贵州省贵阳市六校（六中、二中、八中、十二中、省实、贵阳高中）2023-2024学年高一下学期第一次联考数学试题
1．（2024高一下·贵阳月考），则的虚部是（ ）
A．-2 B． C．2 D．
2．（2024高一下·贵阳月考）中，角A、B、C的对应边是a、b、c.已知，则满足条件的有（ ）
A．一个解 B．两个解 C．无解 D．不确定
3．（2024高一下·贵阳月考）已知，则（ ）
A．4 B．1 C．2 D．不确定
4．（2024高一下·贵阳月考）在等腰梯形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·贵阳月考）如图圆中若，则的值等于（ ）
A． B．3 C． D．-3
6．（2024高一下·贵阳月考）锐角中，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·贵阳月考）如图，在平行四边形ABCD中，，延长DE交AB于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·贵阳月考）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约，横约，挂在墙上最低点离地面，小兰身高(头顶距眼睛的距离为.为使观测视角最大，小兰离墙距离应为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·贵阳月考）下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．若为平面上一组基底，则也是一组基底
C．若对于两个非零向量，满足，则与共线
D．若，则存在唯一实数使得
10．（2024高一下·贵阳月考）下列说法正确的是（ ）
A．，有
B．”是“为纯虚数”的充要条件
C．若，则对应的点在复平面内的第四象限
D．，则的范围是
11．（2024高一下·贵阳月考）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．面积为
12．（2024高一下·贵阳月考）复数是实数，则 .
13．（2024高一下·贵阳月考）函数的部分图像如图所示，则 .
14．（2024高一下·贵阳月考）中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是 .
15．（2024高一下·贵阳月考）（1）计算；
（2）已知关于的方程有实数解，求纯虚数.
16．（2024高一下·贵阳月考）锐角，角的对边分别是.已知.
（1）求；
（2）求的取值范围.
17．（2024高一下·贵阳月考）如图所示，点是重心..
（1）用表示(系数中的字母只含x，y)；
（2）求最小值.
18．（2024高一下·贵阳月考）内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知：.
（1）求；
（2）若边上的中线BD长为，求面积；
（3），求内切圆半径的取值范围.
19．（2024高一下·贵阳月考）内角的对边分别是，已知：.
（1）求角；
（2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为圆上一个动点，试求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算法则求出复数的代数形式，再根据虚部定义得出复数z的虚部.
2．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理知，，
又因为，
所以，
所以，
又因为，，，所以，
作函数，的图象如下，
观察图象可得满足条件的角存在两个，
则满足条件的的解有两个.
故答案为：B.
【分析】结合已知条件和三角形中角C是取值范围、三角形中大边对大角的性质以及正弦定理，从而求出角的取值范围，进而作出函数，的图象，再结合图象得出满足条件的角的个数，进而得出满足条件的的解的个数.
3．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】分别求出的模，再利用复数的模的性质，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，因为向量的方向不相同，所以向量不相等，故A错；
对于B，如图，以为邻边作平行四边形，
可得，所以，故B错误；
对于C，记的中点为，则，
以为邻边作平行四边形，
所以，故C错误；
对于D，记的中点为，
由向量运算可得，，
所以，，
由已知，
所以，
所以，即，
所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据向量的定义判断选项A；根据向量的运算和向量求模公式，则判断出选项B、选项C和选项D，进而找出结论正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图分别作交于，于，
根据垂径定理可得分别为的中点，
所以
.
故答案为：C.
【分析】根据数量积的几何意义，分别作交于，于，从而可得分别为的中点，再由，则根据数量积的定义得出的值.
6．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理得：，
，
所以，
，
因为三角形为锐角三角形，
所以，，从而得，
所以，所以．
故答案为：C.
【分析】由已知条件求得角的取值范围，再由正弦定理把表示为角的三角函数，则由三角函数恒等变换结合正弦函数性质，从而得出的取值范围．
7．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由已知，
所以，所以，
又因为，，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据三角形相似推出，再根据平面向量的线性运算，从而可得.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，
设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，
则依题意可得（cm），（cm），，
设，则，
且，，
故
所以，当且仅当即时等号成立，
故使观赏视角最大，小兰离墙距离应为cm.
