2025中考数学复习冲刺之特色微专题巩固_专题09 与高中数学知识衔接的信息给予问题（含解析）

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专题09 与高中数学知识衔接的信息给予问题
1. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
2. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ）
A. 5 B. 2 C. 1 D. 0
3．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 　丙　；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
4. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣
1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
5.已知==3，==10，==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=　 　．
6.阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M N＝am an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M N）
又∵m+n＝logaM+logaN
∴loga（M N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式　 　；
（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　 　．
7.阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．
∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝+x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝　　，f（﹣4）＝　　；
（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是　　函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
专题09 与高中数学知识衔接的信息给予问题（解析版）
1. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．
【答案】
【解析】根据代入进行计算即可．
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
2. 若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ）
A. 5 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案．
，
故选C
【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键．
3．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 　丙　；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
【答案】见解析。
【分析】（1）如图1中，连接BC′．证明△A′BC′是等边三角形，推出∠BA′C′＝60°，由题意可知∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角．
（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可．
（3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．
解：（1）如图1中，连接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，
∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．
由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值为10．
4. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝
．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】（1）（0，），， （2），4）或（，4 ）
（3） （4）或
【解析】【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．
解：(1)由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
(2)解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
(3)解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
【小问4详解】
解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．
5.已知==3，==10，==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=　 　．
【答案】56
【解析】对于Cab（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘b的个数．
∵==3，==10，==15，
∴==56．
6.阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M N＝am an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M N）
又∵m+n＝logaM+logaN
∴loga（M N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式　 　；
（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　 　．
【解析】（1）4＝log381（或log381＝4），
故答案为：4＝log381；
（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，
又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，
∴loga＝logaM﹣logaN；
（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．
故答案为：2．
7.阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．
∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝+x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝　　，f（﹣4）＝　　；
（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是　　函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【解析】（1）∵f（x）＝+x（x＜0），
∴f（﹣3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣
故答案为：﹣，﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）
∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数
故答案为：增
（3）设x1＜x2＜0，
∵f（x1）﹣f（x2）＝+x1﹣﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣）
∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数