2025中考数学复习冲刺之特色微专题巩固_专题17 几何图形证明计算类问题添加辅助线技巧（含解析）

专题17 几何图形证明计算类问题添加辅助线技巧
1. 如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
2.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　）
A．48° B．24° C．22° D．21°
5．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．1
6．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）
A．110° B．120° C．125° D．130°
7.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 2
8.如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则
______．
9. 如图，点A、B、C在上， ，垂足分别为D、E，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是_________．
11．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．
12. 如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；
（2）求证：．
13. 因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
14.在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
15. 如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
16. 如图，已知AD，EF是的直径，，与 OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，．
（1）求证：CD是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线BH交CO于点H，连接AH交于点N，求的值．
专题17 几何图形证明计算类问题添加辅助线技巧（解析版）
1. 如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
【答案】C
【解析】过C点作CF∥AM，利用平行线的性质解答即可．
过C点作CF∥AM，
∵AM∥BN，
∴AM∥CF∥BN，
∴∠MAC＝∠ACF，∠CBN＝∠FCB，
∵∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，
∴∠CBN＝∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝∠ACB﹣∠MAC＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，根据题意构造平行线，并熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
2.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
如图，连接AC
四边形ABCD是菱形
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，
是等边三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分别延长AD和BE交于点F，利用特殊角三角函数求出EF的长，根据△ABB'是等边三角形，求出B'E＝BF﹣BB'﹣EF即可．
解：分别延长AD和BE交于点F，
由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，
∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF cos60°＝4×＝2，
∠F＝90°﹣∠ABF＝30°，
∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，
∴EF＝DF cos∠F＝（2）×＝3﹣，
由题知，△ABB'是等边三角形，
∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1．
4．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（　　）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【答案】D
【解析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．
解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝∠COD＝21°．
5．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，根据圆内接四边形的性质得∠DAE＝80°，根据对称以及圆周角定理可得∠BOD＝∠BOE＝80°，由点C是的中点可得∠BOC＝∠COD＝40°，∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，根据等腰三角形以及直角三角形的性质即可求解．
解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，
∴CE＝2．
6．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）
A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】由切线的性质得出∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理可求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB．
如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ADB＝AOB＝55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．
7.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（　　）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 2
【答案】C
【解析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8.如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则
______．
【答案】
【解析】利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 =，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
9. 如图，点A、B、C在上， ，垂足分别为D、E，若，则
的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在优弧AB上取一点F，连接AF，BF，先根据四边形内角和求出∠O的值，再根据圆周角定理求出∠F的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】在优弧AB上取一点F，连接AF，BF．
∵ ，
∴∠CDO=∠CEO=90°．
∵，
∴∠O=140°，
∴∠F=70°，
∴∠ACB=180°-70°=110°．
故选C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10. 如图，是的外接圆，，于点，延长交于点，若，，则的长是_________．
【答案】
【解析】连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD，再根据相似三角形的判定和性质可求DE．
【详解】解：连结OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BD＝4，CD＝1，
∴BC＝4＋1＝5，
∴OB＝OC＝，
∴OA＝，OF＝BF＝，
∴DF＝BD BF＝，
∴OG＝，GD＝，
在Rt△AGO中，AG＝，
∴AD＝AG＋GD＝，
∵连接BE,AD与BE相交于D，
∴∠BED=∠ACD，∠BDE=∠ADC，
∴△BDE∽△ADC，
∴
．
故答案为：．
【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的难点是求出AD的长．
11．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．
【答案】4
【解析】先根据垂径定理的推论得到CD过圆心，AD＝BD＝3.2cm，设圆心为O，连接OA，如图，设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，利用勾股定理得到（R﹣1.6）2+3.22＝R2，然后解方程即可．
解：∵C点的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．故答案为4．
12. 如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明；
（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．
【详解】证明：（1）在等腰直角三角形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）连接．
由平移性质得．
∴，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
由（1）得，
∴，
∴，∴．
【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．
13. 因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上处的临皋亭和处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临皋亭P处的距离．
（2）求临皋亭处与遗爱亭处之间的距离（计算结果保留根号）
【答案】（1）；（2）米
【解析】（1）过点作于点M．设，在中，得到，在中，得到，根据得到关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值，进而A处到临皋亭的距离即可求解；
（2）过点作于点，在中，得到，在中，得到
，根据求解即可．
【详解】（1）依题意有．
过点作于点M．设，则
在中，．
在中，．
又，
∴点A处与点处临皋亭之间的距离为．
（2）过点作于点．
在中，．
．
在中，．
．
．
．
∴点处临亭与点处遗爱亭之间的距离为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
14.在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析．
【解析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．
【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点
∴DE为的中位线，且
∴，
∵
∴
∵
∴
∴四边形DECF为矩形
∴
∴
则在中，；
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG
∵
∴，
∵D是AB的中点
∴
在和中，
∴
∴，
又∵
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴
∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴．
【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
15. 如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．
（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k OM，见解析；（3）
【解析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM≌△EON；
（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，证明△DOM∽△EON；
（3）设AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案．
【详解】（1）OM＝ON，如图1，
作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，
，
同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OD＝OE，
∵∠DOE＝90°，
∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，
∴∠EON＋∠MOE＝90°，
∴∠DOM＝∠EON，
Rt△DOM和Rt△EON中，
，
∴△DOM≌△EON（ASA），
∴OM＝ON．
（2）如图2，
作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，
由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，
∴，
由（1）知：
∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，
∴，
∴ON＝k OM．
（3）如图3，
设AC＝BC＝a，
∴AB＝a，
∵OB＝k OA，
∴OB＝ a，OA＝ a，
∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，
∴EN＝＝OE＝ a，
∵CE＝OD＝OA＝a，
∴NC＝CE＋EN＝a＋ a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，
∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，
∴，
∴△PON∽△AOM，
∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，
∴PN＝PE＋EN＝a＋ a，
设AD＝OD＝x，
∴DM＝，
由AD＋DM＝AC＋CM得，
（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，
∴k＞1
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD⊥AC，OE⊥BC；本题的难点是条件得出k＞1．
16. 如图，已知AD，EF是的直径，，与 OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，．
（1）求证：CD是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线BH交CO于点H，连接AH交于点N，求的值．
【答案】见解析。
【解析】证明：四边形OABC是平行四边形，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
连接DF，如图：
是的直径，
，
是的切线，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
解得或舍去，
在中，，
；
延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：
是直径，
，
，
，即，
，，
，，
中，，
，，
且，
，
，
即，
，即，
解得，
平分，，
，
，
，
，
在中，，
而，
且，
∽，
．