知识必备01 数与式（4大模块知识清单 3种方法清单 8种易错清单 40个考试清单真题专练）（含解析）
文档属性
| 名称 | 知识必备01 数与式（4大模块知识清单 3种方法清单 8种易错清单 40个考试清单真题专练）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 7.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-21 18:23:05 | ||
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文档简介
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知识必备01 数与式
方法一：实数计算中的规律问题的解决方法
一．选择题（共1小题）
1．（2022 牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
二．填空题（共3小题）
2．（2022 怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是 ________．
3．（2022 鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 ____．
4．（2023 甘孜州）有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝，则a2023的值为 ______．
方法二：有关实数与数轴的应用题的解决方法
一．选择题（共5小题）
1．（2023 徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|
2．（2023 自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
3．（2022 广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
4．（2023 杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023 菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0
二．填空题（共2小题）
6．（2023 湘潭）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 _________．（写出一个即可）
7．（2023 连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b _____0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
方法三：化简求值问题的解决方法
一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
1．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
2．（2023 邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
3．（2022 广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
4．（2022 盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
二．分式的化简求值（共14小题）
5．（2023 湘潭）先化简，再求值：（1+） ，其中x＝6．
6．（2023 广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
7．（2023 黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
8．（2023 湘西州）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣1．
9．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
10．（2023 宿迁）先化简，再求值：，其中．
11．（2023 辽宁）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．
12．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
13．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
14．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
15．（2023 鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
16．（2023 吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值：，其中a＝100． 解：原式＝ ……
17．（2023 随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．
18．（2023 枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
1．（2023 无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣9
易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
2．（2023 恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣
3．（2023 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6 D．（﹣2ab）2＝4ab2
4．（2023 恩施州）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7
5．（2023 鞍山）下列运算正确的是（ ）
A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4
C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（2023 临沂）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3 2a2＝6a5
7．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 _________．
8．（2023 黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝________．
9．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
10．（2023 济宁）计算：．
易错点3：整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的应用.
11．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
12．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
易错点4：因式分解
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
13．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
14．（2023 恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝____________．
15．（2023 常州）分解因式：x2y﹣4y＝_______________．
易错点5：分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
16．（2023 贵州）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
17．（2023 新疆）要使分式有意义，则x需满足的条件是 _________．
18．（2023 北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
易错点6：分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
20．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
21．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
22．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
23．（2023 日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
易错点7：二次根式的运算
24．（2023 恩施州）计算：×＝_______．
25．（2023 潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 _____________．（只需写出一种结果）
26．（2023 天津）计算的结果为 _________．
易错点8：数与式的变化规律
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程
27．（2023 台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者（ ）
A．11 B．15 C．30 D．33
28．（2023 岳阳）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 __________．
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
30．（2023 内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
31．（2023 济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．2
一．正数和负数（共1小题）
1．（2023 衡阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（ ）
A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474 元
二．有理数（共1小题）
2．（2023 江西）下列各数中，正整数是（ ）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
三．相反数（共2小题）
3．（2023 青岛）的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
4．（2023 赤峰）化简﹣（﹣20）的结果是（ ）
A．﹣ B．20 C． D．﹣20
四．绝对值（共1小题）
5．（2023 鞍山）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
五．有理数大小比较（共2小题）
6．（2023 湖州）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
7．（2023 成都）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B．﹣7 C．0 D．
六．有理数的加法（共1小题）
8．（2023 青海）计算2+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
七．非负数的性质：偶次方（共1小题）
9．（2023 西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023
八．有理数的混合运算（共2小题）
10．（2023 杭州）（﹣2）2+22＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
11．（2023 随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝________．
九．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
12．（2023 成都）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011
十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
13．（2023 攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.23×10﹣7 B．2.3×10﹣8 C．2.3×10﹣9 D．23×10﹣9
十一．无理数（共1小题）
14．（2023 荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．3.14
十二．实数的性质（共1小题）
15．（2023 大庆）实数2023的相反数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
十三．实数与数轴（共2小题）
16．（2023 淮安）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜2 C．a＞b D．﹣a＜b
17．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 __2﹣1__．
一十四．实数大小比较（共2小题）
18．（2023 黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
19．（2023 甘孜州）比较大小： _________2．（填“＜”或“＞”）
十五．估算无理数的大小（共2小题）
20．（2023 荆州）已知k＝（+） （﹣），则与k最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21．（2023 重庆）估计×（﹣）的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
十六．实数的运算（共4小题）
22．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
23．（2023 北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
24．（2023 内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．
25．（2023 长沙）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
十七．代数式求值（共1小题）
26．（2023 宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝____毫米．
十八．规律型：图形的变化类（共2小题）
27．（2023 重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
28．（2023 重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
十九．整式的加减（共1小题）
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
二十．整式的加减—化简求值（共1小题）
30．（2023 沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 _________．
二十一．同底数幂的乘法（共1小题）
31．（2023 湖州）计算a3 a的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
二十二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
32．（2023 衡阳）计算（x3）2的结果正确的是（ ）
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
二十三．同底数幂的除法（共1小题）
33．（2023 无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2
二十四．完全平方公式（共1小题）
34．（2023 日照）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
二十五．平方差公式（共3小题）
35．（2023 黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7
36．（2023 湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝_________．
37．（2023 无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
二十六．整式的混合运算（共1小题）
38．（2023 长沙）下列计算正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x3）3＝x6
C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
二十七．整式的混合运算—化简求值（共2小题）
39．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
40．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
二十八．因式分解的意义（共1小题）
41．（2023 台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（ ）
A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9
二十九．因式分解-提公因式法（共1小题）
42．（2023 苏州）因式分解：a2+ab＝_________．
三十．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
43．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
三十一．因式分解的应用（共1小题）
44．（2023 十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 _________．
三十二．分式的值为零的条件（共1小题）
45．（2023 凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
三十三．约分（共1小题）
