专题4 分式
题型归类 举一反三
题型一 分式的概念及其基本性质
【点悟】（1）分式与整式的区别就是分式的分母中含有字母；（2）分式有意义的条件是分母不为零；（3）分式值为零的条件是分子为零，分母不为零；（4）应用分式的基本性质时，要注意分式的分子、分母同时乘以或除以的式子不能为零.
例1
变式跟进
1．B 2．B 3．C
题型二 分式的运算
例2 解:
.
【点悟】（1）分式与分式相乘时，若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则运算后再约分；若分子、分母中有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算.若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”.
（2）除法运算是利用除法法则把除法运算转化为乘法运算.
（3）同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先化为同分母分式，再相加减.
（4）混合运算的顺序与整式相同.
变式跟进
4．（1）
（2）
5．解:原式
.
题型三 分式的化简求值
例3 解:
.
当时，原式.
变式跟进
6．解:
.
当时，原式.
7．解:原式
.
因为且且且，所以可以取1，
当时，原式.
题型四 分式方程及其解法
例4 解:方程两边都乘以，得
.
去括号，得.
移项、合并同类项，得.
解得.
检验：当时，，
所以，原方程的根为.
【点悟】（1）分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数（不是已知数的字母）.
（2）解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1，检验.检验就是把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原方程的解（称为增根）.
变式跟进
8．B
9．（1） 解:方程两边都乘以，得.
解得.
检验：当时，,
所以，原方程的根是.
（2） 方程两边都乘以，得,
解得.
检验:当时，,
所以，原方程无解.
（3） 方程两边都乘以，得
，解得.
检验：当时，，
所以，原方程的根为.
题型五 分式方程的增根问题
【点悟】 分式方程的增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
例5 C
变式跟进
10．D
题型六 分式方程的应用
例6 解:设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为.
由题意,得，解得.
经检验，是原方程的根，且符合题意.所以.
答：乙同学骑自行车的速度为.
【点悟】 实际问题中列分式方程常用的等量关系：
（1）行程问题：速度×时间 路程；
（2）利润 售价-进价；
（3）利润率；
（4）工程问题：工作总量 工作时间×工作效率；总工作量 各个分工作量之和.
变式跟进
11．A
12．（1） 甲队每天修路的长度； 甲队修路所需的时间或乙队修路所需的时间
（2） 解:冰冰用的等量关系是：甲队修路所用的时间等于乙队修路所用的时间；
庆庆用的等量关系是：乙队每天修路的长度减去甲队每天修路的长度等于.
（3） 选冰冰的方程：.
去分母，得.
移项、合并同类项、系数化成1，得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
答：甲队每天修路的长度为.
选庆庆的方程：.
去分母，得.
合并同类项、系数化成1，得.
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，所以.
答：甲队每天修路的长度为.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．A 2．B 3．A 4．A 5．A
6．
7．
8．（1）
（2）
9．（1） 解:去分母,得.
去括号,得.
移项，得.
合并同类项，得.
检验：当时，，
所以，原方程的根为.
（2） 去分母,得.
去括号,得.
移项，得,
合并同类项，得,
系数化成1，得.
检验：当时，,
所以，原方程无解.
B组·能力提升 强化突破
10．D
11．
12．解:原式
.
因为所以
所以当时，可取的整数为1或3.
当时，原式；
或当时，原式.
13．（1） 解：设原计划每天铺设管道，则实际施工每天铺设管道，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，所以.
答：原计划与实际每天铺设管道各为、.
（2） 设该公司原计划应安排名工人施工，（天），
由题意，得，解得，
所以不等式的最大整数解为8.
答：该公司原计划最多应安排8名工人施工.专题4 分式
题型归类 举一反三
题型一 分式的概念及其基本性质
例1 [2024青海]若式子有意义，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
变式跟进
1．有下列各式：，，，，其中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 分式的运算
例2 化简：.
变式跟进
4．化简：
（1） _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．[2024宜宾]化简：.
题型三 分式的化简求值
例3 [2024大庆]先化简，再求值：，其中.
变式跟进
6．[2023遂宁]先化简，再求值：，其中.
7．[2024达州]先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值.
题型四 分式方程及其解法
例4 解方程：.
变式跟进
8．[2023恩施]分式方程的解是 （ ）
A． B． C． D．
9．解方程：
（1） ；
（2） ；
（3） .
题型五 分式方程的增根问题
例5 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．0或3
变式跟进
10．若关于的方程无解，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
题型六 分式方程的应用
例6 [2023扬州]甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车的速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达.求乙同学骑自行车的速度.
变式跟进
11．某商厦进货员预测一种应季衬衫畅销市场，就用10 000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22 000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价.若设第一批衬衫的购进单价为元，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.
甲、乙两个工程队,甲队修路400m与乙队修路600m所用时间相等,乙队每天比甲队多修20m,求甲队每天修路的长度. 冰冰: 庆庆:
根据以上信息，解答下列问题.
（1） 冰冰同学所列方程中的表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，庆庆同学所列方程中的表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；
（3） 解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2023凉山州]分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
2．下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023河北]化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024济宁]解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023四川]近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比路线平均速度提高，时间节省，走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为，由题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．[2024通辽]分式方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．某水果店搞促销活动，对某种水果打八折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买.设该种水果打折前的单价为元.由题意,可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．化简：
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ .
9．解分式方程：
（1） ;
（2） .
B组·能力提升 强化突破
10．[2023齐齐哈尔]如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
11．若，则代数式的值为_ _ _ _ _ _ .
12．化简：，并从中选取合适的整数代入求值.
13．[2024雅安]某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务.
（1） 求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
（2） 负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
