杭州学军中学 2024 级高一下第一次测试
数学试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设全集 ， ， ，则
A． B． C． D．
2．下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是
A． B． C． D．
3．已知角 的终边上一点 的坐标为 ，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则
A． B． C． D．
4．若向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为
A． B． C． D．
5．已知 ，则
A． B． C． D．
6．公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了 0.618
就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 ，若
，则
A． B． C． D．
7．若 ， ，则
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若 的图像的任何一条对称轴与 轴
交点的横坐标均不属于区间 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
1 司
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．如图所示，点 是函数 ( ， )图象的最高点， 是图
象与 轴的交点，若 ，且 ，则
A． B． C． D．
10．如图，在四边形 ABCD 中， ， ， ，E 为 BC 边上一
点，且 ，F 为 AE 的中点，则
A． B．
C． D．
11． 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 且 ， 都 有 ，
， ， ，当 时， ，
则下列说法正确的是
A．函数 的图象关于点 对称
B． 是以 4 为周期的周期函数
C．
D．函数 与函数 的图象有 8 个不同的公共点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知函数 ，则 的值为 ．
13．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是 ．
14．函数 ，若关于 x 的方程 恰好有 4 个不同
的实数根，则实数 t 的取值范围是 .
2 司
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知 ，p： ，q： ，
（1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；
（2）若 ，命题 p，q 中有且仅有一个是真命题，求实数 x 的取值范围．
16．（15 分）
已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调递减区间；
（2）当 时函数 的最小值为 2，求实数 的值．
17．（15 分）
已知函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，当
时， ．
（1）求 和 的解析式；
（2）判断 在区间 上的单调性并证明；
（2）若对 ，都有 ，求实数 m 的取值集合．
3 司
18．（17 分）
某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为 30 米，轮上最低点与地面的距离为 2 米，
沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为 分钟．在圆周上均匀分布 12 个座舱，
标号分别为 1～12（可视为点）．现 4 号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间
为 t 分钟．
（1）求 1 号座舱与地面的距离 h（米）与时间 t（分钟）的函数关系式 ；
（2）在前 24 分钟内，求 1 号座舱与地面的距离为 17 米时 t 的值；
（3）记 1 号座舱与 5 号座舱高度之差的绝对值为 H 米，若在 这段时间内，H
恰有三次取得最大值，求 的取值范围．
19．（17 分）
已知 ，
（1）若 ，求 的最大值；
（2）若 ，求关于 的不等式 的解集；
（3） ，对于给定实数 ，均有 满足 ，求 的取值范围．
4 司CCAADDBB
BC ABD ABD
12．1 13．81 14．
15．（1）不等式 的解为 ，即 p： ．
因为 p 是 q 的充分条件，所以 是 的子集，
故 解得： ，所以 m 的取值范围是 ．
（2）当 时，q： ，
由于命题 p，q 其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论：
①p 真 q 假时， 与 或 取交集，解得： ；
②p 假 q 真时， 与 或 取交集，解得： 或 ．
所以实数 x 的取值范围为 ．
16．（1） ，
， ，
减区间为 ．
（2） ， ，
当 时， 有最小值为 ，
由已知 ， ．
司
17．（1）因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，且满足 ，即 ；
设 ，则 ，即 ，
又 是定义在 上的偶函数，则 ，
所以 ；
（2） 在区间 上单调递减.
证明：任取 ，且 ，
则
，
由 可得 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减.
（3）因为 是定义在 上的偶函数，
且当 时， ，其对称轴为 ，
所以当 时， 单调递增，
对 ，都有 ，即 ，
由（1）可知， 是定义在 上的奇函数，
且 时， 单调递减，
所以 ，
所以 ，即 或 ，
当 时，即 ，解得 ；
当 时，即 ，解得 ；
综上所述，实数 m 的取值集合为 .
司
18．（1）设 1 号座舱与地面的距离 与时间 的函数关系的解析式为
， ， ，则 ， ，
所以
依题意 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
故 ；
（2）令 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 或 ，解得 或 ，
即 或 时 1 号座舱与地面的距离为 17 米；
（3）依题意 ， ，
所以
令 ，解 ，
所以当 时 取得最大值，
故 ，解得 ，
所以 .
19．（1）因为 ，可知 的定义域为 ，此时 ，
司
若 ，则 ，
可得 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
（2）若 ，则 ，
对于 ，即 ，
令 ，则 ，
若 ，则 ，可得 ，
解得 ，可得 ；
若 ，则 ，可得 ，
解得 ，可得 且 ；
若 ，则 ，可得 ，
解得 或 ，可得 或 ；
综上所述：若 ，解集为 ；
若 ，解集为 且 ；
若 ，解集为 .
（3）令 , 则 ,
①当 时,
,
当 时, 即 或 时, ；
司
当 时, 即 或 时, , 所以 ;
当 时, .
②当 时， ,
,
当 时, , 所以 ;
当 时, , 所以 ;
当 时, .
③当 时, 成立.
综上所述, 当 或 时， ；
当 或 时， ；
当 时， .
司
