四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷
1．（2024高二上·自贡期末）直线 经过点 和 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线的斜率为 ，且倾斜角为 ，则 ，
根据 ，而 ，故 ，
故答案为：D.
【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角.
2．（2024高二上·自贡期末）已知空间向量，且，则x=（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为空间向量，且，
所以，解得：.
故选：C.
【分析】本题主要考查了向量方程的应用，结合，列出方程，即可求得x的值，得到答案.
3．（2024高二上·自贡期末）在数列中，.则（ ）
A．36 B．15 C．55 D．66
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，代入计算即可.
4．（2024高二上·自贡期末）四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，且
所以
所以，即线段的长度是.
故答案为：D.
【分析】根据向量运算法则表示，平方化简计算得解.
5．（2024高二上·自贡期末）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
6．（2024高二上·自贡期末）已知抛物线（p＞0）上一点到其焦点的距离为p，O为坐标原点，则|OA|＝（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得，则抛物线，即或，
故.
故答案为：B.
【分析】直接利用抛物线的定义求解即可.
7．（2024高二上·自贡期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，，则有，两式作差得：，
即，
弦中点坐标为，则，
又∵，∴，∴，
又∵，∴可解得，，
故椭圆的面积为.
故答案为：C
【分析】设，，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为，求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程，可求椭圆的面积．
8．（2024高二上·自贡期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，然后由线面角和向量夹角之间的关系，结合数量积的夹角公式代入数值计算出结果，然后由余弦函数的性质即可求出的取值范围即可。
9．（2024高二上·自贡期末）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：若公比有，，，此时，故公比，
因为，，成等差数列， 所以，
即，两边同时乘以，由等比数列的通项公式可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
故答案为：AB.
【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，然后利用等差中项的性质和等比数列的通项公式即可求解.
10．（2024高二上·自贡期末）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对A：因为，所以，，
所以双曲线表示焦点在轴上的双曲线，A符合题意；
对B：由A知，所以，所以，
所以双曲线的焦距等于，B不符合题意；
对C：设焦点在轴上的双曲线的方程为，焦点坐标为，则渐近线方程为，即，
所以焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，C符合题意；
对D：双曲线的离心率，
因为，所以，所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 通过k的范围，判断双曲线的焦点位置，焦距的长，焦点到其渐近线的距离，离心率的范围，逐项进行判断可得答案.
11．（2024高二上·自贡期末）已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．与一定不垂直
B．的面积是
C．点P到平面的距离是定值
D．二面角的正弦值是
【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：对于A，当点与点重合时，由正方体的性质易得面，而面，所以，故A错误；
对于B，点到的距离，所以.故B正确；
对于C，由于平面就是平面，
所以点到平面的距离为，所以，
又因为点到的距离为，所以.
设点到平面的距离为，则，所以，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，，设，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，则，设二面角的平面角为，
则，所以，故D正确；
故选：BCD．
.
【分析】利用特殊位置法，当点与点重合时，可判断A不正确；利用正方体性质找点到直线的距离，计算三角形面积，可判定B正确；利用线面垂直的性质定理可得是的高，再利用三角形的面积公式求解，可判定C正确；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值的绝对值，可判定D正确，即可得到答案.
12．（2024高二上·自贡期末）已知空间向量，且与垂直，则等于 ．
【答案】8
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为空间向量，且与垂直，
所以，解得.
故答案为：8.
【分析】根据空间垂直的坐标表示列式求解即可.
13．（2024高二上·自贡期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，轴，，则椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，将代入椭圆方程可得：，解得，
不妨取，在中，，
则，即，整理得，解得．
故答案为：．
【分析】由题意，求得点坐标，在中，由，可得，结合椭圆的性质求解即可．
14．（2024高二上·自贡期末）已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论：
①；
② 数列一定是递增数列；
③ 数列的通项公式可以是；
④ 数列的通项公式可以是.
所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】数列满足不等式（其中），
则有（其中），
① 由 ，可得.判断正确；
② 当 时，满足，数列为常数列。
则数列不一定是递增数列.判断错误；
③ 当 时，由，可得，
即不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
④ 当 时，
则不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
故答案为：①③④
【分析】利用已知条件结合变形的方法得出，再利用已知条件结合常数列的定义和数列的单调性，得出数列不一定是递增数列，再结合已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式可以是，再利用作差法结合已知条件得出数列的通项公式可以是，进而找出正确结论的序号。
15．（2024高二上·自贡期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为.
