2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，向量，，，则( )
A. B. C. D.
2.直线与圆相切，则的值是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
4.点关于直线：的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.已知四棱锥的底面是平行四边形，为侧棱上的点，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7.设椭圆的焦点为，，离心率为，则“”是“上存在一点，使得”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.如图，在正方体中，点、分别为棱、的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是( )
A. 直线与直线异面
B. 直线平面
C. 平面平面
D. 截面是直角梯形
9.在正方体中，点为底面含边界上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为( )
A. 一段圆弧 B. 一段抛物线 C. 一段椭圆 D. 一条线段
10.经过抛物线：的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于点，是在点处的切线点是上异于的任意一点，过且垂直于轴的直线交轴于点，交于点，则( )
A. B. C. D. 不确定
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.双曲线的离心率为______，渐近线方程为______．
12.在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为______．
13.已知抛物线的焦点为，则的标准方程为______；设点，点在上，则的最小值为______．
14.在中，，，则的一个取值可以为______．
15.曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数的点的轨迹给出下列四个结论：
曲线过点；
曲线关于轴对称；
曲线存在渐近线；
曲线与被轴截得的弦长大于．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知圆：，过点作斜率为的直线交圆于，两点．
Ⅰ写出圆的标准方程，圆心坐标和半径；
Ⅱ求线段的中垂线方程；
Ⅲ求．
17.本小题分
已知六面体的底面是矩形，，，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若平面，求直线与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，上顶点为过的直线与的另一个交点为．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ若．
求的方程；
求的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点为线段的中点，点为线段不含端点上的动点．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ若存在点，使得平面与平面的夹角为，求的值．
Ⅲ在Ⅱ的条件下，求四面体的体积．
20.本小题分
已知椭圆：经过点，且．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ设椭圆的左焦点为，过的直线交于，两点是否存在点，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
在平面内，有个椭圆和条抛物线，任意两条曲线均存在公共点，且任意三条及以上的曲线无公共点设所有公共点个数为这些公共点将椭圆和抛物线共分割为条曲线段或曲射线，上述图形将平面分割为个互不连通的区域如图，一个椭圆与一条抛物线相交，此时已知对于任意，，成立．
Ⅰ当时，直接写出的最大值及此时和的值；
Ⅱ当时，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
Ⅲ对于给定的，，设所有的最大值为当时，试求出的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.解：Ⅰ圆：，可得圆的标准方程为，圆心为，半径；
Ⅱ因为直线的斜率为，
所以线段的中垂线的斜率为，
又因为过圆心，
所以方程为，
即线段的中垂线方程为；
Ⅲ直线的方程为，
圆心到直线的距离为：，
所以．
所以．
17.解：Ⅰ证明：取中点，连接，．
因为且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
因为四边形是矩形，
所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
Ⅱ因为平面，所以，，
因为四边形是矩形，所以，
以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面一个法向量为，
则，有，
令，则，，即，
设直线与平面所成角为，
则．
18.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，上顶点为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ若直线的斜率不存在，
此时，不符合题意；
若直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，
所以，
由韦达定理得，
所以，
整理得，
解得或舍去，
所以，
则或，
此时均满足，
所以直线方程为或；
由知．
则．
19.解：Ⅰ证明：因为底面为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，且为的中点，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
Ⅱ因为平面，所以，，
因为四边形是正方形形，所以，
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
，，
设平面的法向量，
则，则，
令，则，，
可得，
，
设平面的法向量，
则，则，
令，则，，可得，
由题意，
，
整理得，
解得，
所以．
Ⅲ由Ⅰ得，平面，
所以平面的一个法向量为，
由Ⅱ得，，
所以点到平面的距离，
又，
所以四面体的体积．
20.解：Ⅰ因为点在椭圆上，
所以，
因为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
Ⅱ假设存在点，使得恒成立，
易知，
设，，
若直线斜率不存在，
此时当时，恒成立；
若直线斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
若满足，
此时，
即，
整理得，
因为，，
所以，
此时，
因为，，
所以，
整理得，
因为，
所以．
故存在点，使得恒成立．

21.解：Ⅰ，此时，；
Ⅱ设四条曲线分别为，，，，其中，为椭圆，，为抛物线．
和的公共点个数为，其中，，且，则．
所以，
且，，，与其他三条曲线的公共点个数分别为，，，．
所以，，，上的曲线段或曲射线条数分别为，，，．
所以．
又因为，所以，所以．
其中，时，上式成立．
Ⅲ由题意，当有个椭圆和条抛物线时，
每增加个椭圆，至多增加个公共点，
原有曲线上共增加条曲线段，
新增椭圆被分割为条曲线段，
所以新增条曲线段．
因为，所以．
每增加条抛物线时，至多增加个公共点，
原有曲线上共增加条曲线段，
新增抛物线被分割为条曲线段或曲射线，
所以新增条曲线段或曲射线．
同理，．
所以当时，
，
，
累加有，
即，
相加得，
又，所以．
当时，符合题意．
取定，当时，
，
，
，
累加有，
即，
相加得，
所以．
由，得，
所以，
因为，，--，，．
所以当时，
，
，
累加有，
即，
相加得，
又，所以．
当时，符合题意．
取定，当时，
，
，
，
累加有，
即，
相加得，
所以．
由，得，
所以．
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