故答案为：C.
【分析】由题意只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，从而求出，的长，设，则，从而求出，的值，再代入结合基本不等式求最值的方法，从而得出为使观测视角最大时小兰离墙距离的值.
9．【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，所以，
所以，即，故A错误，
对于B，设共线，则，
所以，满足条件的不存在，所以不共线，
所以是一组基底，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
设向量的夹角为，所以，
又因为向量为非零向量，所以，
又因为，所以，所以与共线，故C正确；
对于D，若，且为非零向量，
则不存在实数使得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量垂直的坐标表示，则判断选项A；利用反证法结合基底的判断方法，则判断选项B；根据向量的模的性质结合共线向量的定义，则判断选项C；举反例判断选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A，设，，
当时不成立，故A错误；
对于B，，若，可得且，为纯虚数，
若为纯虚数，则，所以成立，故B正确；
对于C，因为，所以，对应点在第二象限，故C错误；
对于D，由，故对应点在以原点为圆心，半径为的圆上，
而表示到该圆上的点的距离，到圆心的距离为，又因为半径为2，
根据圆外一点到圆上一点的距离的大小，可得的范围是，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据复数的概念、复数的几何意义、复数求模公式和性质、充要条件判断方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，
所以，故B正确；
因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，所以，故A正确，
由，，可得，，
由正弦定理可得，
又因为，，
所以，故C正确，
因为，
所以，
所以的面积，故D错误，
故答案为：ABC.
【分析】根据余弦定理化简已知条件可求出角的值，则判断选项B；利用正弦定理将已知条件转化为角的关系可求出角的值，则判断出选项A；再利用正弦定理和三角形面积公式，从而求出的值和的面积，则判断选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据题意得出且，
所以且，
即，
所以或（舍）.
故答案为：.
【分析】由题意可得且，再进行计算可得实数a的值.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数的最大值为，最小值为，
由图象可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】由函数解析式结合函数的图象求出点的坐标，再结合数量积的坐标运算，从而得出的值.
14．【答案】等腰三角形或直角三角形
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，为的外接圆半径，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，又因为，
所以或
所以或，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
【分析】利用正弦定理，将已知条件转化为角的关系，再结合两角和的正弦公式和诱导公式，从而化简判断出三角形的形状.
15．【答案】解：（1）
.
（2）由，
设（），可得，
则，可得或（舍），
所以，纯虚数.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】（1）根据的周期性和复数的运算法则，从而化简得出所求复数.
（2）首先设（），代入方程可得，再利用复数相等的判断方法，从而得出纯虚数.
16．【答案】（1）解：由正弦定理可得，为的外接圆半径，
所以，
所以，可化为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
所以，即，
所以.
（2）解：因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，再结合锐角三角形中角的取值范围，从而得出角的值.
（2）利用已知条件求出角的取值范围，结合内角和定理，将转化为关于角的解析式，再结合正弦函数的性质得出的取值范围.
（1）由正弦定理可得，为的外接圆半径，
所以，
所以，可化为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
所以，即，
所以；
（2）因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）解：连接并延长，交于点，则为中点，
所以，由重心性质可得，
所以，
因为，，
所以.
（2）解：因为三点共线，
由（1）可得，
因为在线段上，所以，所以
当且仅当时，则当时，
即当时取得等号，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）连接并延长，交于点，根据三角形重心的性质和向量中点公式，从而可得，由此用表示.
（2）由向量三点共线的结论可得，再结合基本不等式求最值的方法得出的最小值.
（1）连接并延长，交于点，则为中点，
所以，由重心性质可得，
所以，
因为，，
所以，
（2）又因为三点共线，
由（1）可得，
因为在线段上，所以，
所以，
当且仅当即即时取得等号.
所以的最小值为.
18．【答案】（1）解：由题意可得，即，
整理可得，所以，
所以，由，可得.
（2）解：如图，由，中线BD长为，
所以，
可得，即，
所以或（舍），所以，
所以
（3）解：由，代入正弦定理可得：，
所以，
面积，
周长，
所以内切圆半径
，
由，所以，
所以，
即内切圆半径的取值范围.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先化简可得，从而可得，解方程结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）如图，先解，再由可得，从而求出的长，即可求出的长，再根据三角形的面积公式得出面积.