46．（2023 兰州）计算：＝（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
三十四．分式的乘除法（共1小题）
47．（2023 河北）化简的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
三十五．分式的加减法（共1小题）
48．（2023 天津）计算的结果等于（ ）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
三十六．分式的混合运算（共3小题）
49．（2023 绥化）化简：（﹣）÷＝_________．
50．（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 _______，乙同学解法的依据是 _______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
51．（2023 重庆）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+）÷．
三十七．分式的化简求值（共5小题）
52．（2023 绵阳）（1）计算：﹣4|sin60°|+﹣（2023﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中．
53．（2023 淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
54．（2023 朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．
55．（2023 益阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
56．（2023 宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
三十八．零指数幂（共1小题）
57．（2023 攀枝花）计算﹣10，以下结果正确的是（ ）
A．﹣10＝﹣1 B．﹣10＝0 C．﹣10＝1 D．﹣10无意义
三十九．二次根式有意义的条件（共2小题）
58．（2023 金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
59．（2023 徐州）若有意义，则x的取值范围是 _________．
四十．二次根式的化简求值（共1小题）
60．（2023 河北）若，，则＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
知识必备01 数与式
方法一：实数计算中的规律问题的解决方法
一．选择题（共1小题）
1．（2022 牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利用规律解决问题．
二．填空题（共3小题）
2．（2022 怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 __744__．
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数 第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【解答】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
第n行有n个数．
∴前n行共有个数．
∴前27行共有378个数，
∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2＝744．
故答案为：744．
【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．
3．（2022 鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 ____．
【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n＝30时即可求解．
【解答】解：∵，，，……，
∴第n个数是，
当n＝30时，＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．
4．（2023 甘孜州）有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝，则a2023的值为 __2__．
【分析】分别计算出ai（i为正整数），根据所发现的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
a1＝2，
，
，
，
…
由此可知，
．
所以a2023＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据计算出的ai（i为正整数）的值发现规律是解题的关键．
方法二：有关实数与数轴的应用题的解决方法
一．选择题（共5小题）
1．（2023 徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|
【分析】结合数轴得出a，b，c，d四个数的绝对值大小进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，
则|a|＞|d|＞|b|＞|c|，
其中值最小的是|c|，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键．
2．（2023 自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2022 广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】关于原点对称的数是互为相反数．
【解答】解：∵关于原点对称的数是互为相反数，
又∵1和﹣1是互为相反数，
故选：C．
【点评】本题考查数轴和相反数的知识，掌握基本概念是解题的关键．
4．（2023 杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a，b的范围，可得a×b的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴﹣1＜a×b＜0，
即﹣1＜c＜0，
那么点C应在﹣1和0之间，
则A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得﹣1＜a×b＜0是解题的关键．
5．（2023 菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0
【分析】由数轴可得a＜0＜b＜c，然后得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系，再根据有理数乘法法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，
则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，
那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，
则A，B，D均不符合题意，C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，结合数轴得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2023 湘潭）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 __0（答案不唯一）__．（写出一个即可）
【分析】数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，然后写出其中的一个整数即可．
【解答】解：数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，
则其中的整数为0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023 连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b __＜__0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
则a+b＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查实数与数轴及其加法法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
方法三：化简求值问题的解决方法
一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
1．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2023 邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式＝＝24．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
3．（2022 广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则，注意平方差公式的应用．
4．（2022 盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
二．分式的化简求值（共14小题）
5．（2023 湘潭）先化简，再求值：（1+） ，其中x＝6．
【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝6时，
原式＝＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，将分式化简为是解题的关键．
6．（2023 广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝
＝．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
7．（2023 黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
【分析】利用分式的运算法则先化简分式，再代入特殊角的函数值确定m，最后利用二次根式的性质得结论．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝．
当m＝tan60°﹣1＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
8．（2023 湘西州）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把a的值代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝a+1，
当时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（2023 宿迁）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣1，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
11．（2023 辽宁）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．
【分析】先对原式进行化简，然后把m的值代入化简后的算式进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∴当m＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的应用，熟练掌握分式化简求值的方法和步骤是解题关键．
12．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）
＝
＝
＝
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2023 鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
【分析】先利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（2023 吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值：，其中a＝100． 解：原式＝ ……
【分析】由题意先求得M，然后将分式进行化简，最后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：由题意可得＝＝，
则M＝a，
那么﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
当a＝100时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，由已知条件求得M的值是解题的关键．
17．（2023 随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：÷
＝
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（2023 枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．
【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．
【解答】解：（a﹣）÷
＝（a﹣）
＝a ﹣
＝﹣1
＝，
∵a2﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±1，a≠0，
∴a＝2，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出a≠±1，a≠0．
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
1．（2023 无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣9
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：实数9的算术平方根是3，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
2．（2023 恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，
∴1＞，
∴﹣1＜﹣，
在﹣1，0，，﹣这四个数中，
∵﹣1＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
3．（2023 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6 D．（﹣2ab）2＝4ab2
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可；选项C、D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：A．2a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B．a3÷a＝a2，故本选项不符合题意；
C．（﹣m2）3＝﹣m6，故本选项符合题意；
D．（﹣2ab）2＝4a2b2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的相关运算法则是解答本题的关键．
4．（2023 恩施州）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7
【分析】依据题意，由完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解．
【解答】解：由题意，对于A选项，（m﹣1）2＝m2﹣2m+1≠m2﹣1，
∴A选项错误，不符合题意．
对于B选项，（2m）3＝8m3≠6m3，
∴B选项错误，不符合题意．
对于C选项，m7÷m3＝m4，
∴C选项正确，符合题意．
对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并，
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解．
5．（2023 鞍山）下列运算正确的是（ ）
A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4
C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（4ab）2＝16a2b2，故A不符合题意；
B、2a2+a2＝3a2，故B不符合题意；
C、a6÷a4＝a2，故C符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2023 临沂）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3 2a2＝6a5
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、3a3 2a2＝6a5，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 __2﹣1__．
【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB＝，
∴点B表示的数是﹣1+，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC＝AB＝，
∴点C表示的数是：﹣1+＝2﹣1，
故答案为：2﹣1．
【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
8．（2023 黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝__9__．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°
＝9+1﹣2×
＝9+1﹣1
＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
9．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
【分析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：由题意，原式＝2+4×﹣1
＝2+2﹣1
＝3．
【点评】本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2023 济宁）计算：．
【分析】根据实数的运算进行计算．
【解答】解：
＝2
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负指数的知识，难度不大．
易错点3：整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的应用.
