北京市京源学校2024~2025学年初三下开学考数学试卷（PDF版，无答案）

京源学校 2024-2025 学年度 第二学期 寒假成果验收
九年级数学
总分：100 分 时长：120 分钟 2025.02
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）
第 1- 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．2025 年春节假期，首都市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新
春的喜庆氛围。据北京市文旅局数据显示，2025 年春节期间，北京全市接待游客总量达到
1760 万人次。将 17600000 用科学记数法表示应为
6 7 6 5
A．17.6×10 B．1.76×10 C．1.76×10 D．176×10
2．执行神舟十九号载人飞行任务的航天员乘组由蔡旭哲（男）、宋令东（男）、王浩泽
（女）3 名航天员组成，北京时间 2024年 10 月 29日，3 名航天员与中外记者集体见面．如
果从 2 名男航天员 1 名女航天员中任选 2 人回答记者问，则恰好选中 1 名男航天员 1 名女
航天员的概率为
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 2 3 3
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
2
4．在平面直角坐标系中，将抛物线 y = 2x 先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个
单位长度后所得到的抛物线的表达式为
2
A． y = 2(x 3) +4 B． y = 2(x 3)
2 4
C． y = 2(x+3)
2 + 4 2 D． y = 2(x+3) 4
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5.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则 sinA 的值是
4 4 3 3
A． B． C． D．
3 5 4 5
6．如图，⊙O 的半径长为 1，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，∠APB=60°，
则劣弧 AB 的长度为
2
A. B. C. D. 2
3 3
7．如图，在△ABC 中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕
点 A 逆时针旋转α得到△AB C ，且C C∥AB ，则α的度数为
A.20° B.35° C.40° D.55°
8．二次函数 y = ax
2 + bx + c(a 0)图象上部分点的坐标满足下表：
x … -3 -2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线 x=2；
③当 2＜x＜4时，y＜0；
④ x = 1是关于 x的一元二次方程 ax2 +bx + c + 5 = 0(a 0)的一个根．其中正确的结论有
A. 1 个 B.2 个 C.3个 D. 4 个
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
m 2 2m
9．若 = ，则 =
n 3 m + n
10．已知⊙O 的半径是 2，点 P 在⊙O 内，则 OP_____2（填“>”或“<”）
11．在平面直角坐标系中，已知点 A（a﹣b，﹣8）与点 B（﹣2，a + b）关于原点对称，
则 a = , b =
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12．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC=110°，则∠OAC 的大小是_________
5
13．如图，点 A、B 在双曲线 y = 上，过点 A作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥y 轴于
x
点 D，连接 OA、OB，设△OBD 的面积为 S1，设△OAC 的面积为 S2，则 S1 S2（填“＞，
＜，或＝”）．
C
A α
M B D N
第 12 题 第 13 题 第 14 题
14. 如图，甲、乙两座建筑物间的距离 BD 为 35m，甲建筑物的高 AB 为 20m，在甲建筑物的
顶端 A 处测得乙建筑物的顶端 C 的仰角 为 45°，则乙建筑物的高 CD 为 m．
15．小明同学想利用“∠A＝30°，AB＝6 cm，BC＝5cm”，这三个条件作△ABC．他先作出
了∠A＝30°和 AB＝6 cm，再作 BC＝5 cm，那么 AC 的长是________________cm
16．某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货
物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示：
商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件）
A 15 6
B 10 5
C 8 5
D 4 7
E 13 4
（1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物 30 件，最少
送乙种货物 15 件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）；
（2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方
案是 （写商场编号）．
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三、解答题（共 68 分，第 17 一 22 题每题 5 分，第 23 一 26 题每题 6 分，第 27 一 28 题
每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
1
1
17．计算： 2sin 45 + + 2 1 18
3
18．解方程： x2 + 2x 3 = 0
19．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，CE⊥AD 于点 E，点 E 恰为 AD 中点，CF⊥AB 于点 F，
当 BF=2，AD=6 时，求 AB的长.