（3）根据正弦定理可得，即，利用三角形的面积和三角形的周长，从而得出内切圆半径，再利用三角型函数求最值的方法，即可得出三角形内切圆半径的取值范围.
（1）由题意可得，即，
整理可得，所以，
所以，由可得；
（2）如图，由，中线BD长为，
所以，
可得，即，
所以或（舍），所以，
所以；
（3）由，带入正弦定理可得：，
所以，
面积，
周长，
所以内切圆半径
，
由，所以，
所以，
即内切圆半径的取值范围.
19．【答案】（1）解：依题意，由正弦定理知，，
为的外接圆半径，
所以，
所以
可化为，
所以，
由余弦定理，
所以，
所以，
因为，所以.
（2）解：由为锐角三角形，，
所以，可得，
由正弦定理，则，
则，
则的周长为，
由，则，
因为，整理得：，
解得或（舍去），
所以，所以，
则的周长范围是.
（3）解：由正弦定理，则，
又因为，所以，
由，可得，则，
则为直角三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，则，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为边的关系，再结合余弦定理求出角的值.
（2）利用正弦定理将三角形周长转化为关于角的三角函数，再利用三角型函数的值域，即可求出周长的取值范围.
（3）利用已知条件结合正弦定理以及勾股定理，从而易得为直角三角形，取中点，可得，由点为上的一动点，则可得，从而得出的取值范围.
（1）依题意，
由正弦定理知，，为的外接圆半径，
所以，
所以可化为，
所以，
由余弦定理，
所以，
所以，
因为，所以；
（2）由为锐角三角形，，
所以
可得，
由正弦定理，则，
则，
则的周长为，
由，则，
因为，整理得：，
解得或（舍去），
所以，所以，
则的周长范围是；
（3）由正弦定理，则，
又，所以，
由，可得，则，
则为直角三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，则，
所以，
所以的取值范围为.
1 / 1贵州省贵阳市六校（六中、二中、八中、十二中、省实、贵阳高中）2023-2024学年高一下学期第一次联考数学试题
1．（2024高一下·贵阳月考），则的虚部是（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算法则求出复数的代数形式，再根据虚部定义得出复数z的虚部.
2．（2024高一下·贵阳月考）中，角A、B、C的对应边是a、b、c.已知，则满足条件的有（ ）
A．一个解 B．两个解 C．无解 D．不确定
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理知，，
又因为，
所以，
所以，
又因为，，，所以，
作函数，的图象如下，
观察图象可得满足条件的角存在两个，
则满足条件的的解有两个.
故答案为：B.
【分析】结合已知条件和三角形中角C是取值范围、三角形中大边对大角的性质以及正弦定理，从而求出角的取值范围，进而作出函数，的图象，再结合图象得出满足条件的角的个数，进而得出满足条件的的解的个数.
3．（2024高一下·贵阳月考）已知，则（ ）
A．4 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】分别求出的模，再利用复数的模的性质，从而得出的值.
4．（2024高一下·贵阳月考）在等腰梯形中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的基本定理；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，因为向量的方向不相同，所以向量不相等，故A错；
对于B，如图，以为邻边作平行四边形，
可得，所以，故B错误；
对于C，记的中点为，则，
以为邻边作平行四边形，
所以，故C错误；
对于D，记的中点为，
由向量运算可得，，
所以，，
由已知，
所以，
所以，即，
所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据向量的定义判断选项A；根据向量的运算和向量求模公式，则判断出选项B、选项C和选项D，进而找出结论正确的选项.
5．（2024高一下·贵阳月考）如图圆中若，则的值等于（ ）
A． B．3 C． D．-3
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图分别作交于，于，
根据垂径定理可得分别为的中点，
所以
.
故答案为：C.
【分析】根据数量积的几何意义，分别作交于，于，从而可得分别为的中点，再由，则根据数量积的定义得出的值.
6．（2024高一下·贵阳月考）锐角中，，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理得：，
，
所以，
，
因为三角形为锐角三角形，
所以，，从而得，
所以，所以．
故答案为：C.
