2024级高一年级下学期开学考试数学（PDF版，含答案）

2024 级高一年级下学期开学考试数学试题 二、多选题
1
9．已知事件A， B发生的概率分别为 P A ，P B 1 ，则下列说法正确的是（ ）
2 3
一、单选题
A．若A与 B互斥，则 P A B P A P B 5
1．已知集合 A＝{x|y＝ x2 2x }，B＝{y|y＝x2＋1}，则 A∩B＝( ) 6
2
A．[1，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，＋∞) B．若A与 B相互独立，则 P A B 3
2．函数 f x ln x x 7 1的零点所在的区间为（ ） C．若A与 B相互独立，则 P AB 3
1
A． 3,4 B． 4,5 C． 5,6 D． 6,7 D．若 B发生时A一定发生，则 P AB
6
x 13．若 t 1，则关于 的不等式 t x x

0的解集是（ ） 10．设正实数 a,b满足 a b 1，则（ ）
t
1 1 1 4
x | 1 1 1 1 A． 有最小值 B．
有最小值
A． x t
ab
B． x | x 或 x t C． x | x t或 x D ． x | t x 2 a 2b 2a b 3
t t t t
2 4 2
4．用 x 表示不大于实数 x的最大整数，例如， 3.5 4， 2.1 2，则 x y 是 x y C． 4 a b 有 最 小 值 5 D ． a 1 b 1有最大值 6的（ ）
11．已知函数 f (x)对任意 x, y R 恒有 f (x y) f (x) f (y)，且当 x 0时， f (x) 0， f (2) 4，则
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分又不必要
a ln x, x 1 下列结论中正确的是（ ）
f (x1) f (x5 2
)
．已知函数 f (x) 1 4a ，满足对任意的 0 a
3, x 1
x 1, x2 R(x 1 x2 )， x x 恒成立，则实数 A． f (1) 2 1 2 x
B． f (x)是定义在R 上的奇函数
的取值范围为（ ）
C． f (x)在 ( , )上单调递增
A． 0,1 1B．[ ,1] C (1． ,1] D． (0, 1)
4 4 4
D．若 f (x) m 2 2am 1对所有的 x [ 2, 2],a [ 1,1]恒成立，则实数m ( , 3) U (3, )
6．已知函数 f x e x .若 a f 0.60.4 ，b f log 1 2 ，c f log45 ，则 a，b，c的大小关系为（ ）
5
A．a b c B． c b a C．b c a D． a c b 三、填空题
7．若函数 f x log a 6 ax 在区间 0,2 a 1上为减函数，则 的取值范围是（ ） 12 1 2
1
． (1 2)2 6 1 8 lg 25 lg 2 log 4 9 log3 8 2
log2 3 1 ln e _______.
100 2
A． 0,2 B． 1,3 C． 1,3 D． 3,
13. 已知 2 2x 3y 6， 3 5 x 6 y 9，则 z 11x 3y的取值范围是 .
8．已知定义在 R上的函数 f (x)满足: f x 1 关于 1,0 中心对称， f (x 2)是偶函数，且 f (x)在 0,2 上
14．若函数 f x 2 2 a x 是定义域在 R上的奇函数，则实数 a的值为 ；当 f x a 3 1 3 x 为 1
是增函数，则（ ）
定义域在 R上的奇函数时，若不等式mf x 1在 0, + ∞ 有解，则实数 m取值范围为 .
A． f 10 f 19 f 13 B． f 10 f 13 f 19
C． f 13 f 10 f 19 D． f 13 f 19 f 10
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四、解答题
15．已知非空集合 A {x∣a 1 x 2a 3}， B {x∣ 2 x 4}，全集U R．
18 f x kax a x．设函数 (a 0且a 1)是定义域为 R的奇函数.
(1)当a 2时，求(CuA)∪(CuB)；
（1）求 k的值.
(2)若 x A是 x B成立的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
2
（2）若 f 1 0，试求不等式 f x 2x f x 4 0的解集；
3
（3）若 f 1 ,且g x a2x a 2x 2mf x 在 1, 上的最小值为 2，求 m的值.
2
16．藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示
的频率分布直方图.
19．已知函数 g x ax2 2ax 1 b (a 0,b 0)在区间 1,2 上有最大值 2和最小值 1.
(1)求 a,b的值；
(2)不等式 g x kx 0在 x 1,2 上恒成立，求实数 k的取值范围；
(1)求参赛学生成绩的众数、中位数； g x 1
(3) x 2若 f x 且方程 f 2 1 t 3 0 t
x 2x
有三个不同的实数解，求实数 的取值范围。
1
(2)按分层抽样的方法从 70,80 ， 80,90 ， 90,100 中抽取 6名学生，再从这 6人中，抽取 2人，则求
这两人都是在 70,80 的概率.
1 a
17．已知定义域为R 的函数 f x
2 2x
是奇函数．
1
(1)求 的值；
(2)判断函数 f x 的单调性并证明；
(3) 2若关于m的不等式 f 2m m 4 f m2 3mt 0在m 1，3 有解，求实数 t的取值范围．
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2024 故选：D级高一年级下学期开学考试数学试题参考答案