11．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
12．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错点4：因式分解
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
13．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
【分析】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．
【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；
故A不正确，不符合题意．
（B）m3+m＝m（m2+1）；
故B正确，符合题意．
（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
故CD不正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
14．（2023 恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝__（a﹣1）2__．
【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2，
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（2023 常州）分解因式：x2y﹣4y＝__y（x+2）（x﹣2）__．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：x2y﹣4y
＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2），
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
易错点5：分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
16．（2023 贵州）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．
17．（2023 新疆）要使分式有意义，则x需满足的条件是 __x≠5__．
【分析】根据分母不为0可得：x﹣5≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
18．（2023 北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，
∴x+2y＝1，
∴＝
＝
＝
＝2，
∴的值为2．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
易错点6：分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）
＝
＝
＝
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2023 日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°
＝2﹣（﹣1）+﹣2×
＝2﹣+1+﹣
＝；
（2）（﹣x）÷
＝
＝
＝
＝2（x﹣2）
＝2x﹣4，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错点7：二次根式的运算
24．（2023 恩施州）计算：×＝__6__．
【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：×＝
＝
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
25．（2023 潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 __﹣2（答案不唯一）__．（只需写出一种结果）
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：若“□”是﹣，“〇”是，则 （﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；
若“□”是﹣，“〇”是，则 （﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；
若“□”是，“〇”是，则 （+）2÷＝（9+2）÷＝+6；
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．（2023 天津）计算的结果为 __1__．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝（）2﹣（）2
＝7﹣6
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
易错点8：数与式的变化规律
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程
27．（2023 台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者（ ）
A．11 B．15 C．30 D．33
【分析】因为等差数列1，2，3，4，5，则公差为1，插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，可知：插入的新数个数是4的倍数，由此可作判断．
【解答】解：根据题意可知：有4个位置插入一些数，
∴插入的新数个数是4的倍数，
∵11﹣5＝6，15﹣5＝10，30﹣5＝25，33﹣5＝28，
又知28是4的倍数，
∴新的数列的项数可能为33．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列，数字的变化类的规律问题，确定插入的新数个数是4的倍数是解本题的关键．
28．（2023 岳阳）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 __n2﹣n＝n（n﹣1）__．
【分析】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积．
【解答】解：12﹣1＝1×0；
22﹣2＝2×1；
32﹣3＝3×2；
42﹣4＝4×3；
52﹣5＝5×4；
…；
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．
故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）．
【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，
∵2025÷6＝337…3，
∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
30．（2023 内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
【分析】分别计算f（1），f（2），f（3），…，f（），f（），…，相加后可解答．
【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，
∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，
f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）
＝2×100+1
＝201．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义，数字类规律问题，根据代入求值并找出规律是解本题的关键．
31．（2023 济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．2
【分析】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解．
【解答】解：由题意得，
a1＝2，
a2＝＝＝﹣3，
a3＝＝＝﹣，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
……，
∴an的值按照2，﹣3，﹣，，……4次一个循环周期的规律出现，
∵2023÷4＝505……3，
∴a2023的值是﹣，
故选：A．
【点评】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现an的规律．
一．正数和负数（共1小题）
1．（2023 衡阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（ ）
A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474 元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．
【解答】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作﹣237元，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
二．有理数（共1小题）
2．（2023 江西）下列各数中，正整数是（ ）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
【分析】整数和分数统称为有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，据此进行判断即可．
【解答】解：A．3是正整数，
则A符合题意；
B．2.1是有限小数，即为分数，
则B不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，
则C不符合题意；
D．﹣2是负整数，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的分类，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
三．相反数（共2小题）
3．（2023 青岛）的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【分析】根据实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：A．
【点评】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．（2023 赤峰）化简﹣（﹣20）的结果是（ ）
A．﹣ B．20 C． D．﹣20
【分析】根据相反数的含义以及求法，求出化简﹣（﹣20）的结果即可．
【解答】解：﹣（﹣20）＝20．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
四．绝对值（共1小题）
5．（2023 鞍山）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【分析】依据题意，由绝对值的性质即可得解．
【解答】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，
∴|﹣2023|＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质，解题时需要熟练掌握并理解．
五．有理数大小比较（共2小题）
6．（2023 湖州）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1，
∴﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．
7．（2023 成都）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B．﹣7 C．0 D．
【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解．
【解答】解：∵﹣7＜0＜＜3，
∴最大的数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
六．有理数的加法（共1小题）
8．（2023 青海）计算2+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【分析】依据有理数的加法法则进行计算即可．
【解答】解：2+（﹣3）＝﹣（3﹣2）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，熟记法则是解题的关键．
七．非负数的性质：偶次方（共1小题）
9．（2023 西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
八．有理数的混合运算（共2小题）
10．（2023 杭州）（﹣2）2+22＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．
【解答】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．
11．（2023 随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝__0__．
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，后计算加法即可．
【解答】解：（﹣2）2+（﹣2）×2
＝4+（﹣4）
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解答本题的关键．
九．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
12．（2023 成都）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011
【分析】运用科学记数法进行变形、求解．
【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
13．（2023 攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.23×10﹣7 B．2.3×10﹣8 C．2.3×10﹣9 D．23×10﹣9
【分析】根据科学记数法的记数规则判断正误即可．
【解答】解：0.000000023＝2.3×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的记数规则是本题的关键．
十一．无理数（共1小题）
