浙南名校联盟2024-2025高二寒假返校考数学试题（PDF版，含答案）

绝密★考试结束前
2024 学年第二学期浙南名校联盟寒假返校联考
高二年级数学学科 试题
命题：永康一中 审题：苍南中学
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填
涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知 v ( 3,1)是直线 l的一个方向向量，则 l的倾斜角是（ ）
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.若函数 f (x)满足 f ' (3) 1
f (3) f (3 x)
，则 lim （ ）
x 0 x
A.1 B. 2 C. 1 D. 2
3.若直线 l1 : x my 1 0与直线 l2 : (2m 1)x y 1 0平行，则m的值是（ ）
1 1 1
A. 1或 B. C.1或 D.1
2 2 2
4.若数列 an 满足 a1 2， an 1an an 1，则 a2025 （ ）
1
A. B.2 C.3 D. 1
2
5.过 A(2,0),B(0, 4),C(2, 4) 三点的圆的方程是（ ）
D′ C′
A（. x 1)2 (y 2)2 5 B′
A′
B（. x 1)2 (y 2)2 5
M
C（. x 1)2 (y 2)2 10 D C
B
D（. x 1)2 (y 2)2 10 A （题 6图）B
高二数学学科 试题 第 1页(共 4 页)
6.如图，在平行六面体 ABCD A B C D 中，底面 ABCD是正方形，AA =2AB，M是
CD中点， A AB A AD 120 ，则直线 AC 与 BM所成角的正弦值为（ ）
95 15 3 21
A. B. C.1 D.
10 5 14
7. 2已知点 A 2,0 ，点 P为圆C : x 2 y2 64上任意一点，线段 AP的垂直平
分线与CP相交于点Q，则△ACQ面积的最大值为（ ）
A. 4 2 B. 4 3 C.8 D. 4 5
a
8.若不等式 xe x 2x ln x 2a 2x e对任意正实数 x恒成立，则 a的取值范围为
（ ）
A. , 1 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对的
得部分分，有选错的得 0 分）
9.如右图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算
法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有 1个球，
第二层有 3个球，第三层有 6个球，…，依此类推.
设第 n层有 an 个球，从上往下 n层球的总数为 Sn，则（ ）
A. a6 20 B. S6 56
（题 9图）
1 1 1 1 2025
C. an 1 an n 1 D. a1 a2 a3 a2025 1013
10. C x2 y
2
已知双曲线 ： 1的渐近线分别为 l1，l2 ，P为双曲线C上一个动点，4
Q 2 5, 5 ，F 5,0 ，斜率为 1的直线与双曲线交于M ,N两点，平面内动点T
满足TM ,TN分别与 l1， l2 平行，则下面结论正确的是（ ）
A.点 F 到渐近线的距离为 2 B. PF PQ 的最小值为5 2 2
C.T 在直线 y 3x上 D. PT 2 51的最小值为
17
高二数学学科 试题 第 2页(共 4 页)
11.如图，异面直线 a,b相互垂直，点 A' , A分别为直线 a,b上的点，满足 A′A⊥a，A′A
⊥b，E、F分别为直线 a,b上的动点，M为线段 EF的中点， A′ E a
则下列说法中正确的是（ ）
A.若 A'E 1， AF 2， EF 3，则 A'A 2
B.若 A'A 3， A' A与 EF 所成角为30 ，则 EF 长度为定值
C.若 A'A 3， A' A与 EF 所成角为30 ，则M 的轨迹是圆 A
D.若 A'A 3， A' A与 EF 所成角为30 ，则VA' AEF 为定值 F b
非选择题部分
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12.函数 y ecos x的导函数为 y' ▲ .
13. a n已知数列 n 满足 an 1 1 an n，则 S20 ▲ .
14.设函数 f x ln x 2 ，若曲线 y f x 在点 x0 , f (x0 ) 处的切线与抛物线
y2 4x也相切，则 x0的值为 ▲ .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知直线 l : y x 1与圆 C: (x 3)2 y2 r 2 ．
（1）若圆 C上有且只有一个点到 l的距离为 1，求 r的值；
（2）设 N (x0 , y0 )是圆 C上的动点,若 3x0 y0 2 的最小值为 2，求 r的值.
16.（15分）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，且 an 1 Sn 2．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an 1之间插入 n个数，使这 n 2个数组成一个公差为 dn的等差数列，记
1
数列 的前 n项和Tn，求证：Tn 3.
dn
高二数学学科 试题 第 3页(共 4 页)
17.（15分）如图，矩形 ABCD中，AD 3, AB 3，E为 AD的三等分点（靠近D
点），将△ABE沿着 BE折起，使得点 A'在底面的射影 O落在 BD上，Q为线段
CA′上的动点．
(1)求证：平面 A′EC⊥平面 A′BD；