【分析】由已知条件求得角的取值范围，再由正弦定理把表示为角的三角函数，则由三角函数恒等变换结合正弦函数性质，从而得出的取值范围．
7．（2024高一下·贵阳月考）如图，在平行四边形ABCD中，，延长DE交AB于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由已知，
所以，所以，
又因为，，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据三角形相似推出，再根据平面向量的线性运算，从而可得.
8．（2024高一下·贵阳月考）故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约，横约，挂在墙上最低点离地面，小兰身高(头顶距眼睛的距离为.为使观测视角最大，小兰离墙距离应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，
设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，
则依题意可得（cm），（cm），，
设，则，
且，，
故
所以，当且仅当即时等号成立，
故使观赏视角最大，小兰离墙距离应为cm.
故答案为：C.
【分析】由题意只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，从而求出，的长，设，则，从而求出，的值，再代入结合基本不等式求最值的方法，从而得出为使观测视角最大时小兰离墙距离的值.
9．（2024高一下·贵阳月考）下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．若为平面上一组基底，则也是一组基底
C．若对于两个非零向量，满足，则与共线
D．若，则存在唯一实数使得
【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，所以，
所以，即，故A错误，
对于B，设共线，则，
所以，满足条件的不存在，所以不共线，
所以是一组基底，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
设向量的夹角为，所以，
又因为向量为非零向量，所以，
又因为，所以，所以与共线，故C正确；
对于D，若，且为非零向量，
则不存在实数使得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量垂直的坐标表示，则判断选项A；利用反证法结合基底的判断方法，则判断选项B；根据向量的模的性质结合共线向量的定义，则判断选项C；举反例判断选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高一下·贵阳月考）下列说法正确的是（ ）
A．，有
B．”是“为纯虚数”的充要条件
C．若，则对应的点在复平面内的第四象限
D．，则的范围是
【答案】B,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数在复平面中的表示；复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：对于A，设，，
当时不成立，故A错误；
对于B，，若，可得且，为纯虚数，
若为纯虚数，则，所以成立，故B正确；
对于C，因为，所以，对应点在第二象限，故C错误；
对于D，由，故对应点在以原点为圆心，半径为的圆上，
而表示到该圆上的点的距离，到圆心的距离为，又因为半径为2，
根据圆外一点到圆上一点的距离的大小，可得的范围是，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据复数的概念、复数的几何意义、复数求模公式和性质、充要条件判断方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
11．（2024高一下·贵阳月考）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．面积为
【答案】A,B,C
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，又因为，
所以，
所以，故B正确；
因为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，所以，故A正确，
由，，可得，，
由正弦定理可得，
又因为，，
所以，故C正确，
因为，
所以，
所以的面积，故D错误，
故答案为：ABC.
【分析】根据余弦定理化简已知条件可求出角的值，则判断选项B；利用正弦定理将已知条件转化为角的关系可求出角的值，则判断出选项A；再利用正弦定理和三角形面积公式，从而求出的值和的面积，则判断选项C和选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高一下·贵阳月考）复数是实数，则 .
【答案】
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据题意得出且，
所以且，
即，
所以或（舍）.
故答案为：.
【分析】由题意可得且，再进行计算可得实数a的值.
13．（2024高一下·贵阳月考）函数的部分图像如图所示，则 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为函数的最大值为，最小值为，
由图象可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
令，可得，，
所以，结合图象可得点的坐标为，
所以，，
所以.
故答案为：.
【分析】由函数解析式结合函数的图象求出点的坐标，再结合数量积的坐标运算，从而得出的值.
14．（2024高一下·贵阳月考）中，角的对边分别是a、b、c，若，则的形状是 .
【答案】等腰三角形或直角三角形
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，为的外接圆半径，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，又因为，
所以或
所以或，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
【分析】利用正弦定理，将已知条件转化为角的关系，再结合两角和的正弦公式和诱导公式，从而化简判断出三角形的形状.
15．（2024高一下·贵阳月考）（1）计算；
（2）已知关于的方程有实数解，求纯虚数.
【答案】解：（1）
.
（2）由，
设（），可得，
则，可得或（舍），
所以，纯虚数.
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】（1）根据的周期性和复数的运算法则，从而化简得出所求复数.
