安徽省宣城市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题（含解析）

安徽省宣城市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知空间向量，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.在平行六面体中，若，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
5.已知正三棱台的体积为，，，则直线与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列是递增数列，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”设椭圆的右焦点为，左顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线与直线的倾斜角互补，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左焦点为，过点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，并分别交两条渐近线于，两点其中点为垂足，且点，分别在第二、第三象限内若，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则( )
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
10.已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是( )
A. 切线长的最小值为
B. 四边形面积的最小值为
C. 当最小时，弦所在的直线方程为
D. 弦所在直线必过定点
11.抛物线的焦点为，顶点为，过点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，点在轴上方，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，准线与轴交于点，则下列说法正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 三角形面积的最小值为 D. 的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过坐标原点作倾斜角为的直线，则直线被圆所截得的弦长为 ．
13.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 ．
14.已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是各项均为正数的等比数列，且，是和的等差中项．
求数列的通项公式
若数列满足，求数列的前项和．
16.本小题分
若平面内动点到两定点，距离的比值为常数且，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆已知两定点，的坐标分别为，，动点满足．
求动点的阿波罗尼斯圆方程
过点作该圆的切线，求切线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，．
证明：平面
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，且．
求椭圆的标准方程
直线，均过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，若，分别是线段和的中点，求面积的最大值．
19.本小题分
设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”．
已知数列是“紧密数列”，前项依次为，，，，求的取值范围
若数列的前项和，判断是否是“紧密数列”，并说明理由
设数列是公比为的等比数列若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意，因为，
则，
解得，
故选D．
2.【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则点到直线的最大距离为，
则面积的最大值为，
故选A．
3.【答案】
【解析】由题意得：，
则向量在向量方向上的投影向量为
故选C．
4.【答案】
【解析】在平行六面体中，
，，
，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】设正三棱台的高为．
，，
， ．
正三棱台的体积
，
，
如图所示：
设和的中心分别为，连接，，，
作平面交平面于点，
由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形，
其中即为直线与平面所成的角，
由，，可得：，，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】由题意，得
解得：，
则的取值范围是．
故选：．
7.【答案】
【解析】过椭圆上一点，
作该椭圆的切线，切线方程为，
把代入椭圆方程可得：，不妨取，
则过作椭圆的切线方程为，即，
可得切线的斜率为，
再由可得： ，
因为切线与直线的倾斜角互补，
所以 ，结合，整理可得：，
所以椭圆的离心率．
故选：．
8.【答案】
【解析】由题意可得：，的方程为 ，的方程为 ，
设 ，
点，分别在第二、三象限内，若 ，则，
，
， ，
，
由可得：斜率之积等于，
故 ，即 ，解得：．
所以双曲线的渐近线方程为 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】对于，因为，分别是棱，的中点，
所以．
因为，所以，故A正确；
对于，易知平面，
所以
，
故B正确；
对于，如图建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以
，
故C错误；
对于，，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于，圆的圆心为，半径为，
由题意可得：，
所以．
，
所以，故A错误；
对于，，
所以四边形面积的最小值为，故B正确；
对于，当最小时，，则直线的斜率为，
又，所以直线的斜率为．
的直线方程为，即．
由，解得：，，即，
所以的中点为，
所以弦所在的直线方程为，即，故C错误；
对于，设，
则以为直径的圆的方程为，
展开得：．
圆的方程为，即，
得：弦所在直线方程为，即．
令，解得：，
所以弦所在直线必过定点，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于，当时，，故A正确
对于，当时，直线的方程为，与抛物线方程联立，
消去，化简整理得：，解得：或，
所以，，所以，故B错误
对于，由题意得：，设直线的方程为，与抛物线方程联立
消去，化简整理得：，
设，则，，
所以
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确
对于，由抛物线的定义得：
，当且仅当，即时等号成立，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】由题意可得：直线的方程为，即，即，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆所截得的弦长为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为，，
所以，可得．
设椭圆的半焦距为，
因为，
所以，即，
化简得，即，即．
令，
则，
取，
因为，
所以，
所以，
取，
则
，，
时，，
因为
，
所以，
所以，
所以．
故答案为．
15.【答案】解：设数列的公比为，，
因为是和的等差中项，
所以，即，解得：，
所以．
由知：，则，
所以，
所以，
故的前项和．
16.【答案】解：设动点坐标为，
则，，
由已知条件，得：，
化简得：．
当直线的斜率不存在时，此时的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：．
由与圆相切，得，解得：，
此时的方程为．
综上，的方程为或．
17.【答案】证明：如图，连接，
在中，由可得：．
因为，且是中点，
所以，，
因为，，，所以，所以．
又因为，平面，，所以平面．
由及可知，，，两两垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由，，则．
设平面的法向量，
由，，
有
取，则，，
可得平面的一个法向量
设平面的法向量，
由，，
有
取，则，，
可得平面的个法向量
所以平面与平面所成夹角的余弦值为
．
18.【答案】解：由题意，因为，，
所以．
又，，
所以，，．
所以椭圆的标准方程为．
由题意知，，直线的斜率存在．
设直线的方程为，，，
则直线的方程可设为，，
联立，
消去得：，
所以，
所以，．
所以
同理，联立，可得：
则的中点，．
所以
，
当且仅当，即时取等号．
所以面积的最大值为．

19.【答案】解：若数列为“紧密”数列，
则，且，
解得：，即的取值范围为
数列 为“紧密”数列；理由如下：
数列 的前项和 ，
当时， ；
当时， ，
又，即满足，
因此 ，
所以对任意，，
所以，
因此数列为“紧密”数列．
因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，，
所以 ， ，满足题意；
当 时， ， ，
因为 为“紧密”数列，
所以 ，
即 或 ，
当 时，
，
，
所以 ，满足 为“紧密”数列；
当 时， ，不满足 为“紧密”数列；
综上，实数 的取值范围是 ．

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