（1）当时，求的长；
（2）当弦被点P平分时，求直线l的方程.
【答案】（1）解：由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
圆心为，圆半径为，
到直线距离为，
所以.
（2）解：弦AB被点P平分，则，又，所以，
直线方程为，即.
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）根据题意，利用直线的点斜式方程，求得直线方程为，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解；
（2）由弦AB被点P平分，得到，求得直线l斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
（1）由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
圆心为，圆半径为，
到直线距离为，
所以；
（2）弦AB被点P平分，则，又，所以，
直线方程为，即；
16．（2024高二上·自贡期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.
【答案】解：∵a3=12，∴a1=12-2d，∵S12>0，S13<0，∴，所以，
所以.
（2）∵S12>0，S13<0，所以，所以，
所以，所以，
又，所以数列前6项为正数，从第7项起为负数.
∴数列前6项和最大.
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列前项和公式，根据S12>0，S13<0，列出不等式组，即可求得公差d的取值范围；
（2）利用等差数列前项和公式，由S12>0，S13<0，列出不等式组，得到，推出，进而求得结果.
17．（2024高二上·自贡期末）已知点在抛物线上，为焦点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值.
【答案】（1）解：抛物线 ，焦点，由，得.
∴抛物线得方程为.
（2）解：依题意，可设过点的直线的方程为，由得，
设，则，
∴，∴.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，列出方程，求解，进而得到抛物线方程；
（2）设，设直线，联立方程组，求得 ，再利用点在抛物线上得到的值，结合项链的数量积的运算公式，即可求得的值.
（1）抛物线 ，焦点，由得.
∴抛物线得方程为.
（2）依题意，可设过点的直线的方程为，
由得，
设，则，
∴，∴.
18．（2024高二上·自贡期末）如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．
（1）求证：；
（2）求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：因为在中，，分别为，的中点，
所以，，
所以，又为的中点，
所以.
因为平面平面，且平面，
所以平面，
平面，
所以.
（2）解：取的中点，连接，所以，
由（1）得，.
如图建立空间直角坐标系.
由题意得：，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）解：假设线段上存在点适合题意，
设，其中.
设，则有，
所以，从而，
所以，又，
所以，
令，
整理得，
解得，舍去.
所以线段上存在点适合题意，且.
【知识点】直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由，分别为，的中点，得到，，由为的中点，得到，再由平面平面，证得平面，进而证得.
（2）取的中点，连接，得到，结合，，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）假设线段上存在点适合题意，设，设，得到，求得，根据 直线和所成角的余弦值为 ，列出方程，求得的值，即可得到答案.
（1）因为在中，，分别为，的中点，
所以，，
所以，又为的中点，
所以.
因为平面平面，且平面，
所以平面，
平面，
所以.
（2）取的中点，连接，所以，
由（1）得，.
如图建立空间直角坐标系.
由题意得：，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）假设线段上存在点适合题意，
设，其中.
设，则有，
所以，从而，
所以，又，
所以，
令，
整理得，
解得，舍去.
所以线段上存在点适合题意，且.
19．（2024高二上·自贡期末）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为.
由题意设等轴双曲线的标准方程为(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.
因此，即k1·k2＝1.
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k12＋1)x2－8k12x＋8k12－8＝0，
显然2k12＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得，.
所以
.
同理可得.
则，
又k1·k2＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分享】(1)设椭圆的半焦距为c，由，求得a＝，c＝2，进而求得椭圆的标准方程，设等轴双曲线的标准方程为，根据等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，求得m＝2，进而求得双曲线的标准方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由点P在双曲线x2－y2＝4上，得到x－y＝4，结合斜率公式，化简得到k1·k2＝1；
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，联立方程组，得到，，利用弦长公式，求得|AB|和|CD|，化简，结合k1·k2＝1，以及|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|，求得λ的值，即可求解.
