2024-2025学年安徽省宿州市泗县一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省宿州市泗县一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
2.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列，则等差数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.过点且与原点距离最大的直线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知：，直线：，为上的动点过点作的切线，，切点为，，当四边形面积最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
7.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足设，为数列的前项和．若对恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则( )
A. 为定值 B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形 D. 当时，的面积为
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
11.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有( )
A. 平面
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项数列中，，，，则数列的前项和______．
13.曲线与直线仅有一个交点时，实数的取值范围是 ．
14.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设．
试用表示；
求的长度．
16.本小题分
已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
求以点为圆心且过点的圆的标准方程：
求过点且与中的圆相切的直线方程．
17.本小题分
在如图所示的图形中，四边形为菱形，，和均为直角三角形，，，现沿，将和进行翻折，使在平面同侧，如图．
当二面角为时，判断与平面是否平行；
探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
在的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且，，数列满足：，，，．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
参考答案
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15.解：
；
，是线段的中点，
、、三点共线，且是线段的中点，
，
，
，，，，，，
．
即的长度为．
16.解：：即，：；
由，得，即．
因为，所以；
所以圆的方程为：；
因为点在圆上，设过点圆的切线方程为，
显然斜率存在，可设为，
则的方程为即，
点到直线的距离为，
即，
即所求直线的方程为，
所以过点圆的切线方程为方程．

17.解：若二面角为，则平面平面，
因为平面平面，且，所以平面，
如图，以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，因为，
所以
令，得，
因为，
所以，
所以不与平面平行．
取的中点，连接，则，
因为，所以二面角的平面角为，即，
如图，以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，因为，
所以令，得，
设平面的法向量为，
因为，
则，所以
令，得，
因为，
所以不垂直，所以平面不与平面垂直．
在中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，
则，所以
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：，
当时，，，
当时，，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，，，
数列是首项为，公差为的等差数列，
．
，
，
，
两式相减得，
，
．
若不等式对任意恒成立，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
设，，
，
当时，，即，所以单调递增，
当时，，即，所以单调递减，
的最大值为，
，即实数的取值范围为．
19.解：抛物线的焦点为，
过垂直于轴的直线截所得的弦长为，
所以，解得，
所以，
又椭圆的离心率为，
，
椭圆的方程为；
设，，，
则由，
得 ， ，
点在椭圆上，
所以， ， ，
故
，
设分别为直线的斜率，
由题意知， ，
因此，
所以，
所以点是椭圆上的点，
由知，又 ，
，
恰为椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义，为定值．
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