安徽省蚌埠市2024-2025学年高二上学期期末学业水平监测数学试题（含解析）

安徽省蚌埠市2024-2025学年高二上学期期末学业水平监测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.斜率为的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，其中，，则( )
A. B. C. D.
3.过点且方向向量为的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
5.已知正项等比数列的前项和为，若，，则公比为( )
A. B. C. D.
6.已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴、轴分别交于，两个动点，过，分别作轴、轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7.已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点的坐标为，在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆，下列说法正确的是( )
A. 圆心的坐标为 B. 半径
C. 圆被直线截得弦长为 D. 直线与圆相切
10.在平行六面体中，，，下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 可以作为空间的一个基底
D.
11.已知数列满足：，，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为 ．
13.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知经过点，且，，，则椭圆离心率为 ．
14.已知实数，满足等式，若存在实数，满足不等式，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求边上的中线所在直线的方程
过点作直线的垂线，求垂足的坐标．
16.本小题分
已知抛物线焦点为，点在上，且．
求抛物线的焦准距
若，在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点．
17.本小题分
已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，
求数列和的通项公式
求数列的前项和
若求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在直棱柱中，底面是边长为的菱形，分别是棱，的中点，C.
求证：
若直线与平面所成角的正弦值为．
(ⅰ)求到平面的距离
(ⅱ)求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆，，分别是的左、右顶点，点是上一点与，不重合，过原点的直线，，满足，，其中交于，两点，交于，两点，其中，在轴上方，直线，的斜率分别为，．
求证：为定值
判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由
如图，将椭圆沿所在直线翻折，使得平面平面判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】直线的斜率，且倾斜角在内，
，
直线的倾斜角为．
故选D．
2.【答案】
【解析】因为，，，
所以有，解得，
故选：
3.【答案】
【解析】过点且方向向量为，
直线的斜率，
其方程为，
整理，得．
故选：．
4.【答案】
【解析】由双曲线，得其渐近线方程为，
又双曲线的渐近线为，得，则．
故选：．
5.【答案】
【解析】由题意可知，数列的公比，
则，，
因为所以，
故选C．
6.【答案】
【解析】设圆心坐标为，则圆的方程为，
令，得或，则，
令，得，则，
所以，所以，
所以点的轨迹为抛物线，
故选：．
7.【答案】
【解析】由得，，
则，，，，，，．
故选A．
8.【答案】
【解析】因为是的中垂线，所以，，
若的周长与的周长之差为，
则，
即，
易知，所以，
且，
解组成的方程组可得，
则双曲线的方程为．
故选：．
9.【答案】
【解析】圆，圆心为，半径为，故A错误，B正确；
对于，圆心到直线的距离为，
所以圆被直线截得弦长为，故C正确；
对于，圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，故D错误．
故选BC．
10.【答案】
【解析】由题意得， ，
，
对于选项A，，
则
，所以，故A正确；
对于选项B，，
，
则
，
故，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以，，是共面向量，
所以不可以作为空间的一个基底，故C错误；
对于选项D， ，
，
故，故选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于，由题意可得，所以，故A正确
对于，由于，
当时，，
由可知，当时，，所以当时，，
当时，，
所以，故B正确
对于，因为时，，
所以，故C正确；
对于，由可得，不断展开，
又因为，
同样，
我们知道是递增数列，且因为是由很多项递推得到，远远大于，
所以，故D错误．
故选ABC．
12.【答案】
【解析】点在坐标平面内的射影点的横纵坐标保持不变，竖坐标为，即．
13.【答案】
【解析】根据题意，，，
又，解得，，
所以离心率．
14.【答案】
【解析】表示点在以为圆心，为半径的圆上，
不等式可化为，
表示点在以为圆心，半径为的圆上及其内部．
由于存在实数，满足不等式，则两圆不能相离，
两圆圆心距离为，
所以，
即，
解不等式得到
15.【解析】中点为，
故边上的中线所在直线方程为，
即．
由题意知，，
则垂线的斜率，
故直线的方程为，
直线的方程为，
联立和方程，，解得垂足
16.【解析】由，得，
即抛物线的焦准距为．
由知，直线方程为，
由得，
在中令，得，
所以直线方程为，焦点在直线上，即直线经过焦点．
17.【解析】设的公差为，的公比为，
由得，即，
由，又，得，即．
易知，
，
，
得
，
故
，
，
故数列的前项和为．
18.【解析】因为直棱柱，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
如图建立坐标系．
设，
由题意知，，，，，，
则，，，．
设平面法向量，
由，不妨令，
设与平面所成角为，
则，，解得，
即平面法向量
故到平面的距离；
设平面法向量，
由
不妨令，
因为，，
故平面与平面夹角的余弦值为．

19.【解析】易知，，
设，则，，则，
又因为，
故，
所以为定值
设，，
联立，解得，，
同理，得，，
由椭圆对称性得，
，
所以为定值
易知，，
，
，
，
．
即为定值．
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