（2）首先设（），代入方程可得，再利用复数相等的判断方法，从而得出纯虚数.
16．（2024高一下·贵阳月考）锐角，角的对边分别是.已知.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，为的外接圆半径，
所以，
所以，可化为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
所以，即，
所以.
（2）解：因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，再结合锐角三角形中角的取值范围，从而得出角的值.
（2）利用已知条件求出角的取值范围，结合内角和定理，将转化为关于角的解析式，再结合正弦函数的性质得出的取值范围.
（1）由正弦定理可得，为的外接圆半径，
所以，
所以，可化为，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
所以，即，
所以；
（2）因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为.
17．（2024高一下·贵阳月考）如图所示，点是重心..
（1）用表示(系数中的字母只含x，y)；
（2）求最小值.
【答案】（1）解：连接并延长，交于点，则为中点，
所以，由重心性质可得，
所以，
因为，，
所以.
（2）解：因为三点共线，
由（1）可得，
因为在线段上，所以，所以
当且仅当时，则当时，
即当时取得等号，
所以的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）连接并延长，交于点，根据三角形重心的性质和向量中点公式，从而可得，由此用表示.
（2）由向量三点共线的结论可得，再结合基本不等式求最值的方法得出的最小值.
（1）连接并延长，交于点，则为中点，
所以，由重心性质可得，
所以，
因为，，
所以，
（2）又因为三点共线，
由（1）可得，
因为在线段上，所以，
所以，
当且仅当即即时取得等号.
所以的最小值为.
18．（2024高一下·贵阳月考）内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知：.
（1）求；
（2）若边上的中线BD长为，求面积；
（3），求内切圆半径的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得，即，
整理可得，所以，
所以，由，可得.
（2）解：如图，由，中线BD长为，
所以，
可得，即，
所以或（舍），所以，
所以
（3）解：由，代入正弦定理可得：，
所以，
面积，
周长，
所以内切圆半径
，
由，所以，
所以，
即内切圆半径的取值范围.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先化简可得，从而可得，解方程结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）如图，先解，再由可得，从而求出的长，即可求出的长，再根据三角形的面积公式得出面积.
（3）根据正弦定理可得，即，利用三角形的面积和三角形的周长，从而得出内切圆半径，再利用三角型函数求最值的方法，即可得出三角形内切圆半径的取值范围.
（1）由题意可得，即，
整理可得，所以，
所以，由可得；
（2）如图，由，中线BD长为，
所以，
可得，即，
所以或（舍），所以，
所以；
（3）由，带入正弦定理可得：，
所以，
面积，
周长，
所以内切圆半径
，
由，所以，
所以，
即内切圆半径的取值范围.
19．（2024高一下·贵阳月考）内角的对边分别是，已知：.
（1）求角；
（2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为圆上一个动点，试求的取值范围.
【答案】（1）解：依题意，由正弦定理知，，
为的外接圆半径，
所以，
所以
可化为，
所以，
由余弦定理，
所以，
所以，
因为，所以.
（2）解：由为锐角三角形，，
所以，可得，
由正弦定理，则，
则，
则的周长为，
由，则，
因为，整理得：，
解得或（舍去），
所以，所以，
则的周长范围是.
（3）解：由正弦定理，则，
又因为，所以，
由，可得，则，
则为直角三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，则，
所以，
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为边的关系，再结合余弦定理求出角的值.
（2）利用正弦定理将三角形周长转化为关于角的三角函数，再利用三角型函数的值域，即可求出周长的取值范围.
（3）利用已知条件结合正弦定理以及勾股定理，从而易得为直角三角形，取中点，可得，由点为上的一动点，则可得，从而得出的取值范围.
（1）依题意，
由正弦定理知，，为的外接圆半径，
所以，
所以可化为，
所以，
由余弦定理，
所以，
所以，
因为，所以；
（2）由为锐角三角形，，
所以
可得，
由正弦定理，则，
则，
则的周长为，
由，则，
因为，整理得：，
解得或（舍去），
所以，所以，
则的周长范围是；
（3）由正弦定理，则，
又，所以，
由，可得，则，
则为直角三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，则，
所以，
所以的取值范围为.
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