14．（2023 荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．3.14
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
十二．实数的性质（共1小题）
15．（2023 大庆）实数2023的相反数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】运用知识点：实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解答】解：由题意得，
实数2023的相反数是﹣2023，
故选：B．
【点评】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用相反数的定义进行求解．
十三．实数与数轴（共2小题）
16．（2023 淮安）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜2 C．a＞b D．﹣a＜b
【分析】由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，于是有a＜b，﹣a＜b，逐一判断即可．
【解答】解：由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴a＜b，﹣a＜b，
∴A选项不符合题意，
B选项不符合题意，
C选项不符合题意，
D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，观察数轴得出a、b的范围是解题的关键．
17．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 __2﹣1__．
【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB＝，
∴点B表示的数是﹣1+，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC＝AB＝，
∴点C表示的数是：﹣1+＝2﹣1，
故答案为：2﹣1．
【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
十四．实数大小比较（共2小题）
18．（2023 黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
【分析】结合数轴表示确定实数a与b的符号和大小．
【解答】解：由题意得，
a＜0＜b，
∴a＜b，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确运用该知识和数轴知识进行求解．
19．（2023 甘孜州）比较大小： __＞__2．（填“＜”或“＞”）
【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
十五．估算无理数的大小（共2小题）
20．（2023 荆州）已知k＝（+） （﹣），则与k最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平方差公式进行计算，然后估算即可．
【解答】解：∵k＝（+） （﹣）＝×2＝2，
而1.4＜＜1.5，
∴2.8＜2＜3，
∴与k最接近的整数是3，
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式．
21．（2023 重庆）估计×（﹣）的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先化简题干中的式子得到﹣1，明确的范围，利用不等式的性质求出﹣1的范围得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1．
∵5＜＜6．
∴4＜﹣1＜5．
故选：A．
【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．
十六．实数的运算（共4小题）
22．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
【分析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：由题意，原式＝2+4×﹣1
＝2+2﹣1
＝3．
【点评】本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．（2023 北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2
＝2+3+2﹣2
＝5．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
24．（2023 内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×
＝2﹣2+1+4﹣1
＝2+2．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．
25．（2023 长沙）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝+1﹣2×﹣2
＝+1﹣﹣2
＝﹣1．
【点评】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键．
十七．代数式求值（共1小题）
26．（2023 宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝__50__毫米．
【分析】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．
【解答】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，
当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），
当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），
当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），
当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），
当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），
……
所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，
当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米），
故答案为：50．
【点评】此题主要是考查了列代数式，代数式求值，能够根据题意列出代数式是解答此题的关键．
十八．规律型：图形的变化类（共2小题）
27．（2023 重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，
图案②有：4+5×2＝14根小木棒，
图案③有：4+5×3＝19根小木棒，
…，
∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，
∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，
故选：B．
【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．（2023 重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，
第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，
第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
十九．整式的加减（共1小题）
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，
∵2025÷6＝337…3，
∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
二十．整式的加减—化简求值（共1小题）
30．（2023 沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 __2__．
【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代入可得结果．
【解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键．
二十一．同底数幂的乘法（共1小题）
31．（2023 湖州）计算a3 a的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：a3 a＝a3+1＝a4，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
二十二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
32．（2023 衡阳）计算（x3）2的结果正确的是（ ）
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝×x3×2＝x6．
故选：B．
【点评】本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用．
二十三．同底数幂的除法（共1小题）
33．（2023 无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可．
【解答】解：A．a2×a3＝a5，故本选项不符合题意；
B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C．（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；
D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
二十四．完全平方公式（共1小题）
34．（2023 日照）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【分析】分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果．
【解答】解：A．a2 a3＝a2+3＝a5，所以A运算错误；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B运算正确；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C运算错误；
D．2ab与3a2b不是同类项，所以不能合并计算，所以D运算错误．
故选：B．
【点评】此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．
二十五．平方差公式（共3小题）
35．（2023 黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7
【分析】分别对四个选项进行分析．
【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，所以A错误；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，所以B错误；
（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4，所以C正确；
（a5）2＝a10，所以D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大．
36．（2023 湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝__a2﹣1__．
【分析】直接利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案为：a2﹣1．
【点评】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
37．（2023 无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；
（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二十六．整式的混合运算（共1小题）
38．（2023 长沙）下列计算正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x3）3＝x6
C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．
【解答】解：A、x2 x3＝x5，本选项符合题意；
B、（x3）3＝x9≠x6，本选项不符合题意；
C、x（x+1）＝x2+x，本选项不符合题意；
D、（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1≠4a2﹣1，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二十七．整式的混合运算—化简求值（共2小题）
39．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
当x＝﹣1，y＝﹣1时，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
40．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
二十八．因式分解的意义（共1小题）
41．（2023 台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（ ）
A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9
【分析】根据平方差公式因式分解可得答案．
【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6），
∴x﹣6是多项式x2﹣36的因式．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解答本题的关键．
二十九．因式分解-提公因式法（共1小题）
42．（2023 苏州）因式分解：a2+ab＝__a（a+b）__．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2+ab＝a（a+b）．
故答案为：a（a+b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