(2)若CQ CA '(0 1)，当 Q到平面 A′ED 15的距离为 时，求 的值．
5
18.（17分）已知抛物线C： y2 2px的焦点为 F ,直线 l与抛物线C交于
A x1, y1 ,B x2 , y2 两点， AF x1 1，点O为坐标原点，OA OB .
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线 l过定点，并求出该定点坐标；
(3)若点Q 2,0 ，直线 AQ,BQ分别与抛物线C相交于M ,N两点（异于 A,B两点），
S
记△ABQ的面积为 S1，记△MNQ
1
的面积为 S2，试判断 S 是否为定值，若为定值，2
则求出此定值；若不为定值，请说明理由.
1
19（. 17 分）设函数 f x x ln x，已知点 A0 0, ，过点 A3 n 0, yn 作曲线 y f x
的切线，与曲线 y f x 相切于点 Bn 1 xn 1, yn 1 .
f x
（1）证明： ≤ ex 2；
x
1 *
（2）证明：（i） xn n N ； （ii）数列 xn 单调递增；e
3 2（ ）记数列 xn 的前 n 项和为 Sn ，数列 xn 的前 n 项和为 Tn ，证明：
Sn 3T
3 e
n .3e
高二数学学科 试题 第 4页(共 4 页)
2024 年学年第二学期浙南名校联盟寒假返校联考
高二年级数学学科参考答案
命题：永康一中 联系人：卢 萍
审题：苍南中学 联系人：吴芬芬
选择题部分
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C D B C B D
二、多选题
9 10 11
BCD AD ABC
非选择题部分
三、填空题
12. sin x ecos x ；
13. 110 ；
14. 1 ；
四、解答题
3 0 1
15.（13分）解：（1）圆心 C（3,0）到直线 l : y x 1的距离为 d 2 2
12 12 …………3分
所以当 r 2 2 1时，圆 C上有且只有一个点到 l的距离为 1……………………………………5分
3x0 y0 2
（2） 3x0 y0 2 2 ，即圆 C上点 N x0 , y0 到直线 3x y 2 0的距离最 23 12
小值为 1.………………………………………………………………………………………………10分
3 3 0 2 3 3 2
因为圆心 C（3,0）到直线 3x y 2 0的距离为 d …………12分
23 1 2 2
所以 r 3 3 …………………………………………………………………………………………13分
2
16.（15分）（1）方法一：当 n 2时an Sn 1 2 ...........................................................................2分
an 1 an an，则 an 1 2an，......................................................................................................4分
an 为等比数列， 等比数列 an 的公比为 2，
1
当 n 1时 a2 S1 2 2a
n
1，解得： a1 2,an 2 ．.....................................................................7分
a2 a1q a1 2
方法二：设 an 公比为 q, an 为等比数列 2 ........................................3分
a3 a1q a1(1 q) 2
解得 q 0或 2 q 0， q 2， a1 2,an 2
n ............................................................................7分
a a n 1 n 1
（2）因为 an 2
n 2，所以d n 1 n n ， d 2n ，.....................................................9分n 1 n 1 n
T 1 1 1n 2
1
3 1 1 2 (n 1) d d d 2 2 2n ，1 2 n
1 Tn 2
1 1
2 3 3 (n 1)
1
n 1 ，...........................................................................................11分2 2 2 2
1 T 1 1 1 1所以 n 2 3 n (n 1)
1
n 1 .....................................................................................12分2 2 2 2 2
1
2 (1
1
n 1 )
1 2 2 n 1 3 1 n 1 1 n 1 n n 1 ...............................................................................14分1 2 2 2 2
2
3 n 3 n 3
n 1 ，所以Tn 3 n <3...........................................................................................15分2 2 2
17.（15分）（1）连接 CE、BD，CE∩BD=F.
∵A′点在底面的射影 O落在 BD上，∴A′O⊥平面 BCDE.
∵CE 平面 BCDE，∴A′O⊥CE. ..........................................................................................................2分
∵BC=3DE，∴ED=1，△DFE∽△BFC.∵矩形 ABCD，CD= 3，∴CE=2，BD= 2 3，
1 3
∴EF= ，DF= ，∴EF2+DF2=ED2，∴CE⊥BD，.........................................................................4分
2 2
∵A′O∩BD=O，A′O，BD 平面 A′BD，∴CE⊥平面 A′BD，...........................................................6分
∵CE 平面 A′EC，∴平面 A′EC⊥平面 A′BD.
（2）方法一：
过 A作 BE垂线交 BD于点 O，
| BO | 2 3求得 ,| DO | 4 3 , .......................................................7分
3 3
又 | A 'B | 3，所以 | A 'O | | A 'B |2 15 | BO |2 ,..........9分
3
设 C到面 A 'ED的距离为 dC A 'ED ，
2
V V , 1 d S 1C A 'ED A ' CED 即 C A 'ED A 'ED | A 'O | S CED , .............................................................11分3 3
S 1 3 3 CED 3 3 , ...................................................................................................................12分2 2
在 A 'ED中， | A 'D | 1 4 7 1 | A 'O |2 | DO |2 7,cos A 'ED ,
2 2 1 2
S 1 2 1 sin A 'ED 3 A 'ED , ..............................................................................................13分2 2
15
求得 dC A 'ED ，.....................................................................................................................14分3
dQ A 'ED
又 1 3 2 ,所以 . ...............................................................................................15分
dC A 'ED 5 5
方法二：以 C为原点，CD所在直线为 x轴，CB所在直线为 y轴建系如图.
x
y
C(0,0,0)，D( 3,0,0)， E( 3,1,0)， B(0,3,0)，..........................................................................8分
设O(x0 , y0 ,0) '
'
， A (x0 , y0 ,z0)，∵ A B 3 , A
'E 2，OB∥OD，
x 20 （y
2 2
0－3） z0 3