11、ABD 【详解】选项 A：令 x 1, y 1, f (2) f (1) f (1) 2 f (1)，又 f (2) 4， f (1) 2,选
题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
号 项正确；
答 B C A A C D C D ABC BCD ABD 选项 B：令 x 0, y 0, f (0) f (0) f (0) 2 f (0), f (0) 0,
案
令 y x,则有 f (x) f ( x) f (0) 0, f (x)是定义在R 上的奇函数，选项正确；
4．A【详解】当 x y时，如 x 3.2,y 3.1,不能得到[x] [y]，由[x] [y],[x] y [y]，又 x [x]，
选项 C：设 x1＜x2,则 x2 x1＞0,又当 x 0时， f (x) 0，则有 f (x2 x1) 0,
所以一定能得到 x y .所以“ x y ”是“ x y”成立的充分不必要条件.故选：A.
即 f (x2 ) f ( x1) f (x2 ) f (x1)＜0，f (x2)＜f (x1)，即 f x1 f x ，
6．D【详解】因为 f (x)的定义域为R，且 f ( x) e| x| e|x|
2
f (x)，可知 f (x)为偶函数，则
f (x)在 ( , )上单调递减，选项错误；
b f log
1
2 f log25 f log25 ，又因为当 x 0时， f (x) e x在 0, 内单调递增，
5 选项 D：因为 f (x)在 ( , )上单调递减，且 f (x)是定义在R 上的奇函数，
且0 0.60.4 1，log2 5 2 log4 5 1 f 0.60.4，可知 f log 45 f log 25 ，所以 a c b .故选： 所以 x [ 2,2], f (x)max f 2 4，
D.
又 f (x) m 2 2am 1对所有的 x [ 2, 2],a [ 1,1]恒成立，
8. D 【详解】因为 f x 1 关于 1,0 中心对称，所以 f (x)对称中心是 0,0 ，故 f x f x ，
所以m2 2am 1＞4即m2 2am 3＞0在 a [ 1,1]恒成立，
因为 f (x 2)是偶函数，所以 f x 的对称轴是 x 2，即 f 2 x f 2 x ，
将函数看成关于 a [ 1,1]的一次函数 g a 2am m2 3，
所以 f 2 x f 2 x 中，将 x替换为 x 2，得到 f x f 4 x ，
g 1 2m m2 3＞0
则需 ，解得：m＜ 3或m＞3，选项正确；g 1 2m m2 3＞0
故 f x f 4 x ，将 x替换为 x 4，得到 f 4 x f 8 x ，
故选：ABD.
所以 f x f 8 x ，因此 f (x)的周期为 8.
所以 f 10 f 2 ， f 19 f 3 f 1 ， f 13 f 5 f 1 12．8 13.[3, 27] 14． -1 m<-1，
14. 【详解】解：因为函数 f x a 2 是定义域在 R上的奇函数，所以有 f 0 a 1 0，
因为 f (x)在 0,2 上递增且 f (x)是奇函数，所以 f (x)在 2,2 3x上递增， 1
x
解得：a 1 .检验：当a 1时， f x 2 3 1 2 1 1 f x
， f x 为奇函
所以 f 1 f 1 f 2 ， 3 x 1 1 3x 3x 1
数，所以 a 1 .
∴ f 13 f 19 f 10 .
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因为 f x 2 1 x 1 1,0 ，mf x 1在 0, +∞ 上有解，则m 0时， f x ，有 所以设中位数为60 x，则 0.3 x 0.04 0.5，解得 x 5，所以中位数为60 5 65；3 1 m
1 1 （2）按分层抽样的方法从[70,80)，[80,90)，[90,100]中抽取 6名学生，则分别抽取了 3人，2
f x min，即 1，所以m 1.m m 人，1人.
15．【详解】（1）方法一：当 a 2时， A {x∣1 x 7}，
设这 6人分别为A， B，C，D， E， F .
所以 U A {x∣x 1或 x 7}．
再从其中抽取 2人，这一共有 AB， AC， AD， AE， AF ，BC，BD， BE， BF，CD，CE，
因为 B {x∣ 2 x 4}，
CF，DE，DF，EF，总共 15种情况.
所以 UB {x∣x 2或 x 4}， 1
两人都在[70,80)有 AB， AC， BC三种情况，则求这两人都是在[70,80)的概率为 .
5
所以 痧U A UB {x∣x 1或 x 4}． f x 1 117．【详解】（1）由 为定义在R 上奇函数，可知 f 0 =0，解得 a=1．则 f x
2 2x
，
1
方法二：当 a 2时， A {x∣1 x 7}，
f x 1 1 1 2
x 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 x 1 2 1 1
故 A B {x∣1 x 4} ， 2 2 x 1 2 1 2 x 2 1 2 x f x2 1 2 x 2 1 2 x x ，故2 2 1
所以 痧U A UB U (A B) {x∣x 1或 x 4}． a=1．
（2）因为 x A是 x B成立的充分不必要条件， （2）由 y 2x 1单调递增可知 f x 1 1 x 在R 上为减函数，证明如下：2 2 1
所以A是 B的真子集，
对于任意实数 x1， x2 R ，不妨设 x1 x2，
a 1 2, a 1 2,
x x
当 A 时， 2a 3 4, 或 2a 3 4, 2 1
f x1
1 1 2 2
f x
a 1 2a 3 2

