2025中考数学复习冲刺之特色微专题巩固_专题11 求最大值最小值问题（含解析）

专题11 求最大值最小值问题
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（　　）
A．3 B．6 C．3 D．6
5. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
6．设为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过作于点，则点到轴距离的最大值（ ）
A．　　 　　 B．　 　 C．　 　D．
7.如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　．
9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 　　．
10.如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 　　 ．
12. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________
13．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 　 　．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是　　．
15.小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
0 1 2 3
0 1
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
16.在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
17.某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
18. 某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
19. 在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．
20．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝2＝10；+＝2＝；0.4+0.4＝2＝0.8；+5＞2＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；+＞2．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（﹣）2≥0，
∴①当且仅当﹣＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当﹣≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y＝+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
21．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
专题11 求最大值最小值问题（解析版）
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】如图，取BC的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值为4．
2.在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）
过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）
连接BE交x轴与D点
过A’作A’C∥DE交x轴于点C，
∴四边形CDEA’为平行四边形，
此时AC+BD最短等于BE的长，
即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE==
故选B．
【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5
，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】如图，以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°,推出∠AEF＝60°,推出点Q的运动轨迹是射线FE,求出DH,可得结论．
解：如图，以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAE＝90°,
∵△ABF,△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°,BA＝FA,PA＝QA,
∴∠BAP＝∠FAQ,
在△BAP和△FAQ中，
,
∴△BAP≌△FAQ(SAS),
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°,
∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°,
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°,
∵AB＝AF＝5,AE＝AF÷cos30°＝,
∴点Q的运动轨迹是射线FE,
∵AD＝BC＝5,
∴DE＝AD﹣AE＝,
∵DH⊥EF,∠DEH＝∠AEF＝60°,
∴DH＝DE sin60°＝×＝,
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为.
4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为（　　）
A．3 B．6 C．3 D．6
【答案】A
【解析】由三角形的三边关系可得当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，由菱形的性质可得AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，由锐角三角函数可求∠ABO＝60°，可证△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE⊥AB，即可求解．
解：如图，连接DE，
在△DPE中，DP+PE≥DE，
∴当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sin∠ABD＝，
∴＝，
∴DE＝3．
5. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】要使△ABC的面积S=BC h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵AD⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
AD=AO+OD=1+cosθ，
∴S△ABC=AD BC= 2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
6．设为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过作于点，则点到轴距离的最大值（ ）
A．　　 　　 B．　 　 C．　 　D．
【答案】A
【解析】如图，设直线解析式为
联立：，化简得
不妨设,
则，
作轴，轴，易得
则即（），化简可得
而
所以有，因此（需要舍去）
即直线AB过定点，因此AB：
易得直线OC的解析式为：，联立，解得
即
点C到y轴距离，则，化简可得，由于关于k的一元二次方程有实数根，因此满足，即，因此，因此
考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法，涉及相似三角形、一元二次方程等多个考点
7.如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则
周长的最小值为（ ）．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.
连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
故选：B.
【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是的周长有最小值的思路是解题的关键.
8．二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　．
故答案为：﹣2．
【分析】根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．
【解答】在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 　　．
【答案】；
【解析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△DCF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等和同角的余角相等可得∠DGC＝90°，从而确定AG最小时G的位置，根据勾股定理可得结论．
解：如图1，取CD的中点H，连接GH，
在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，
∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴点G在以DC为直径和圆上，
如图2，连接AC，BD交于点O，取DC的中点H，
由勾股定理得：AC＝＝2，
∵E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，
∴点G在以H为圆心，CH为半径的圆上运动，当点G与O重合时，AG最小，
此时AG＝AO＝AC＝，
即AG的最小值＝．
10.如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为 　　 ．
【答案】2．
【解析】延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小．
解：延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，则PC+PD的值最小，最小值为线段DE的长．
∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2，
在Rt△CDE中，DE＝＝＝2，
∴PC+PD的最小值为2．
12. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________
【答案】
【解析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
如图，作点A关于BC的对称点T，
取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT RM，
∴MT≥4，
∴MT的最小值为4，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4，
∴QA＋QM的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 　 　．
【答案】3﹣3．
【解析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，得到点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，连接B'O交AD于E，交⊙O于F，则线段B'F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，
∵∠ADF＝∠FCD，
∴∠FDC+∠FDC＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，
连接B'O交AD于E，交半圆O于F，则线段B'F的长即为BE+EF的长度最小值，OF＝3，
∵∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，
∴OC'＝9，
∴B'O＝＝＝3，
∴EP＝3﹣3，
∴FD+FE的长度最小值为3﹣3，
故答案为：3﹣3．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是　　．
【答案】﹣．
【解析】连接OA、OB、OM，根据圆周角定理得到∠AOB＝120°，求出OM＝1，OA＝2，再根据三角形中位线性质得到MN∥AC，MN＝AC，然后根据三角形相似得到＝（）2＝，故当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，由C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，求得△ABC的最大值，进而即可求得△MBN的面积最大值，利用扇形的面积和三角形的面积求得弓形的面积，进而即可求得阴影部分的最大值．
解：连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积最大值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣．
15.小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
0 1 2 3
0 1
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【解析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：
（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
16.在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；
（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；
（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围．
【详解】解：（1）∵的图象过点，，
∴
解得
∴
（2）由（1）得，二次函数对称轴为
∴当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,
y的最小值为
∴的最大值与最小值的差为；
（3）由题意及（1）得
整理得
即
∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，
∴
化简得
即
解得m≠5
∴a，b为方程的两个解
又∵
∴a=-1，b=4-m
即4-m>3
∴m<1
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．
17.某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【答案】（1）y=-100x+10000；（2）共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台,乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【解析】(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
(2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可.
