培优选练（三） 巧用的双重非负性解题
【思想方法】
利用的双重非负性解题，即，.利用，，的非负性解题.
1．如果，求，的值.
2．已知的平方根是，,满足，求的平方根.
3．已知，求的值.
4．已知与互为相反数，求的平方根.
5．已知实数，满足.
（1） 求，的值；
（2） 当一个正实数的两个平方根分别为和时，求的值.培优选练（一） 实数与数轴
【思想方法】
1.实数与数轴上的点一一对应；
2.数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大；
3.数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数差的绝对值求解.
1．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点.若正方形的对角线的长为,则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，在数轴上的位置如图所示，点在线段上，且点表示的数为无理数，则这个无理数可以是（ ）
A． B． C． D．
4．在数轴上，表示无理数的点位于（ ）
A．点与点之间 B．点与点之间
C．点与点之间 D．点与点之间
5．如图，四个实数，，，在数轴上对应的点分别为，，，.若，则，，，四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024温州模拟]把下列各数：，0，，在数轴上表示出来，并将这些数用“ ”连接.
由各数在数轴上的位置,可得.
7．数轴上的点，，，依次表示四个实数：-， ，，.
（1） 如图，在数轴上描出点，，，的大致位置；
（2） 求出，两点之间的距离.
8．
（1） 求出2的平方根、的立方根和的算术平方根；
（2） 将（1）中求出的每个数表示在如图的数轴上；
（3） 将（1）中求出的每个数按从小到大的顺序排列，并用“ ”连接.
9．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示数，设点所表示的数为.
（1） 求的值；
（2） 求的值.
10．[2024温州模拟]如图，已知实数，，，4，其在数轴上所对应的点为点，，，.
（1） 点表示的数为_ _ _ _ _ _ _ _ ，点表示的数为_ _ _ _ ；
（2） 点与点之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 记点与点之间距离为，点与点之间距离为，求的值.培优选练（二） 平方根或立方根的求值问题
一、直接开方求值
1．解： ；；；.
2．（1） 解：原式.
（2） 原式.
二、利用开方求未知数的值
3．（1） 解：方程整理,得，
开方,得.
（2） 方程整理,得，
开立方,得.
（3） 开方,得或，
解得或.
（4） 方程整理,得，
开立方,得，
解得.
三、利用开方的定义解题
4．解：因为的算术平方根是4，
所以，解得.
因为的立方根是4，
所以，
所以，解得.
所以.
5．解：因为一个正数的两个平方根分别是和，
所以，解得.
当时，，.
因为，
所以这个正数是16.
6．解：由题意，得
，，
解得，.
因为，是的整数部分，
所以.
所以.培优选练（一） 实数与数轴
1．D 2．B 3．D 4．D 5．A
6．解：，数轴上的各点表示在数轴上如答图:
第6题答图
7．（1） 解：数轴上的各点表示在数轴上如答图:
第7题答图
（2） 因为点，依次表示实数，，
所以，两点之间的距离为.
8．（1） 解：2的平方根是，的立方根是，的算术平方根是2.
（2） 数轴上的各点表示在数轴上如答图:
第8题答图
（3） 由各数在数轴上的位置,可得.
9．（1） 解：因为蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，
所以点所表示的数比点表示的数大2.
因为点表示数，点所表示的数为，
所以.
（2）
.
10．（1） ；
（2）
（3） 解：由题意,得点表示的数为，点表示的数为,点表示的数为4，点表示的数为,
所以点和点之间距离为;
点和点之间的距离为.
则.
-2.5
32
1
2
3
4
CB
-2
-1
1
2
3
4
0
2
3
4
5培优选练（三） 巧用的双重非负性解题
1．解：由题意，得，，
解得，.
所以的值为，的值为3.
2．解：因为的平方根是，
所以，
解得.
因为，
又因为，，
所以，，
解得，，
所以
.
所以的平方根是.
3．解：因为，
所以，，，
解得，，.
故.
4．解：因为与互为相反数，
所以，
所以，，
解得，，
所以.
因为16的平方根为，
所以的平方根为.
5．（1） 解:因为，
所以，，
解得，.
（2） 由题意，得，
即，
解得.
则.培优选练（二） 平方根或立方根的求值问题
【思想方法】
利用平方根或立方根的概念解题.
一、直接开方求值
1．求下列各式的值：，，，，.
2．计算：
（1） ;
（2） .
二、利用开方求未知数的值
3．求符合下列各条件中的的值:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
三、利用开方的定义解题
4．已知的算术平方根是4，的立方根是4，求的值.
5．已知一个正数的两个平方根分别是和，请你求出这个正数.
6．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的值.