1 / 1四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷
1．（2024高二上·自贡期末）直线 经过点 和 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·自贡期末）已知空间向量，且，则x=（ ）
A． B．3 C． D．6
3．（2024高二上·自贡期末）在数列中，.则（ ）
A．36 B．15 C．55 D．66
4．（2024高二上·自贡期末）四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）
A． B． C．3 D．
5．（2024高二上·自贡期末）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2024高二上·自贡期末）已知抛物线（p＞0）上一点到其焦点的距离为p，O为坐标原点，则|OA|＝（ ）
A．2 B． C．4 D．5
7．（2024高二上·自贡期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·自贡期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·自贡期末）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二上·自贡期末）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点在轴上
B．双曲线的焦距等于
C．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线的离心率的取值范围为
11．（2024高二上·自贡期末）已知正方体的棱长为是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）
A．与一定不垂直
B．的面积是
C．点P到平面的距离是定值
D．二面角的正弦值是
12．（2024高二上·自贡期末）已知空间向量，且与垂直，则等于 ．
13．（2024高二上·自贡期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，是上的点，轴，，则椭圆的离心率等于 ．
14．（2024高二上·自贡期末）已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论：
①；
② 数列一定是递增数列；
③ 数列的通项公式可以是；
④ 数列的通项公式可以是.
所有正确结论的序号是 .
15．（2024高二上·自贡期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为.
（1）当时，求的长；
（2）当弦被点P平分时，求直线l的方程.
16．（2024高二上·自贡期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.
17．（2024高二上·自贡期末）已知点在抛物线上，为焦点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，求的值.
18．（2024高二上·自贡期末）如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2．
（1）求证：；
（2）求直线A1E和平面A1OC所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．（2024高二上·自贡期末）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线的斜率为 ，且倾斜角为 ，则 ，
根据 ，而 ，故 ，
故答案为：D.
【分析】算出直线的斜率后可得其倾斜角.
2．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为空间向量，且，
所以，解得：.
故选：C.
【分析】本题主要考查了向量方程的应用，结合，列出方程，即可求得x的值，得到答案.
3．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，代入计算即可.
4．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为，且
所以
所以，即线段的长度是.
故答案为：D.
【分析】根据向量运算法则表示，平方化简计算得解.
5．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得，则抛物线，即或，
故.
故答案为：B.
【分析】直接利用抛物线的定义求解即可.
7．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设，，则有，两式作差得：，
即，
弦中点坐标为，则，
又∵，∴，∴，
又∵，∴可解得，，
故椭圆的面积为.
故答案为：C
【分析】设，，代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为，求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程，可求椭圆的面积．
8．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以
故答案为：D
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此求出点以及向量的坐标，结合数量积的坐标公式求出平面的法向量，然后由线面角和向量夹角之间的关系，结合数量积的夹角公式代入数值计算出结果，然后由余弦函数的性质即可求出的取值范围即可。
9．【答案】A,B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：若公比有，，，此时，故公比，
因为，，成等差数列， 所以，
即，两边同时乘以，由等比数列的通项公式可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
故答案为：AB.
【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，然后利用等差中项的性质和等比数列的通项公式即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：对A：因为，所以，，
所以双曲线表示焦点在轴上的双曲线，A符合题意；
对B：由A知，所以，所以，
所以双曲线的焦距等于，B不符合题意；
对C：设焦点在轴上的双曲线的方程为，焦点坐标为，则渐近线方程为，即，
所以焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，C符合题意；
对D：双曲线的离心率，
因为，所以，所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 通过k的范围，判断双曲线的焦点位置，焦距的长，焦点到其渐近线的距离，离心率的范围，逐项进行判断可得答案.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：对于A，当点与点重合时，由正方体的性质易得面，而面，所以，故A错误；
对于B，点到的距离，所以.故B正确；
对于C，由于平面就是平面，
所以点到平面的距离为，所以，
又因为点到的距离为，所以.
设点到平面的距离为，则，所以，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示，，设，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，则，设二面角的平面角为，
则，所以，故D正确；
故选：BCD．
.
【分析】利用特殊位置法，当点与点重合时，可判断A不正确；利用正方体性质找点到直线的距离，计算三角形面积，可判定B正确；利用线面垂直的性质定理可得是的高，再利用三角形的面积公式求解，可判定C正确；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值的绝对值，可判定D正确，即可得到答案.
12．【答案】8
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为空间向量，且与垂直，
所以，解得.
故答案为：8.