即 (x0 3)
2 （y－1）2 4 3 15 3 150 ，解得 x0 , y0 2, z0 ,即 A
' ( , 2, )，............10分
3 3 3 3
x0 y0 (3 y0 )( 3 x0 )

设平面 A′ED的法向量为 n (x, y, z)，

2 3 15 n DE 0 DE (0,1,0)，DA' ( , 2, )， ，解得 n ( 15,0,2 3) ....................12分
3 3 n DA
' 0
3 15 CQ ( , 2 , ) ,DQ ( 3 3,2 , 15 ) ,
3 3 3 3

15 3 3 2 3
15

3 3 15 ,......................................................................14分d
Q A'

ED 15 12 5
2解得 ...............................................................................................................................................15分
5
3
p
18.（17分）（1）由题： AF x1 1 x1 p 2 y
2 4x ............................................3分
2
（2）设直线 l方程为 x my t ,A x1, y1 ,B x 2, y 2 ，
x my t ,
联立直线 l与抛物线C的方程， 2 消去 x，得 y
2 4my 4t 0，故 y y = -4t .................5分
y 4x,
1 2
因为OA OB x1x2 y1y2 0又由于 A x1, y1 ,B x2 , y2 在抛物线上
y 2 2 2
x1 1 , x
y2 y1y2
2 y1y4 4 16 2
0
y1y2 16 4t t 4 ................................................................................................................7分
则直线 l方程为 x my 4，过定点 4,0 ............................................................................................8分
（2）由题Q 2,0 ，Q在直线 AM 上，设直线 AM 的方程为： x ny 2，
8
与抛物线方程联立为： y2 4ny 8 0，设C(x3, y3)，所以 y1y3 8即 y3 y ，................10分1
8
设D(x4 , y4 )，同理可得： y2 y4 8，即 y4 y ，...................................................................12分2
1
S AQ BQ sin AQB1 21 ，因为 AQB MQN，所以 sin AQB sin MQNS2 MQ NQ sin MQN
2
AQ y1 BQ y2 S1 y1 y2 y1y2
因为 , ，所以 ，....................................................15分
MQ y3 NQ y4 S2 y3 y4 y3y4
而 y
8 8
3 ， y4 ， y1y2 16y y ，1 2
S1 y1y2 y1y2 y 21y2 16 2
所以 ( 8) ( 8) 4
S1
，因此 S 为定值，定值为 4 ..............17分S2 y3y4 64 64 2
y1y2
1 1
19.（17分）（1）令函数 g x ln x ex 2 g ' x e ， ，故函数 g x 在 0, 上单调递增，
x e
1
在 , 上单调递减.因此 g x g 1 ≤ 0 1，当且仅当 x 时等号成立.…………………3分
e e e
4
（2）（i） f x 1定义域为 x 0, ， f ' x 1 ln x ；因此当 x 0, 时， f ' x 0，故 f x
e
1
单调递减；当 x , 时， f ' x 0，故 f x 单调递增.……………………………………5分
e
切线 AnBn 1的方程为 y yn 1 1 ln xn 1 x xn 1 ，将点 An 0, yn 坐标代入得 yn xn 1整理得
到 xn 1 xn ln xn .……………………………………………………………………………………7分
x 1n 1 xn ln x
1
n .e e
由（1）得 f x f 1 1 1≥ ，因此 x ≤ .……………………………………………………9分
e n 1 e e
1 1 1 1 1 *
其中等号成立当且仅当 xn ，即 xn x1 ，而 x1 y0 因此 x n N .e e e 3 n e
……………………………………………………………………………10分
（ii）由于 xn 0 n x 1 N* ， n 1 ln xn ln 1因此数列 xn 单调递增.……………13分xn xn
（3）由（1）得 ln x≤ ex 2；
所以 xn 1 xn ln xn xn exn 2 2x 2n exn 2x 2n 3xn ，…………………………………16分
（能用（1）的结论进行第一步放缩即得 3分）
1 1 3 e
累加求和可得 Sn 1 x1 2Sn 3Tn .所以 Sn 3Tn xn 1 x1 .…………………17分e 3 3e
5