广西河池市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

广西河池市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知数列，，，，，，，则这个数列第九项是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
5.在等差数列中，，等比数列满足，则( )
A. B. C. D.
6.直线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线与圆相交于，两点，则( )
A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为
C. 圆心到直线的距离为 D.
10.数列满足，，则下列说法正确的是( )
A. 数列是递减数列 B. 数列是等差数列
C. 数列是等比数列 D.
11.抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于、两点其中在轴上方，且，若将三角形沿折起来，使其与三角形垂直，则( )
A.
B. 直线的方程为
C. 翻折后，异面直线、所成角的余弦值为
D. 翻折后，三棱锥的体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
13.设是数列的前项和，且，则 ．
14.人教版选择性必修第一册页例题涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积与仿射后的面积的关系为已知椭圆的右端点与上顶点分别为和，过原点的直线与椭圆交于，两点，则四边形面积最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三角形三顶点，，，求：
直线的一般式方程
边上的高所在直线的一般式方程．
16.本小题分
已知等差数列满足，，等比数列满足，．
求数列，的通项公式
设数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在正四面体中，点为的中点，，设，，．
试用向量，，表示向量
若，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
求证：平面
求平面与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，圆的圆心为，半径为，是圆内一个定点，是圆上任意一点线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
设曲线与轴从左到右的交点为点，，点为曲线上异于，的动点，设交直线于点，连结交曲线于点直线、的斜率分别为、．
(ⅰ)求证：为定值
(ⅱ)证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由可知抛物线焦点在轴上，且，
，
所以焦点为．
故选A
2.【答案】
【解析】显然是斐波那契数列，
所以，
则，
．
故选B
3.【答案】
【解析】由题设，有，，
则，可得．
故选D
4.【答案】
【解析】因为，所以，，，
，．
故选C
5.【答案】
【解析】由等差数列下标和性质知，，
则由等比数列下标和性质可知，
故选A
6.【答案】
【解析】由于两条直线垂直，
所以，解得．
故选D
7.【答案】
【解析】由于空间向量，，
则向量在向量上的投影向量为

故选B
8.【答案】
【解析】由题意知延长 则必过点 ，
，
设，
则，，
由双曲线的定义可得
，，
由 可得，
在中，由余弦定理
可得，．
在中，由余弦定理
可得，
解得：，
则，
故选：．
9.【答案】
【解析】对于，圆：的圆心为，半径，
故A错误，B正确；
对于，点到直线：的距离， C正确；
对于，， D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】，，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，C正确；
，
即，A正确，B错误；
，D错误．
故选：
11.【答案】
【解析】准线方程为，所以，即，
且抛物线的方程为，选项A正确
设，，，所以，
易求，直线过、，
易求直线的方程为，选项B错误
联立与求得
翻折后，如图建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，，选项C正确
三棱锥的体积为，选项正确．
故选：
12.【答案】
【解析】圆：和圆，
两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意．
故答案为：
13.【答案】
【解析】因为，
所以．
故答案为：
14.【答案】
【解析】设，，
联立和消去得，
，，，，
直线方程：，
点，到的距离分别为，，
，
，，
而，
故
，
当且仅当，时成立，．
故答案为：
15.【解析】，，
直线的方程为，
化简得，
直线的斜率为，
边上的高所在直线的斜率为，
边上的高所在直线的方程为，即．
16.【解析】设等差数列的公差为．
由，，可得，
解得，
则．
由，，
可得是首项为，公比为的等比数列，
则．
由得，
．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【解析】因为点为的中点，
所以，
因为，所以，
所以，，
所以
由得，
，
由正四面体可知，，
所以
．
18.【解析】证明：
因 平面 ，且 ，故可以点 为坐标原点，
所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系如图所示．
则 ．
于是， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
又 ，显然， ，故得 平面 ；
由建系，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ．
设平面 与平面 所成夹角为 ，
因 ，
则 ．
即平面 与平面 所成夹角的正弦值为

19.【解析】由题意可知，，
故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线方程为．
证明：设，，，
由题可知，如右图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
设直线的方程为，，，
由，得，
所以
由可知，，
即，
化简得，解得或舍去，
所以直线的方程为，
因此直线经过定点．

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