河北省保定市高中2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（B）题（含解析）

河北省保定市高中2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（B）题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.设，，，则它们的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知若恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，不正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果，，那么
C. 如果，，那么
D. 如果，，，那么
10.设函数，，已知图象过点，且在区间上单调递减，则下面结论正确的是( )
A. B. 最大值为
C. D. 在内有两个零点
11.设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知函数，且，，，，，，求函数的一个解析式 ．
14.已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求和
若集合，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
设，函数的最小正周期为，且．
求和的值
在给定坐标系中作出函数在上的图象
若，求的取值范围．
17.本小题分
某知名电动汽车公司科研部门有甲乙两个电池研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益单位：千万元与研发投入资金单位：千万元的关系为，，项目乙研发期望收益单位：千万元与研发投入资金单位：千万元的关系为，，且，．
求实数，，的值
已知科研部门计划将千万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大并求出最大期望利润．
18.本小题分
已知函数对于任意实数，恒有，且当时，，又．
判断的奇偶性并证明
求在区间的最大值
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知函数．
，不等式恒成立，求实数的取值范围
已知函数的定义域为，若对于任意，，，，，能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”若函数是区间上的“三角形函数”，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】把集合中的元素逐个带入不等式，
只有，，满足不等式，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题“，”的否定为“，”．
故选：．
3.【答案】
【解析】由题意：
解得且，
所以函数的定义域为：．
故选：．
4.【答案】
【解析】对于，记函数，，不是奇函数，故A错误；
对于，记函数，易得函数的定义域为，满足，
该函数是偶函数，不是奇函数，故B错误；
对于，记，易得该函数的定义域为，关于原点对称，
且；
该函数是奇函数，故C正确；
对于，记函数，易得函数的定义域为，，
该函数为偶函数，不是奇函数，故D错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】由，
等式左边分子分母同时除以，
得，解得，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】函数，
定义域关于原点对称，
，
函数为偶函数，故A，C错误；
当时，，故B错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】在上是增函数，且，
，
因为，且在上是减函数，
，
因为，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】，
恒成立可转化为恒成立，
，
，
当且仅当时，等号成立，
即时，，
故，
即的取值范围为．
故选：．
9.【答案】
【解析】选项A，，，
，，
，即，故A错误；
选项B，，
，，故B正确；
选项C若，，
则，则，故C错误；
选项D，，
又，，
，
又，，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】已知函数图象过点，
代入函数表达式可得，
因为，所以，故A正确；
由于时，的值域为，
因此的最大值为，故B正确；
由，可得，，
因为函数在区间上单调递减，
所以，
可得，故C正确；
，，
因为，所以，
所以在内有一个或者两个零点，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】画出函数的图象，如图所示，
要想函数有四个零点，
则，故A错误；
由于当时，图象的对称轴为直线，
所以，故B正确；
当时，，
所以，
所以，故C错误；
因为，所以，故，
又，
所以，
函数在上单调递增，
故，故D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】由，得，
则，得，
所以，则．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】由，，考虑，
则，解得，
从而．
故答案为：．
14.【答案】个
【解析】因为在上单调，
所以存在唯一的实数，使得，
所以，即，
又，所以，
设，则在上单调递增，
，所以，
所以当时，
因为函数为奇函数，
所以
方程解的个数，即为方程解的个数，
即转化为函数与图象的交点个数，
画出函数图象可知图象有两个交点，
所以解的个数为个．
故答案为：个．
15.【答案】解：
由不等式，解得，
所以，
又由，解得，可得，
所以，
，则；
由集合，且，可得，
当，所以，
即，满足，
当，即时，
由，解得，
所以实数的取值范围为，
综上所述，实数的取值范围为
16.【答案】解：函数的最小正周期，，
，且，
；
由知，列表如下，
在上的图象如图所示：
，即，
，
则，
即，
的取值范围是．
17.【答案】解：由，，
可得
解得
故，；
设项目甲研发投入资金为千万元，
则项目乙投入千万元，投资收益为，
则，，
所以
，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以项目甲投入千万元，项目乙投资千万元时，科研部门获得最大利润千万元．
18.【答案】解：为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称，
令，得，解得，
令，得，
所以对任意恒成立，
所以为奇函数；
任取，，且，则，
当时，，
所以，即，
由知，为奇函数，所以，
则，即，
所以在上单调递增，
所以在区间的最大值为，
因为，为奇函数，
所以，
令，得，
即在区间的最大值为；
因为
所以，
所以，
所以，
由可知，在上单调递增，
所以，
整理得：，即，
当时，无解，解集为，
当时，解集为，
当时，解集为．
19.【答案】解：因为，
所以不等式，
可得，即，
因为，不等式恒成立，
所以只需，
令，因为，所以，
不等式转化为，
因为函数在单调递增，
所以当，，
故，
所以实数的取值范围为；
根据条件，如果函数为集合上的“三角形函数”只需满足，
因为，任取，
则
当时，，，
故，即，
所以在上单调递减，
当时，，，
故，即，
所以在上单调递增，
综上：在上单调递减，在上单调递增，
所以对于，
当时，在上单调递增，
故，，
则，解得舍去；
当，在上单调递减，在上单调递增，
故，，
当时，，解得，
此时，则，
整理得，解得，
所以；
当时，，解得，
此时，则，
整理得，解得，
所以
当，在上单调递减，
故，，
则，解得舍去，
综上，的取值范围为，
所以存在正数满足题意，且的取值范围为
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