2025中考数学复习冲刺之特色微专题巩固_专题04 勾股定理及其应用（含解析）

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专题04 勾股定理及其应用
1. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　）
A. B. C. D.
2．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）
A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
5．如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（　　）
A．1 B． C． D．
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 4
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．5
9．如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　 　．
10. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____．
11．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°
）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　　．
12.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．
13．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
14. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．
15.如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．
专题04 勾股定理及其应用（解析版）
1. 如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长．
∵，，
∴，
解得：，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
2．以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
A．不是中心对称图形，符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，不符合题意．
3．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】根据勾股定理可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．
由图可得，
AB＝＝＝＝2，
∵BC＝，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣＝．
4．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）
A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD
【答案】D
【解析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△
BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．
由图可得，
BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，
∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∵EF∥GD，
∴△BFE∽△BGD，
∴，
即，
解得EF＝1.5，
∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，
∴＝，故选项A错误；
由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；
∵AC＝2，CD＝，
∴AC≠CD，故选项C错误；
∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，
∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；
故选：D．
5．如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米
【答案】B
【解析】连接OC交AB于D，连接OA，根据垂径定理得到AD＝AB，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．
解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，则CE的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】连接CO，过点D作DG⊥AB于点G，连接AD，
∵∠BDC＝45°，
∴∠CAO＝∠CDB＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BC＝6，
∴AB＝BC＝12，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COA＝∠DGE＝90°，
∵∠DEG＝∠CEO，
∴△DGE∽△COE，
∴＝，
∵CE＝2DE，
设GE＝x，则OE＝2x，DG＝3，
∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，
∵∠ADB＝∠AGD＝90°，
∠DAG＝∠BAD，
∴△AGD∽△ADB，
∴DG2＝AG BG，
∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），
∵x＞0，
∴x＝，
∴OE＝2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
CE＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出△DGE∽△COE是解题关键
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】由圆周角定理得到CD⊥AB，所以利用勾股定理首先求得AB的长度；然后利用等面积法来求CD的长度即可．
∵以AC为直径的⊙O交AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
则由勾股定理得到：AB＝＝＝10．
∴AC BC＝AB CD，即＝．
故CD＝．
9．如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为 　 　．
【答案】．
【解析】过点C作CE⊥CD交AD于E，判断出∠ACE＝∠BCD，进而利用SAS判断出△ACE≌△
BCD，得出AE＝BD＝2，CE＝CD，进而利用勾股定理求出DE＝8，即AD＝10，最后用勾股定理即可得出结论．
解：如图，过点C作CE⊥CD交AD于E，
∴∠ECD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，
BC与AD的交点记作点F，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AFC+∠CAE＝90°，
∵∠AFC＝∠DFB，
∴∠DFB+∠CAE＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠DFB+∠CBD＝90°，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD，CE＝CD，
在Rt△DCE中，CE＝CD＝4，
∴DE＝CD＝＝8，
∵BD＝2，
∴AE＝2，
∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝＝2，
故答案为．
10. 如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作
的外接圆，则的长等于_____．
【答案】
【解析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
【详解】∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的长为：＝
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题关键是利用三角形三边长通过勾股定理逆定理得出△ACB为等腰直角三角形．
11．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　　．
【答案】．
【解析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．
由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，
∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，
∴∠BAC+α+β＝90°
∴∠EAF＝90°
∴EF＝＝
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
12.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，EG=.
【解析】（1）根据正方形的判定作图可得；
（2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，正方形ABEF即为所求；
（2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得EG=.
【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
13．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；
（2）设AE＝x,则BE＝7+x,AB＝13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长．
解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
14. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且∠AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且∠ACD＝∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tanE＝，求DM的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据圆周角定理和等量代换可得∠BAC＝∠ACD，进而得出AB∥CD，由∠AOD＝90°可得OD⊥
CD，从而得出结论；
（2）由tanE＝，可得tan∠ACD＝tan∠OAN＝tanE＝，在直角三角形中由锐角三角函数可求出ON、DN、CD，由勾股定理求出CN，由三角形的面积公式求出DF，再根据圆周角定理可求出∠AMD＝45°，进而根据等腰直角三角形的边角关系求出DM即可．
【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E，∠E＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于F，
∵⊙O的半径为6，tanE＝＝tan∠ACD＝tan∠OAN，
∴ON＝OA＝×6＝2，
∴DN＝OD﹣ON＝6﹣2＝4，
∴CD＝3DN＝12，
在Rt△CDN中，
CN＝＝＝4，
由三角形的面积公式可得，
CN DF＝DN CD，
即4DF＝4×12，
∴DF＝，
又∵∠AMD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴在Rt△DFM中，
DM＝DF＝×＝．
15.如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．
【答案】（1）①；②存在，或；（2）．
【解析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，根据轴对称得到，，求出点B的坐标，勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；
（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
解：（1）①抛物线的对称轴为直线，
∴若过点的直线是抛物线的对称轴，
则，解得：b=4，
∴；
②存在，
如图1，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点在对称轴上，连接、PB，
则，，
对于，令y=0，则，
解得：，
∴A（-1,0），B（5,0），
∴，
∴，
∴，
设点P（2，m），
由可得：，解得：，
∴，
同理，当点P在x轴下方时，，
综上所述，点或
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当时，取x=2，y有最大值，
即，
∴，解得：，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度不大，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．