20．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，CD = 24，BE = 8．
求⊙O 的半径．
A
O
C E D
B
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21. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC.
求作： 射线 AE，使得 AE // BC .
小靖同学的作法如下：
①以点 A 为圆心，AB 长为半径画圆，延长 BA 交⊙A 于点 D； A
②作 ABC 的角平分线交⊙A 于点 E；
③作射线 AE.
所以射线 AE即为所求.
请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题： B C
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接 DC.
∵AB=AC，
∴点 C 在⊙A上.
∵BD 是⊙A的直径，
∴ BCD = ____ （ ）（填推理依据）.
∵BE 平分 ABC ，
∴∠ABE =∠CBE .
∴DE =CE
∴∠DAE =∠CAE （ ）（填推理依据）.
∵ AD = AC ，
∴ AE ⊥ DC .（ ）（填推理依据）.
∴ AE // BC .
k
22.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(a，2)是函数 y = x 1的图象与函数 y = （k 0）的图
x
象的交点.
k
（1）求 a 的值和函数 y = （k 0）的表达式；
x
k
（2）若函数 y = x 1的值大于函数 y = （k 0） 的值，直接写出 x 的取值范围．
x
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23．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，分别过点 A、B 作 AE∥BD，BE∥AC，AE
和 BE 交于点 E．
（1）求证：四边形 AEBO是矩形；
（2）连接 EC，当 ABD = 60 ， AB = 2 3 时，求 tan∠CEB的值．
D
A O
C
E B
24．在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为 2 ，m，1.小红
和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号 a 后放回并摇
匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号 b．
（1）用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果；
（2）规定：若 a + b≥0，则小红获胜；若 a + b＜0，则小明获胜．
①当 m = 0 时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出 m 的取值范围.
25.如图，BE是 O 的直径，点 A 在 O 上，点 C 在 BE 的延长线上，
EAC = ABC ，AD 平分 BAE 交 O 于点 D，连结 DE．
（1）求证：CA 是 O 的切线； A
（2）当 AC = 8，CE = 4时，求 DE 的长．
C B
E O
D
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2
26．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y = ax +bx + c (a 0)的图象经过点（2，c）．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
2
（2）若二次函数 y = ax +bx + c (a 0)的图象上存在两点 A（ x1 ，y1 ），B（ x2 ，y2 ），
其中m 1 x1 m ，m + 2 x2 m + 4，且 y1 = y2 ，求m 的取值范围
27．已知，如图，△ABC是等边三角形．
（1）如图 1，将线段 AC绕点 A 逆时针旋转 90°，得到 AD，连接 BD，∠BAC 的平分线
交 BD 于点 E，连接 CE．
① 依题意补全图 1；
② 求∠AED的度数；
③ 求证： BD = 2AE + 2CE ．
（2）如图 2，将线段 AC绕点 A 顺时针旋转 90°，得到 AD，连接 BD，∠BAC 的平分线
交 DB 的延长线于点 E，连接 CE，直接用等式表示线段 AE，CE，BD 间的数量关
系．（不用证明）
A A
D
B C B C
E
图 1 图 2
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28.记二次函数 y = a(x b)
2 + c 和 y = a(x m)2 + n(a 0) 的图象分别为抛物线 G 和
G1 ．给出如下定义：若抛物线G1的顶点Q (m，n)在抛物线G 上，则称G1 是G 的伴随抛
物线．
（1）若抛物线 Q1 ： y = 2(x s)
2 + 2 和抛物线 Q2 ： y = 2(x 3)
2 + t 都是抛物线
y = 2x2 的伴随抛物线，则 s = ， t = ；
（2）设函数 y = x2 2kx + 2k + 3的图象为抛物线G 22 ．若函数 y = x + px + q的图象
为抛物线G3，且G2 始终是G3的伴随抛物线，
①求 p ， q 的值；
②若抛物线 G 2 与 x 轴有两个不同的交点 ( x ， 0 ) ， ( x ， 0 ) ( x ＜ x ) ，请直接写1 2 1 2
出 x 1的取值范围.
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