专题3 整式乘法与因式分解
题型归类 举一反三
题型一 幂的运算性质
例1 [2024南充]下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
1．[2024齐齐哈尔]下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．填空：
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．已知，，，为整数，求：
（1） 的值；
（2） 的值.
题型二 整式的运算
例2 计算：
（1） ；
（2） .
变式跟进
4．若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．计算：
（1） ；
（2） .
6．已知的展开式中不含项和项，求，的值.
题型三 乘法公式
例3 利用乘法公式计算:
（1） ；
（2） .
例4 已知，，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） .
变式跟进
7．已知,则的值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．运用乘法公式计算：
（1） ；
（2） .
题型四 整式的化简求值
例5 先化简，再求值：，其中.
变式跟进
9．[2023北京模拟]先化简，再求值：
（1） ，其中；
（2） ，其中.
题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数
例6 在人体血液中，红细胞的直径约为，将数据用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
变式跟进
10．[2023北京模拟]一棵小草一天能释放的氧气是微乎其微的，每平方米的绿草每天可以放出大约的氧气，同时吸收二氧化碳和灰尘，减少空气中的细菌含量，净化空气.将数据0.015用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
11．某种病菌的形状为球形，直径约为，将数据用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
题型六 因式分解的概念
例7 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式跟进
12．下列式子从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
题型七 因式分解
例8 把下列各式分解因式:
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ;
（5） .
变式跟进
13．将多项式分解因式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．因式分解：
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（5） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（6） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
16．把下列各式分解因式：
（1） ；
（2） .
题型八 因式分解的应用
例9 若，，则的值为（ ）
A．42 B． C．13 D．
变式跟进
17．已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
18．若，，则代数式的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
19．阅读下列材料:
学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解；
②求多项式的最小值.
如图是某同学正确的解题过程：
. ②由①，知. 因为， 所以. 所以当时，的值最小，最小值为.
请你运用上述方法，解决下列问题：
（1） 将多项式因式分解；
（2） 求多项式的最大值.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2024广安]下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2023锦州模拟]石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为.将用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023安庆模拟]下列分解因式正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，其邻边长为，则该长方形的面积为 （ ）
A． B．
C． D．
5．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A． B．4 C．0 D．1
6．因式分解:
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2023绍兴模拟]计算：
（1） ；
（2） .
8．先将分解因式，再求值，其中，，.
B组·能力提升 强化突破
9．计算：
（1） ；
（2） .
10．先化简，再求值：
（1） ，其中，；
（2） ，其中.
11．观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解过程如下：
甲：
（分成两组）
（提公因式）
.
乙：
（分成两组）
（运用平方差公式）
.
请你在他们的解法的启示下，完成下面的因式分解：
（1） ；
（2） .专题3 整式乘法与因式分解
题型归类 举一反三
题型一 幂的运算性质
【点悟】 幂的运算的注意点：（1）幂的乘方，指数相乘；同底数幂的乘法，指数相加.（2）运用积的乘方的性质时，不要漏算某些因数的乘方.
例1 D
变式跟进
1．D
2．（1）
（2）
（3）
3．（1） 解:原式.
（2） 原式.
题型二 整式的运算
【点悟】（1）多项式与多项式相乘，结果仍是多项式，合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积；（2）相乘时，每一项都包含着符号，在计算时应准确确定积的符号；（3）多项式与多项式相乘的结果中若有同类项，必须合并同类项.
例2 （1） 解:原式.
（2） 原式.
变式跟进
4．A
5．（1） 解:原式
.
（2） 原式
.
6．解:原式
，
由结果不含项和项，得
，,
解得，.
题型三 乘法公式
例3 （1） 解:原式
.
（2） 原式
.
【点悟】（1）平方差公式：；完全平方公式：.
（2）完全平方公式的常用变形：
；
；
；
；
；
；
；
例4 （1） 解:原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
变式跟进
7．
8．（1） 解:.
（2） .
题型四 整式的化简求值
例5 解:原式.
当时，原式.
变式跟进
9．（1） 解：原式
.
当时，原式.
（2） 原式
.
因为，
所以，，
解得，，
所以原式.
题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数
【点悟】 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法表示不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
例6
变式跟进
10．C
11．
题型六 因式分解的概念
【点悟】（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式；
（2）因式分解与整式乘法互为逆运算.
例7 C
变式跟进
12．D
题型七 因式分解
【点悟】 因式分解常用的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法等.一般来说，如果可以提公因式的要先提公因式，再考虑运用公式法分解、再考虑用十字相乘法分解.
例8 （1） 解:.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
.
变式跟进
13．D 14．D
15．（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
16．（1） 解:原式
.
（2） 原式
.
题型八 因式分解的应用
例9 B
变式跟进
17．C
18．
19．（1） 解:
.
（2） 由题意，得.
因为，所以.
所以.
所以当时，的值最大，最大值为.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．B 2．B 3．C 4．B 5．A
6．（1）
（2）
（3）
（4）
7．（1） 解：原式.
（2） 原式.
8．解:
.
当，，时，
原式.
B组·能力提升 强化突破
9．（1） 解:原式
.
（2） 原式
.
10．（1） 解:原式.
当，时，原式.
（2） 原式
.
当时，原式.
11．（1） 解：原式
.
（2） 原式
.
