浙江省丽水市2025届高三上期末考试数学试题（含解析）

浙江省丽水市2025届高三上期末考试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.复数为虚数单位，在复平面上对应的点不可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知点，向量，向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.若是数据，，，，，，，的第百分位数，则二项式的展开式的常数项是( )
A. B. C. D.
5.圆台上、下底面积分别为、，侧面积为，这个圆台的体积是( )
A. B. C. D.
6.记为数列的前项和，为数列的前项和，且数列是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是( )
A. 和均是等差数列 B. 是等差数列，不是等差数列
C. 不是等差数列，是等差数列 D. 和均不是等差数列
7.已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论一定正确的是( )
A. B. 为偶函数 C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.每年月日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：
二月 三月 四月 五月 六月
月份代码
月借阅量百册
根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 借阅量，，，，的下四分位数为
C. 与的线性相关系数
D. 七月的借阅量一定不少于百册
10.如图所示，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于，两点若点的横坐标为，点的纵坐标为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作则下列结论正确的是( )
A. 当，时，
B. 当，时，
C. 对任意三点，，，恒成立
D. 动点与定点满足的轨迹围成的面积是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
13.在中，内角，，的对边分别是，，，满足若，则的面积的最大值是 ．
14.已知，是双曲线的左，右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于，两点其中在轴上方，在轴下方，的内切圆半径为，的内切圆半径为若，则直线的斜率等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项数列的前项和为，且，，．
求数列的通项公式
设，求数列前项的和．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且．
求证：
是否存在实数，使得平面与平面的夹角余弦值为若存在，求出实数的值若不存在，请说明理由．
17.本小题分
某系统配置有个元件为正整数，每个元件正常工作的概率都是，且各元件是否正常工作相互独立如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作现将系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
当，时，求该系统正常工作的概率
现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提高了，还是降低了请给出你的结论，并说明理由．
18.本小题分
已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为，焦距为．
求椭圆的标准方程
如图，过点、作两直线、分别与椭圆相交于点、和点、．
(ⅰ)若点、不在坐标轴上，且，求直线的方程
(ⅱ)若直线、斜率都存在，且，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
牛顿法是世纪牛顿在流数法与无穷级数一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值一直继续下去，得到，，，，一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列．
若函数的零点为，求的次近似值
设，是函数的两个零点，数列为函数的牛顿数列，数列满足，．
(ⅰ)求证：数列为等比数列
(ⅱ)证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
由，，
得，，
，或，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
因为复数，
其在复平面内对应的点为，
若在第一象限，
若在第二象限，
若在第三象限，
若在第四象限，
所以复数为虚数单位，在复平面上对应的点不可能在第二象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】
由，，，
则，
所以，
故．
故选：．
4.【答案】
【解析】
排序后数据为，，，，，，，共个数，
由，
所以第百分位数为第项和第项的平均值，即，
所以二项式的展开式中常数项为．
故选：．
5.【答案】
【解析】