【详解】（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000；
（2）由题意得： ，
解得，
∵x为正整数，
∴x=12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台,乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y=-100x+10000，且-100<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=12时，y最大值=，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
18. 某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．
（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？
（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
【答案】（1）该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱；（2）该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元
【解析】（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱，利用卖出100箱这种农产品共获利润4600元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元，利用利润的意义得到，再根据该公司零售的数量不能多于总数量的30%可确定m的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设该公司当月零售农产品x箱，批发农产品y箱．
依题意，得
解得
所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱．
（2）设该公司零售农产品m箱，获得总利润w元．则批发农产品的数量为箱，
∵该公司零售的数量不能多于总数量的30%
∴
依题意，得．
因为，所以w随着m的增大而增大，
所以时，取得最大值49000元，
此时．
所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组．
19. 在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针旋转得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①＝，理由见解析；②存在，
【解析】（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①结论：＝．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝，推出点E的运动轨迹是射线BE，利用面积法求出RT，可得结论．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①结论：＝．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝＝，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝＝k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝＝．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴＝＝（全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝，
∴点E的运动轨迹是射线BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝，
∵BJ＝＝＝，
∵S△CBR＝ CR BJ＝ CB RT，
∴RT＝＝，
∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT，
∴EC＋EH≥，
∴EC＋EH的最小值为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点E的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题．
20．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝2＝10；+＝2＝；0.4+0.4＝2＝0.8；+5＞2＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；+＞2．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（﹣）2≥0，
∴①当且仅当﹣＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当﹣≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y＝+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】见解析。
【解析】猜想运用：将x和分别看成猜想发现中的a和b，即可求出答案；
变式探究：将函数y＝变形为：y＝，然后结合猜想运用的结论解题；
拓展应用：设隔离房间的长和宽分别为x、y，结合周长为63列出一个方程，结合面积和“若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）”求出最大面积S和对应的x、y．
解：猜想运用：∵x＞0，
∴，
∴y≥2，
∴当x＝时，ymin＝2，
此时x2＝1，
只取x＝1，
即x＝1时，函数y的最小值为2．
变式探究：
∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
∴y＝≥5，
∴当时，ymin＝5，
此时（x﹣3）2＝1，
∴x1＝4，x2＝2（舍去）
即x＝4时，函数y的最小值为5．
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得：9x+12y＝63，
即：3x+4y＝21，
∵3x＞0，4y＞0
∴3x+4y≥2，
即：21≥2，
整理得：xy≤，
即：S≤，
∴当3x＝4y时
此时x＝，y＝，
即每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为．
21．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．
【答案】见解析。
【解析】（1）过点A作x轴的垂线，分别交MN和x轴于点E和点F，利用三角形相似写出点M的坐标；
（2）四边形的面积可以用分割法求解，①△MNP和△BNP的面积之和；②四边形MNBO和△OMP的面积之差，其它方法亦可；
（3）先判断四边形MNBP的形状，就可知道平分四边形MNBP的直线经过的定点坐标（用含t的式子表示），然后消去t，得到直线l的解析式；
（4）利用三角形相似解题，由∠OAP＝∠BPN和∠AOB＝∠PBN（由题意可知），得证△AOP∽△PBN，再利用相似的性质求出对应的t值，再由等面积法求高，求出点N到OA的距离．
解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，
由题意得：OQ＝2t，OP＝3t,PB＝6﹣3t，
∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），
∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝，
∵MN∥OB，
∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，
∴△OQM∽△AFO，
∴，
∴，
∴QM＝，
∴点M的坐标是（）．
（2）∵MN∥OB，
∴四边形QEFO是矩形，
∴QE＝OF，
∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，
∵OA＝AB，
∴ME＝NE，
∴MN＝2ME＝6﹣3t，
∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP
＝MN OQ+ BP OQ
＝
＝﹣6t2+12t
＝﹣6(t﹣1)2+6，
∵点P到达点B时，P、Q同时停止，
∴0≤t≤2，
∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6．
（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，
∴MN＝BP，
∵MN∥BP，
∴四边形MNBP是平行四边形，
∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，
设中点为H（x，y），
∵M()，B（6，0），
∴x＝＝，
y＝．
∴x＝，
化简得：y＝，
∴直线l的解析式为：y＝．
（4）∵OA＝AB，
∴∠AOB＝∠PBN，
又∵∠OAP＝∠BPN，
∴△AOP∽△PBN，
∴，
∴，
解得：t＝．
∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ,ME＝3﹣，
∴MN＝6﹣3×，
AE＝，
ME＝，
∴AM＝．
设点N到OA得距离为h，
∵S△AMN＝ MN AE＝ AM h，
∴，
解得：h＝．
∴点N到OA得距离为．