三十．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
43．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
【分析】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．
【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；
故A不正确，不符合题意．
（B）m3+m＝m（m2+1）；
故B正确，符合题意．
（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
故CD不正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
三十一．因式分解的应用（共1小题）
44．（2023 十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 __6__．
【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入数据计算即可．
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式xy，出现两个整体xy、x+y是关键，代入数据计算即可．
三十二．分式的值为零的条件（共1小题）
45．（2023 凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
三十三．约分（共1小题）
46．（2023 兰州）计算：＝（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【分析】先把分式的分子因式分解，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝a，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
三十四．分式的乘除法（共1小题）
47．（2023 河北）化简的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
【解答】解：x3（）2
＝x3
＝xy6，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．
三十五．分式的加减法（共1小题）
48．（2023 天津）计算的结果等于（ ）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
【分析】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可．
三十六．分式的混合运算（共3小题）
49．（2023 绥化）化简：（﹣）÷＝____．
【分析】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]
＝[﹣]
＝
＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了分式混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
50．（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 __②__，乙同学解法的依据是 __③__；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
（+）
＝+
＝+
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点评】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
51．（2023 重庆）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+）÷．
【分析】（1）按照单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式进行计算即可；
（2）按照分式的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）x（x+6）+（x﹣3）2
＝x2+6x+x2﹣6x+9
＝2x2+9；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键，计算时一定要细心．
三十七．分式的化简求值（共5小题）
52．（2023 绵阳）（1）计算：﹣4|sin60°|+﹣（2023﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂计算计算；
（2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+3﹣1
＝2﹣2+2
＝2；
（2）原式＝（+）
＝
＝，
当x＝+2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
53．（2023 淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
【分析】根据分式的减法法则、乘法法则把原式化简，把a的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
54．（2023 朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[+]
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
55．（2023 益阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先将括号内通分，同时把除法变成乘法，再约分化简，把x的值代入可得结果．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝．
当x＝﹣1时，原式＝．
【点评】此题主要是考查了分式的化简求值，二次根式的运算，能够熟练掌握运算法则是解题的关键．
56．（2023 宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ +3
＝ +3
＝a+3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
三十八．零指数幂（共1小题）
57．（2023 攀枝花）计算﹣10，以下结果正确的是（ ）
A．﹣10＝﹣1 B．﹣10＝0 C．﹣10＝1 D．﹣10无意义
【分析】非零底数的零指数幂的值为1，据此解答即可．
【解答】解：∵10＝1，
∴﹣10＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查零指数幂，掌握它的适用条件是本题的关键．
三十九．二次根式有意义的条件（共2小题）
58．（2023 金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
则x的值可以是2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
59．（2023 徐州）若有意义，则x的取值范围是 __x≥3__．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0解答即可．
【解答】解：若有意义，
则x﹣3≥0，
∴x≥3，
即x的取值范围是x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知：若有意义，则a≥0．
四十．二次根式的化简求值（共1小题）
60．（2023 河北）若，，则＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】把a、b的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴＝＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
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知识必备01 数与式
方法一：实数计算中的规律问题的解决方法
一．选择题（共1小题）
1．（2022 牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
二．填空题（共3小题）
2．（2022 怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是 ________．
3．（2022 鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 ____．
4．（2023 甘孜州）有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝，则a2023的值为 ______．
方法二：有关实数与数轴的应用题的解决方法
一．选择题（共5小题）
1．（2023 徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|
2．（2023 自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
3．（2022 广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
4．（2023 杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023 菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0
二．填空题（共2小题）
6．（2023 湘潭）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 _________．（写出一个即可）
7．（2023 连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b _____0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
方法三：化简求值问题的解决方法
一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
1．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
2．（2023 邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
3．（2022 广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
4．（2022 盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
二．分式的化简求值（共14小题）
5．（2023 湘潭）先化简，再求值：（1+） ，其中x＝6．
6．（2023 广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
7．（2023 黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
8．（2023 湘西州）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣1．
9．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
10．（2023 宿迁）先化简，再求值：，其中．
11．（2023 辽宁）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．
12．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
13．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
14．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
15．（2023 鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
16．（2023 吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值：，其中a＝100． 解：原式＝ ……
17．（2023 随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．
18．（2023 枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
1．（2023 无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣9
易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
2．（2023 恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣
3．（2023 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6 D．（﹣2ab）2＝4ab2
4．（2023 恩施州）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7
5．（2023 鞍山）下列运算正确的是（ ）
A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4
C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（2023 临沂）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3 2a2＝6a5
7．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 _________．
8．（2023 黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝________．
9．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
10．（2023 济宁）计算：．
易错点3：整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的应用.