x1 x2 x1 x2 a 1 2a 3, 2 1 2 1 2 1 2 1
1 a 1 1解得 或 1 a ， y 2x递增，且 x x ， 2x1 2x1 2 2 ， f x1 f x2 0， f x1 f x2 ，2 2
1, 1 综上，实数 a的取值范围是 ． 故 f x 在R 上为减函数． 2
16．【详解】（1）由题图可知众数为 65， （3）由 f x 为奇函数得： f 2m2 m 4 f m2 3mt 0，等价于
因为[50,60)的频率为 0.03 10 0.3；[60,70)的频率为0.04 10 0.4；
f m2 3mt f 2m2 m 4 ．
[70,80)的频率为 0.015 10 0.15；[80,90)的频率为 0.01 10 0.1；
[90,100] 2 2 2的频率为 0.005 10 0.05； 又由 f x 在R 上为减函数得：m 3mt 2m m 4，即3mt m m 4；
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因为m 1，3 ，所以3t 4 4 m 1 2．原问题转化为3t m 1在m 1，3 上有解， 19．【详解】（1）由已知可得 g x a(x 1) 1 b a .
m m
4 g 1 1 b a 1 a 1 m 1 m
4 4 4
1 2 m 1 3，当且仅当m ，即m=2时，等号成立， 当 a 0时， g x 在 1,2

上为增函数，所以 ，解得 ；
m m m m g 2 a 1 b a 2 b 1
当m=2
4
时， y m 1取得最大值 3． 3t 3，解得 t 1， g 1 1 b a 2 a 1
m 当 a 0时， g x 在 1,2 上为减函数，所以 g 2 a 1 b a 1，解得 . b 0
t的取值范围是 ， 1 ．
a 1
18．【详解】（1）因为 f x 由于b 0，所以 .是定义域为 R上的奇函数， b 1
所以 f 0 0，所以 k 1 0，所以 = 1 = 1 2，经检验 符合题意． （2）由（1）知 g x x 2x 2，
1
（2）因为 f 1 0，所以 a 0，又由 a 0,a 1 2，所以a 1， 所以 x2 2x 2 kx 0在 x 1,2 上恒成立，即 k 2 x x 2，a
f x R x
2 2
易知 是 上的单调递增函数， 因为 x 1,2 ，所以 k 2 在 x 1,2 上恒成立，
x
2
2
原不等式化为 f x 2x f 4 x x 2 2，即 x2 2x 4 x，即 x2 3x 4 0， 即 k 2 x 在 x 1,2 上恒成立，
x x
所以 > 1 或 x 4，所以不等式解集为{x x 1或 x 4} x
2
． 又 2 2，当且仅当 x 2时取等号.x
3 1 3 1
(2)因为 f 1 ，所以 a ，即 2a2 3a 2 0，所以 = 2 或 a （舍去）， 所以 k 2 2 2，即 k 2 2 2 .
2 a 2 2
2 所以求实数 k的范围为 , 2 2 2 .
所以 g x 22x 2 2x 2m 2x 2 x 2x 2 x 2m 2x 2 x 2，
1 2t
令 t f x 2x 2 x 2 x （3）方程 f 2x 1 t 3 0化为 2 1 x 2 3t 0 x ，
2 1
2 1

因为 x 1，所以 t f 1 3 ， g t t 2 2mt 2 t m 2 2 m2， x 22 化为 2 1 2 3t 2x 1 1 2t 0 2x，且 1 0 .
m 3 2当 时，当 t m时， g t 2 m 2 m 2
2 min
，
令m 2x 1 2，则方程化为m 2 3t m 1 2t 0 .
m 3 3 17当 时，当 t 时， g t 3m 2
2 2 min
，
4 作出m 2x 1的函数图象
25 3
解得m （舍去），综上可知m 2．
12 2
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2 x
因为方程 f 2 1 t 3 0 x 有三个不同的实数解，
2 1
所以m2 2 3t m 1 2t 0有两个根m1,m2，
且一个根大于 0小于 1，一个根大于等于 1.
设0 m1 1 m2，
记 h m m2 2 3t m 1 2t ，
根据二次函数的图象与性质可得


h
h 0 1 2t 0
0 1 2t 0
h 1 t 0
h
，或 1 1 ，解得 t 0 . 2 3t 1 2t t 0
0 2 3t 1
2
所以实数 t的取值范围为 0,
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