形.理由略.
【当堂测评】
1.B 2.D 3.C
【分层训练】
1.C 2.B 3.60°
4.(1)因为每个顶点周围有6个正三角形的内角，恰好组成一个周角.
(2)不能.因为正十边形的每个内角为144°，360°不能被144°整除.
5.(1)第4次铺完后，共使用的木板数为56.
(2)第10次铺完后，共使用的木板数为380.
(3)第n次铺完后，共使用的木板数为2n(2n－1).
6.A
。2.用多种正多边形
用多种正多边形拼地板
规 律：(1)用两种正多边形能拼成一个平面的有：
①正三角形和正方形；
②正三角形和正六边形；
③正方形和正八边形.
(2)用三种不同的正多边形，能拼成一个平面的有：正三角形、正方形、正六边形.
类型 用多种正多边形拼地板
下列两种正多边形能不能铺满地面？通过计算说明理由.
(1)正八边形和正方形；
(2)正
十二边形和正三角形.
(1)填写表中空格.
正多边形的边数 3 4 5 6 8
正多边形每个内角的度数 60° 90°
(2)根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
(3)假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有m个正四边形、n个正八边形，求m和n的值.
【点悟】 用多边形铺满地面的条件去判断.
1.现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )
A.正方形和正六边形
B.正三角形和正方形
C.正三角形和正六边形
D.正三角形、正方形和正六边形
2.某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是( )
A.1、2 B.2、1
C.2、2 D.2、3
3.一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 .
1.用正三角形和正六边形铺成一个平面，则在同一个顶点处，正三角形和正六边形的个数之比为( )
A.4∶1 B.1∶1
C.1∶4 D.4∶1或1∶1
2.下面美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的是( )
A B C D
3.[2024·陕西]小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠.如图所示是所拼的这个平面图形的一部分，则m＝ .
4.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖.从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形的个数是( )
A.102 B.114
C.126 D.138
5.(应用意识、创新意识)用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌(简称镶嵌).在生活中，我们运用镶嵌可以设计出美丽的图案.
(1)观察图1，我们发现：用不同的多边形进行镶嵌，图形内部拼接在同一点处的各个角的和为 °；
图1
(2)如图2，长方形的长为2cm、宽为1cm，若用4个这样的长方形镶嵌成1个大长方形，则该大长方形周长的最小值是 cm；
图2
(3)如图3，用3个边长为1cm的正三角形和2个边长为1cm的正方形，可以镶嵌成1个七边形，请你画出该七边形的示意图.
图3
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)能.正八边形的每一个内角为135°，正方形的每个内角为90°，用两个正八边形和一个正方形拼在一起，围绕某一点三个内角之和为360°，因此用正八边形和正方形能铺满地面.
(2)能.正三角形的每个内角为60°，正十二边形的每个内角为150°，用两个正十二边形和一个正三角形拼在一起，围绕某一点三个内角之和为360°，因此用正十二边形和正三角形能铺满地面.
【例2】(1)108° 120° 135°
(2)仅用一种正多边形镶嵌，正三角形、正四边形、正六边形能镶嵌成一个平面图形.
(3)m＝1，n＝2.
【当堂测评】
1.A 2.D 3.12
【分层训练】
1.D 2.D 3.12
4.B 5.(1)360 (2)12 (3)略
。
