专题5 相交线、平行线与平移
题型归类 举一反三
题型一 对顶角的概念及其计算
例1 （1） 解：因为 ， ，
所以 .
（2） 因为 ，
所以 .
因为为的平分线，
所以 ，
所以 .
变式跟进
1．B 2．D
题型二 平行线的判定
例2 解：因为平分，
所以.
因为，，
所以.
所以.
所以.
【点悟】 我们已学过的判定两直线平行的方法有五种：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行.
变式跟进
3．C
4．解：.理由如下：
因为 ，
所以.
所以.
因为，
所以.
所以.
5．（1） 解：因为每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，
所以， .
因为 ，
所以 .
（2） 与一定平行.理由如下.
因为，，
所以.
同理可得.
因为 ，
所以 ，
所以.
题型三 平行线的性质
例3 解：因为 ，
所以 .
因为平分，
所以 .
因为，
所以 .
变式跟进
6．A 7．B
8．解：因为，
所以 .
所以 .
因为平分，
所以 .
因为，
所以 .
题型四 平移
例4 （1） 解：因为在直角三角形中， ， ，
所以 .
由平移的性质，得 .
（2） 由平移的性质，得.
因为，，
所以.
所以.
变式跟进
9．D
10．（1） 解：因为，分别平移到和的位置，
所以，,
所以，.
因为与互余，
所以 .
所以 .
因为 ，
所以 .
（2） 因为，分别平移到和的位置，
所以，.
因为，
所以.
因为，
所以.
题型五 平行线的探究型问题
【点悟】 由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的.作平行线实现等角转换是常用方法.
例5 （1）
（2） ； 解：如答图①，过点作.
因为，
所以,
所以 ， ,
所以 .
例5答图①
（3）
（4） 如答图②，过点作，则.
易得，.
因为和的平分线相交于点，
所以.
又因为 ， ，
所以 .
所以 .
例5答图②
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D
B组·能力提升 强化突破
8．（1） 解：因为 ， ，
所以，
所以，
所以.
（2） 因为，
所以 .
又因为 ，
所以 .
因为平分，
所以.
因为 ，
所以 .
9．（1） 解：因为，
所以 .
所以 .
（2） 当 时，.
理由：如答图，连接.
第9题答图
因为，
所以 .
而 ，
所以.
所以.
10．（1）
（2）
（3） 解：因为，分别平分，，
所以，.
因为 ，
所以 .
所以.
因为平分，
所以.
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .专题5 相交线、平行线与平移
题型归类 举一反三
题型一 对顶角的概念及其计算
例1 如图，直线与相交于点， ， ，为的平分线.
求:
（1） 的度数；
（2） 的度数.
变式跟进
1．[2024汕头模拟]下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线，相交于点，平分， .若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型二 平行线的判定
例2 如图，，平分，与相交于点，.试说明：.
变式跟进
3．如图，是延长线上一点，在下列条件中：；；；； .能判定的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知 ，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由.
5．如图，在台球运动中（每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等），如果母球击中桌边点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点，然后又反弹击中球.
（1） 若 ，求的度数.
（2） 母球经过的路线与一定平行吗？请说明理由.
题型三 平行线的性质
例3 如图，，是上一点， ，平分，交于点，求的度数.
变式跟进
6．如图，已知在音符中，.若 ，则的度数是（ ）
变式跟进6题图
A． B． C． D．
7．[2024南宁模拟]将一副三角板按照如图所示的方式摆放，点在上.若，则的度数是（ ）
变式跟进7题图
A． B． C． D．
8．如图，， ，是的平分线，，求的度数.
题型四 平移
例4 如图，在直角三角形中， ， ，将三角形沿的方向向右平移得到三角形.
（1） 求的度数；
（2） 若，，求的长度.
变式跟进
9．[2024六安模拟]如图，在三角形中， ，，，把三角形沿着直线向右平移后得到三角形，连接，，有下列结论：；；； .其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．[2024钦州模拟]如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置.
（1） 求的度数；
（2） 若，
，求的长.
题型五 平行线的探究型问题
例5
（1） 如图①，，则_ _ _ _ _ _ _ _ ；
①
（2） 如图②，，则_ _ _ _ _ _ _ _ ，请你说明理由.
②
（3） 如图③，，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
③
（4） 利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点， ，求的度数.
④
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2023郴州]下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线，相交于点，于点.若 ，则的度数是 （ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2024四川]如图，，平分， ，则（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．[2023自贡]如图，某人沿路线行走，与方向相同， ，则的度数是（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中: ；；；.能判定的有（ ）
第5题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．[2024商洛模拟]如图，，.若 ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．[2024廊坊模拟]“绿色出行，健康出行，你我同行.”某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.如图①是共享单车放在水平地面的实物图，如图②是其示意图，其中，都与地面平行.若 ， ，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
B组·能力提升 强化突破
8．[2024汕头模拟]如图，在三角形中，点,,分别在边,,上，连接,，点在上，连接，且 .
（1） 试说明：；
（2） 若平分， ，求的度数（结果用含 的代数式表示）.
9．如图①为北斗七星的位置示意图，图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，顺次首尾连接，若恰好经过点，且， .
（1） 求的度数；
（2） 连接，与满足怎样的数量关系时，？并说明理由.
10．
（1） 如图①，已知直线，且直线和，分别交于，两点，点在线段上，则，，之间的等量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
①
（2） 如图②，点在处的北偏东 方向，在处北偏西 方向，则_ _ _ _ _ _ _ _ ；
②
（3） 如图③，和的平分线交于点，延长交于点， ，试说明:，并探究与的数量关系.
③
