2025中考数学复习冲刺之特色微专题巩固_专题05 反比例函数中的k值问题（含解析）

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专题05 反比例函数中的k值问题
1. 如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为_______．
2. 如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（ ）
A. ﹣12 B. ﹣15 C. ﹣20 D. ﹣30
3．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在直线AB的左侧作正方形ABDC，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
4. 如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°
，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
6. 已知反比例函数的图像经过点，则的值是______．
7．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝　 　．
8．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　　．
9. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=________．
10．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是 　　．
11. 如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD， OABC的面积为15，则k的值为______．
12. 如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
13. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．
专题05 反比例函数中的k值问题（解析版）
1. 如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为_______．
【答案】
【解析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．
连接，作轴于点，
由题意知，中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2. 如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（ ）
A. ﹣12 B. ﹣15 C. ﹣20 D. ﹣30
【答案】A
【解析】过A点作AC⊥OB，利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．
过A点作AC⊥OB，
∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，
∴OC＝BC＝3，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∵AC＝，
∴A（﹣3，4），
把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为边在直线AB的左侧作正方形ABDC，反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【答案】D
【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得点D的坐标，从而可以求得k的值．
作DF⊥x轴，交x轴于点F，作EB⊥y轴交DF于点E，
∵直线y＝﹣3x+3，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝1，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），
∵BD＝BA，∠BED＝∠BOA，∠EBD＝∠OBA，
∴△BED≌△BOA（AAS），
∴BE＝BO＝3，ED＝OA＝1，∴DF＝2，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴2＝，得k＝﹣6，
【点拨】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得点D的坐标，从而可以求得k的值．
4. 如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（　　）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】D
【解析】由得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案．
【详解】解：
四边形MNQP的面积为3，
故选D．
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
解：过点D作DF⊥BC于F，
由已知，BC＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝5，
∵BE＝2DE，
∴设DE＝x，则BE＝2x，
∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x，
在Rt△DFC中，
DF2+FC2＝DC2，
∴（2x）2+（5﹣x）2＝52，
解得x1＝2，x2＝0（舍去），
∴DE＝2，FD＝4，
设OB＝a，
则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a），
∵点D、C在双曲线上，
∴k＝2×（a+4）＝5a，
∴a＝，
∴k＝5×＝．
6. 已知反比例函数的图像经过点，则的值是______．
【答案】﹣12
【解析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
依题意，将点代入，得：，
解得：=﹣12，
故答案为：﹣12．
【点睛】考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
7．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝　 　．
【答案】3．
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可得出答案．
∵矩形ABOC的面积为3，
∴|k|＝3，
又∵k＞0，
∴k＝3．
8．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 　　．
【答案】8
【解析】连接OA、OB，由反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC＝6，S△BOC＝，又S△AOB＝S△APB＝2，所以S△AOC﹣S△BOC＝2，代入计算即可得出k的值．
解：连接OA、OB，
∵AC⊥x轴，
∴AC∥y轴，
∴S△AOB＝S△APB，
∵S△APB＝2，
∴S△AOB＝2，
由反比例函数系数k的几何意义可得：
S△AOC＝6，S△BOC＝，
∴6﹣＝2，
解得：k＝8，
故答案为8．
9. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=________．
【答案】
【解析】设点，利用即可求出k的值．
设点，
∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出．
10．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是 　　．
【答案】3．
【解析】过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），可表示出BC和DC的长度，又S△BCD＝＝8，即可求出k的值．
解：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），
∴BE＝2a，
∵，△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，
∴BC＝4a，
∴点D的横坐标为3a，
∴点D的纵坐标为，
∴CD＝，
∵S△BCD＝＝8，
∴，
∴k＝3．
11. 如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD， OABC的面积为15，则k的值为______．
【答案】18
【解析】过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，可得，设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，根据 OABC的面积为15表示出BM的长度，根据CD＝2BD求出ND的长，进而表示出A，D两点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出．
过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，
∴ ，
∴ ，
∵CD＝2BD，
∴，即 ，
设OC＝a，CN＝2b，则MN＝b，
∵ OABC的面积为15，
∴BM＝，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵CD＝2BD，
∴ ，
∴ND＝BM＝，
∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a＋2b），
∴ 3b＝（a＋2b），
∴b＝a，
∴k＝ 3b＝ 3×a＝18，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．
12. 如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
【答案】﹣9
【解析】首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
∵
∴=
∵点A是双曲线上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴=
∴
∴=9
∵函数图像位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
13. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．
【答案】
【解析】根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．
由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴，即，
解得：CG=，
∴点G（，1），
代入可得：k=，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出OG的长度．