11．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
12．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
易错点4：因式分解
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
13．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
14．（2023 恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝____________．
15．（2023 常州）分解因式：x2y﹣4y＝_______________．
易错点5：分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
16．（2023 贵州）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
17．（2023 新疆）要使分式有意义，则x需满足的条件是 _________．
18．（2023 北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
易错点6：分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
20．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
21．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
22．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
23．（2023 日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
易错点7：二次根式的运算
24．（2023 恩施州）计算：×＝_______．
25．（2023 潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 _____________．（只需写出一种结果）
26．（2023 天津）计算的结果为 _________．
易错点8：数与式的变化规律
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程
27．（2023 台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者（ ）
A．11 B．15 C．30 D．33
28．（2023 岳阳）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 __________．
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
30．（2023 内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
31．（2023 济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．2
一．正数和负数（共1小题）
1．（2023 衡阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（ ）
A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474 元
二．有理数（共1小题）
2．（2023 江西）下列各数中，正整数是（ ）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
三．相反数（共2小题）
3．（2023 青岛）的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
4．（2023 赤峰）化简﹣（﹣20）的结果是（ ）
A．﹣ B．20 C． D．﹣20
四．绝对值（共1小题）
5．（2023 鞍山）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
五．有理数大小比较（共2小题）
6．（2023 湖州）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
7．（2023 成都）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B．﹣7 C．0 D．
六．有理数的加法（共1小题）
8．（2023 青海）计算2+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
七．非负数的性质：偶次方（共1小题）
9．（2023 西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023
八．有理数的混合运算（共2小题）
10．（2023 杭州）（﹣2）2+22＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
11．（2023 随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝________．
九．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
12．（2023 成都）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011
十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
13．（2023 攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.23×10﹣7 B．2.3×10﹣8 C．2.3×10﹣9 D．23×10﹣9
十一．无理数（共1小题）
14．（2023 荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．3.14
十二．实数的性质（共1小题）
15．（2023 大庆）实数2023的相反数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
十三．实数与数轴（共2小题）
16．（2023 淮安）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜2 C．a＞b D．﹣a＜b
17．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 __2﹣1__．
一十四．实数大小比较（共2小题）
18．（2023 黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
19．（2023 甘孜州）比较大小： _________2．（填“＜”或“＞”）
十五．估算无理数的大小（共2小题）
20．（2023 荆州）已知k＝（+） （﹣），则与k最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
21．（2023 重庆）估计×（﹣）的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
十六．实数的运算（共4小题）
22．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
23．（2023 北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
24．（2023 内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．
25．（2023 长沙）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
十七．代数式求值（共1小题）
26．（2023 宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝____毫米．
十八．规律型：图形的变化类（共2小题）
27．（2023 重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
28．（2023 重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
十九．整式的加减（共1小题）
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
二十．整式的加减—化简求值（共1小题）
30．（2023 沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 _________．
二十一．同底数幂的乘法（共1小题）
31．（2023 湖州）计算a3 a的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
二十二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
32．（2023 衡阳）计算（x3）2的结果正确的是（ ）
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
二十三．同底数幂的除法（共1小题）
33．（2023 无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2
二十四．完全平方公式（共1小题）
34．（2023 日照）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
二十五．平方差公式（共3小题）
35．（2023 黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7
36．（2023 湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝_________．
37．（2023 无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
二十六．整式的混合运算（共1小题）
38．（2023 长沙）下列计算正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x3）3＝x6
C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
二十七．整式的混合运算—化简求值（共2小题）
39．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
40．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
二十八．因式分解的意义（共1小题）
41．（2023 台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（ ）
A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9
二十九．因式分解-提公因式法（共1小题）
42．（2023 苏州）因式分解：a2+ab＝_________．
三十．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
43．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
三十一．因式分解的应用（共1小题）
44．（2023 十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 _________．
三十二．分式的值为零的条件（共1小题）
45．（2023 凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
三十三．约分（共1小题）
46．（2023 兰州）计算：＝（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
三十四．分式的乘除法（共1小题）
47．（2023 河北）化简的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
三十五．分式的加减法（共1小题）
48．（2023 天津）计算的结果等于（ ）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
三十六．分式的混合运算（共3小题）
49．（2023 绥化）化简：（﹣）÷＝_________．
50．（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 _______，乙同学解法的依据是 _______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
51．（2023 重庆）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+）÷．
三十七．分式的化简求值（共5小题）
52．（2023 绵阳）（1）计算：﹣4|sin60°|+﹣（2023﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中．
53．（2023 淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
54．（2023 朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．
55．（2023 益阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
56．（2023 宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
三十八．零指数幂（共1小题）
57．（2023 攀枝花）计算﹣10，以下结果正确的是（ ）
A．﹣10＝﹣1 B．﹣10＝0 C．﹣10＝1 D．﹣10无意义
三十九．二次根式有意义的条件（共2小题）
58．（2023 金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
59．（2023 徐州）若有意义，则x的取值范围是 _________．
四十．二次根式的化简求值（共1小题）
60．（2023 河北）若，，则＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
知识必备01 数与式
方法一：实数计算中的规律问题的解决方法
一．选择题（共1小题）
1．（2022 牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利用规律解决问题．
二．填空题（共3小题）
2．（2022 怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 __744__．
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数 第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【解答】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
第n行有n个数．
∴前n行共有个数．
∴前27行共有378个数，
∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2＝744．
故答案为：744．
【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．
3．（2022 鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 ____．
【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n＝30时即可求解．
【解答】解：∵，，，……，
∴第n个数是，
当n＝30时，＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．
4．（2023 甘孜州）有一列数，记第n个数为an，已知a1＝2，当n＞1时，an＝，则a2023的值为 __2__．
【分析】分别计算出ai（i为正整数），根据所发现的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
a1＝2，
，
，
，
…
由此可知，
．
所以a2023＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据计算出的ai（i为正整数）的值发现规律是解题的关键．
方法二：有关实数与数轴的应用题的解决方法
一．选择题（共5小题）
1．（2023 徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|
【分析】结合数轴得出a，b，c，d四个数的绝对值大小进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，
则|a|＞|d|＞|b|＞|c|，
其中值最小的是|c|，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键．