设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，高为，轴截面如图所示．
由题意，得，所以，．
由，得．
所以．
所以圆台的体积．
故选B．
6.【答案】
【解析】
由数列是首项不等于公差的等差数列，设公差为，则，
则其通项公式为，
当时，，
而，由于，
所以数列不是等差数列．
数列，
则的前项和，
由，
所以数列是等差数列．
综上所述，不是等差数列，是等差数列．
故选：．
7.【答案】
【解析】
由，则，同理，
因为，所以，
因为恒成立，
所以．
由，
，
则，
所以，
即，
因为，
所以时，．
故选：．
8.【答案】
【解析】
为偶函数，
，
的图象关于直线对称，
为奇函数，
，
的图象关于点中心对称，
，
的图象关于直线对称，
项，令，，的值无法确定，的值也无法确定，所以故A错误
项，，
，
不是偶函数，故B错误
项，的图象关于直线和直线对称，
，故C正确
项，的图象关于直线对称，
在两侧的斜率互为相反数，
，
的图象关于直线对称，
在两侧的斜率互为相反数，
，
，
由，得则，
所以的图象关于点对称，
的周期为，
的图象关于点中心对称，
的图象关于点中心对称，
，故D错误．
故选C．
9.【答案】
【解析】
对于，因为 ，
，
所以 ，得 ，
所以A正确；
对于，因为，
所以借阅量，，，，的下四分位数为，所以B错误；
对于，因为，所以与的线性相关系数，所以C正确；
对于，由选项A可知线性回归方程为 ，
当时， ，
所以七月的借阅量约为百册，所以D错误．
故选AC．
10.【答案】
【解析】
因为点在单位圆上，已知点的横坐标为，所以，
因为为锐角，则，
那么．
因为点的纵坐标为，因为点在单位圆上，为钝角，所以，
可得，
．
对于，由上述分析可知，，故A正确
对于，由
，故B错误
对于，
，故C正确
对于，，
，
，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
对于，由，，因为，，
根据定义，所以，故A正确
对于，设直线上一点，
则，
当时，即，
即，解得，
此时，
在上，时，取得最小值
当时，即，
即，解得或，
此时，
当时，取得最小值，
所以，故B正确
对于，设，，，
则
，
同理可得，
所以．
当取，，，则，
，，
此时，故C错误
对于，由动点与定点满足，即，
则或
故或
动点与定点满足的轨迹围成的面积是，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】
随机变量服从正态分布，
曲线关于对称，
，
，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
在中，
，
，
即，
，
，
，即．
因为，
故以边所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
设，，，，
由，，，得，
，
整理得：，
边上的高的最大值为，
所以．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
如图所示：设的内切圆圆心为，并且与三边的切点分别，
因为，
所以点在双曲线上，并且为双曲线的左顶点，
所以圆心在直线上，
同理的内切圆圆心也在直线上，
设直线的倾斜角为，
则，，并且，
因为，，而，
所以，，
所以，
因此直线的斜率等于．
故答案为：．
15.【解析】
因为，，且，
当时，，或舍去
当时，，
上述两式相减，
整理得，
又，
所以，
所以是以为首项，公差为的等差数列，
由知，
所以，
．
16. 【解析】
证明：连接，
因为在三棱柱中，
所以四边形为平行四边形，
因为 ，
所以四边形为菱形，
所以，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，平面，，
所以平面，
因为平面，
所以；
如图，以的中点为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，，，
设，
则，
记平面的法向量，，
则
即，
得，
易得平面的法向量，
由题意：，，
解得：或，
经验证，或均符合题意．
17. 【解析】
记系统正常工作的概率为，
当，时，系统共有个元件，
由题意可得；
系统配置有个元件时，记系统正常工作的概率为，
当前有个元件，记系统正常工作的概率为，
考虑前个元件：
第一种情况：前个元件恰有个元件正常工作，
则，
第二种情况：前个元件恰有个元件正常工作，
则，
第三种情况：前个元件至少有个元件正常工作，
则，
所以，，
，
故当时，系统可靠性不变，
当时，系统可靠性降低，
当时，系统可靠性提高．
18.【解析】
由题意得，，
故，，
故椭圆的标准方程为；
设，的倾斜角为，的倾斜角为，
则，，所以，
又，，
所以，
由题意的斜率不为零，设，
联立，得，
恒成立，
设，，
则，，
又，所以，
即，
整理得，
所以，
因为，所以，
所以的方程为；
设，，，，，
联立，化简得，
故恒成立，
所以，，
，
因为，所以，
所以
，
所以当，即时，四边形面积的最小值为．
19.【解析】
因为的零点为，
所以，
过点作曲线的切线为，
令，得，
过点作曲线的切线为，
令，得，
的次近似值为；
因为，是函数的两个零点，
则过点作曲线的切线，
其中，
令，得，
，
，
，，
，
于是，，故数列为等比数列
由题意可得：，记，则，
由，可得：，
即，
所以，
即，
．
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