【分析】根据空间垂直的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，将代入椭圆方程可得：，解得，
不妨取，在中，，
则，即，整理得，解得．
故答案为：．
【分析】由题意，求得点坐标，在中，由，可得，结合椭圆的性质求解即可．
14．【答案】①③④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性
【解析】【解答】数列满足不等式（其中），
则有（其中），
① 由 ，可得.判断正确；
② 当 时，满足，数列为常数列。
则数列不一定是递增数列.判断错误；
③ 当 时，由，可得，
即不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
④ 当 时，
则不等式成立，则数列的通项公式可以是，判断正确；
故答案为：①③④
【分析】利用已知条件结合变形的方法得出，再利用已知条件结合常数列的定义和数列的单调性，得出数列不一定是递增数列，再结合已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式可以是，再利用作差法结合已知条件得出数列的通项公式可以是，进而找出正确结论的序号。
15．【答案】（1）解：由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
圆心为，圆半径为，
到直线距离为，
所以.
（2）解：弦AB被点P平分，则，又，所以，
直线方程为，即.
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【分析】（1）根据题意，利用直线的点斜式方程，求得直线方程为，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解；
（2）由弦AB被点P平分，得到，求得直线l斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
（1）由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
圆心为，圆半径为，
到直线距离为，
所以；
（2）弦AB被点P平分，则，又，所以，
直线方程为，即；
16．【答案】解：∵a3=12，∴a1=12-2d，∵S12>0，S13<0，∴，所以，
所以.
（2）∵S12>0，S13<0，所以，所以，
所以，所以，
又，所以数列前6项为正数，从第7项起为负数.
∴数列前6项和最大.
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列前项和公式，根据S12>0，S13<0，列出不等式组，即可求得公差d的取值范围；
（2）利用等差数列前项和公式，由S12>0，S13<0，列出不等式组，得到，推出，进而求得结果.
17．【答案】（1）解：抛物线 ，焦点，由，得.
∴抛物线得方程为.
（2）解：依题意，可设过点的直线的方程为，由得，
设，则，
∴，∴.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，列出方程，求解，进而得到抛物线方程；
（2）设，设直线，联立方程组，求得 ，再利用点在抛物线上得到的值，结合项链的数量积的运算公式，即可求得的值.
（1）抛物线 ，焦点，由得.
∴抛物线得方程为.
（2）依题意，可设过点的直线的方程为，
由得，
设，则，
∴，∴.
18．【答案】（1）证明：因为在中，，分别为，的中点，
所以，，
所以，又为的中点，
所以.
因为平面平面，且平面，
所以平面，
平面，
所以.
（2）解：取的中点，连接，所以，
由（1）得，.
如图建立空间直角坐标系.
由题意得：，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）解：假设线段上存在点适合题意，
设，其中.
设，则有，
所以，从而，
所以，又，
所以，
令，
整理得，
解得，舍去.
所以线段上存在点适合题意，且.
【知识点】直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由，分别为，的中点，得到，，由为的中点，得到，再由平面平面，证得平面，进而证得.
（2）取的中点，连接，得到，结合，，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）假设线段上存在点适合题意，设，设，得到，求得，根据 直线和所成角的余弦值为 ，列出方程，求得的值，即可得到答案.
（1）因为在中，，分别为，的中点，
所以，，
所以，又为的中点，
所以.
因为平面平面，且平面，
所以平面，
平面，
所以.
（2）取的中点，连接，所以，
由（1）得，.
如图建立空间直角坐标系.
由题意得：，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）假设线段上存在点适合题意，
设，其中.
设，则有，
所以，从而，
所以，又，
所以，
令，
整理得，
解得，舍去.
所以线段上存在点适合题意，且.
19．【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为.
由题意设等轴双曲线的标准方程为(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.
因此，即k1·k2＝1.
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k12＋1)x2－8k12x＋8k12－8＝0，
显然2k12＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得，.
所以
.
同理可得.
则，
又k1·k2＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分享】(1)设椭圆的半焦距为c，由，求得a＝，c＝2，进而求得椭圆的标准方程，设等轴双曲线的标准方程为，根据等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，求得m＝2，进而求得双曲线的标准方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由点P在双曲线x2－y2＝4上，得到x－y＝4，结合斜率公式，化简得到k1·k2＝1；
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，联立方程组，得到，，利用弦长公式，求得|AB|和|CD|，化简，结合k1·k2＝1，以及|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|，求得λ的值，即可求解.
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