2．（2023 自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2022 广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】关于原点对称的数是互为相反数．
【解答】解：∵关于原点对称的数是互为相反数，
又∵1和﹣1是互为相反数，
故选：C．
【点评】本题考查数轴和相反数的知识，掌握基本概念是解题的关键．
4．（2023 杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据a，b的范围，可得a×b的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴﹣1＜a×b＜0，
即﹣1＜c＜0，
那么点C应在﹣1和0之间，
则A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得﹣1＜a×b＜0是解题的关键．
5．（2023 菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0
【分析】由数轴可得a＜0＜b＜c，然后得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系，再根据有理数乘法法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，
则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，
那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，
则A，B，D均不符合题意，C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，结合数轴得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2023 湘潭）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 __0（答案不唯一）__．（写出一个即可）
【分析】数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，然后写出其中的一个整数即可．
【解答】解：数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，
则其中的整数为0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023 连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b __＜__0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
则a+b＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查实数与数轴及其加法法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
方法三：化简求值问题的解决方法
一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
1．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2023 邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式＝＝24．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
3．（2022 广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则，注意平方差公式的应用．
4．（2022 盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
二．分式的化简求值（共14小题）
5．（2023 湘潭）先化简，再求值：（1+） ，其中x＝6．
【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝6时，
原式＝＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，将分式化简为是解题的关键．
6．（2023 广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝
＝．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
7．（2023 黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
【分析】利用分式的运算法则先化简分式，再代入特殊角的函数值确定m，最后利用二次根式的性质得结论．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝．
当m＝tan60°﹣1＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
8．（2023 湘西州）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把a的值代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝a+1，
当时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（2023 宿迁）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣1，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
11．（2023 辽宁）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．
【分析】先对原式进行化简，然后把m的值代入化简后的算式进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∴当m＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的应用，熟练掌握分式化简求值的方法和步骤是解题关键．
12．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）
＝
＝
＝
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2023 鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
【分析】先利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（2023 吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值：，其中a＝100． 解：原式＝ ……
【分析】由题意先求得M，然后将分式进行化简，最后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：由题意可得＝＝，
则M＝a，
那么﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
当a＝100时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，由已知条件求得M的值是解题的关键．
17．（2023 随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：÷
＝
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（2023 枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．
【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．
【解答】解：（a﹣）÷
＝（a﹣）
＝a ﹣
＝﹣1
＝，
∵a2﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±1，a≠0，
∴a＝2，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出a≠±1，a≠0．
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
1．（2023 无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣9
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：实数9的算术平方根是3，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
2．（2023 恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．﹣
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，
∴1＞，
∴﹣1＜﹣，
在﹣1，0，，﹣这四个数中，
∵﹣1＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
3．（2023 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6 D．（﹣2ab）2＝4ab2
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可；选项C、D根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：A．2a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B．a3÷a＝a2，故本选项不符合题意；
C．（﹣m2）3＝﹣m6，故本选项符合题意；
D．（﹣2ab）2＝4a2b2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的相关运算法则是解答本题的关键．
4．（2023 恩施州）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1 B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4 D．m2+m5＝m7
【分析】依据题意，由完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解．
【解答】解：由题意，对于A选项，（m﹣1）2＝m2﹣2m+1≠m2﹣1，
∴A选项错误，不符合题意．
对于B选项，（2m）3＝8m3≠6m3，
∴B选项错误，不符合题意．
对于C选项，m7÷m3＝m4，
∴C选项正确，符合题意．
对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并，
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解．
5．（2023 鞍山）下列运算正确的是（ ）
A．（4ab）2＝8a2b2 B．2a2+a2＝3a4
C．a6÷a4＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（4ab）2＝16a2b2，故A不符合题意；
B、2a2+a2＝3a2，故B不符合题意；
C、a6÷a4＝a2，故C符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2023 临沂）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3 2a2＝6a5
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、3a3 2a2＝6a5，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 __2﹣1__．
【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB＝，
∴点B表示的数是﹣1+，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC＝AB＝，
∴点C表示的数是：﹣1+＝2﹣1，
故答案为：2﹣1．
【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
8．（2023 黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝__9__．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°
＝9+1﹣2×
＝9+1﹣1
＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
9．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
【分析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：由题意，原式＝2+4×﹣1
＝2+2﹣1
＝3．
【点评】本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2023 济宁）计算：．
【分析】根据实数的运算进行计算．
【解答】解：
＝2
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负指数的知识，难度不大．
易错点3：整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的应用.
11．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
12．（2023 长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错点4：因式分解
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
13．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
【分析】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．
【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；
故A不正确，不符合题意．
（B）m3+m＝m（m2+1）；
故B正确，符合题意．
（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
故CD不正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
14．（2023 恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝__（a﹣1）2__．
【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2，
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（2023 常州）分解因式：x2y﹣4y＝__y（x+2）（x﹣2）__．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：x2y﹣4y
＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2），
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
易错点5：分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
16．（2023 贵州）化简结果正确的是（ ）
A．1 B．a C． D．
【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．
17．（2023 新疆）要使分式有意义，则x需满足的条件是 __x≠5__．
【分析】根据分母不为0可得：x﹣5≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
18．（2023 北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，
∴x+2y＝1，
∴＝
＝
＝
＝2，
∴的值为2．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
易错点6：分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（2023 鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（2023 营口）先化简，再求值：（m+2+） ，其中m＝+tan45°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）
＝
＝
＝
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2023 恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2023 日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°
＝2﹣（﹣1）+﹣2×
＝2﹣+1+﹣
＝；
（2）（﹣x）÷
＝
＝
＝
＝2（x﹣2）
＝2x﹣4，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错点7：二次根式的运算
24．（2023 恩施州）计算：×＝__6__．
【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：×＝
＝
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
25．（2023 潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 __﹣2（答案不唯一）__．（只需写出一种结果）
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：若“□”是﹣，“〇”是，则 （﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；
若“□”是﹣，“〇”是，则 （﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；
若“□”是，“〇”是，则 （+）2÷＝（9+2）÷＝+6；
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．（2023 天津）计算的结果为 __1__．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝（）2﹣（）2
＝7﹣6
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
易错点8：数与式的变化规律
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程
27．（2023 台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者（ ）
A．11 B．15 C．30 D．33
【分析】因为等差数列1，2，3，4，5，则公差为1，插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，可知：插入的新数个数是4的倍数，由此可作判断．
【解答】解：根据题意可知：有4个位置插入一些数，
∴插入的新数个数是4的倍数，
∵11﹣5＝6，15﹣5＝10，30﹣5＝25，33﹣5＝28，
又知28是4的倍数，
∴新的数列的项数可能为33．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列，数字的变化类的规律问题，确定插入的新数个数是4的倍数是解本题的关键．
28．（2023 岳阳）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是 __n2﹣n＝n（n﹣1）__．
【分析】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积．
【解答】解：12﹣1＝1×0；
22﹣2＝2×1；
32﹣3＝3×2；
42﹣4＝4×3；
52﹣5＝5×4；
…；
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．
故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）．
【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，
∵2025÷6＝337…3，
∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
30．（2023 内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
【分析】分别计算f（1），f（2），f（3），…，f（），f（），…，相加后可解答．
【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，
∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，
f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）
＝2×100+1
＝201．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义，数字类规律问题，根据代入求值并找出规律是解本题的关键．
31．（2023 济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．2
【分析】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解．
【解答】解：由题意得，
a1＝2，
a2＝＝＝﹣3，
a3＝＝＝﹣，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
……，
∴an的值按照2，﹣3，﹣，，……4次一个循环周期的规律出现，
∵2023÷4＝505……3，
∴a2023的值是﹣，
故选：A．
【点评】此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现an的规律．
一．正数和负数（共1小题）
1．（2023 衡阳）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作（ ）
A．+237元 B．﹣237元 C．0元 D．﹣474 元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法．
【解答】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作﹣237元，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
二．有理数（共1小题）
2．（2023 江西）下列各数中，正整数是（ ）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
【分析】整数和分数统称为有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，据此进行判断即可．
【解答】解：A．3是正整数，
则A符合题意；
B．2.1是有限小数，即为分数，
则B不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，
则C不符合题意；
D．﹣2是负整数，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的分类，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
三．相反数（共2小题）
3．（2023 青岛）的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【分析】根据实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：A．
【点评】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．（2023 赤峰）化简﹣（﹣20）的结果是（ ）
A．﹣ B．20 C． D．﹣20
【分析】根据相反数的含义以及求法，求出化简﹣（﹣20）的结果即可．
【解答】解：﹣（﹣20）＝20．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
四．绝对值（共1小题）
5．（2023 鞍山）﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【分析】依据题意，由绝对值的性质即可得解．
【解答】解：由题意，根据一个负数的绝对值是它的相反数，
∴|﹣2023|＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质，解题时需要熟练掌握并理解．
五．有理数大小比较（共2小题）
6．（2023 湖州）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
【分析】正数大于一切负数；0大于负数，小于正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1，
∴﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴最小的数是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．
7．（2023 成都）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（ ）
A．3 B．﹣7 C．0 D．
【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解．
【解答】解：∵﹣7＜0＜＜3，
∴最大的数是3，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
六．有理数的加法（共1小题）
8．（2023 青海）计算2+（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【分析】依据有理数的加法法则进行计算即可．
【解答】解：2+（﹣3）＝﹣（3﹣2）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，熟记法则是解题的关键．
七．非负数的性质：偶次方（共1小题）
9．（2023 西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
八．有理数的混合运算（共2小题）
10．（2023 杭州）（﹣2）2+22＝（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．
【解答】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．
11．（2023 随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝__0__．
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，后计算加法即可．
【解答】解：（﹣2）2+（﹣2）×2
＝4+（﹣4）
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解答本题的关键．
九．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
12．（2023 成都）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011
【分析】运用科学记数法进行变形、求解．
【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
13．（2023 攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.23×10﹣7 B．2.3×10﹣8 C．2.3×10﹣9 D．23×10﹣9
【分析】根据科学记数法的记数规则判断正误即可．
【解答】解：0.000000023＝2.3×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的记数规则是本题的关键．
十一．无理数（共1小题）
14．（2023 荆州）在实数﹣1，，，3.14中，无理数是（ ）
A．﹣1 B． C． D．3.14
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：实数﹣1，，，3.14中，无理数是，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
十二．实数的性质（共1小题）
15．（2023 大庆）实数2023的相反数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】运用知识点：实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解答】解：由题意得，
实数2023的相反数是﹣2023，
故选：B．
【点评】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用相反数的定义进行求解．
十三．实数与数轴（共2小题）
16．（2023 淮安）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜﹣2 B．b＜2 C．a＞b D．﹣a＜b
【分析】由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，于是有a＜b，﹣a＜b，逐一判断即可．
【解答】解：由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴a＜b，﹣a＜b，
∴A选项不符合题意，
B选项不符合题意，
C选项不符合题意，
D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，观察数轴得出a、b的范围是解题的关键．
17．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是 __2﹣1__．
【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB＝，
∴点B表示的数是﹣1+，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC＝AB＝，
∴点C表示的数是：﹣1+＝2﹣1，
故答案为：2﹣1．
【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
十四．实数大小比较（共2小题）
18．（2023 黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定
【分析】结合数轴表示确定实数a与b的符号和大小．
【解答】解：由题意得，
a＜0＜b，
∴a＜b，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确运用该知识和数轴知识进行求解．
19．（2023 甘孜州）比较大小： __＞__2．（填“＜”或“＞”）
【分析】先把2写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
十五．估算无理数的大小（共2小题）
20．（2023 荆州）已知k＝（+） （﹣），则与k最接近的整数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平方差公式进行计算，然后估算即可．
【解答】解：∵k＝（+） （﹣）＝×2＝2，
而1.4＜＜1.5，
∴2.8＜2＜3，
∴与k最接近的整数是3，
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式．
21．（2023 重庆）估计×（﹣）的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】先化简题干中的式子得到﹣1，明确的范围，利用不等式的性质求出﹣1的范围得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1．
∵5＜＜6．
∴4＜﹣1＜5．
故选：A．
【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．
十六．实数的运算（共4小题）
22．（2023 盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
【分析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：由题意，原式＝2+4×﹣1
＝2+2﹣1
＝3．
【点评】本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．（2023 北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2
＝2+3+2﹣2
＝5．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
24．（2023 内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×
＝2﹣2+1+4﹣1
＝2+2．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．
25．（2023 长沙）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
【分析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝+1﹣2×﹣2
＝+1﹣﹣2
＝﹣1．
【点评】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键．
十七．代数式求值（共1小题）
26．（2023 宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
x/克 0 2 4 6 10
y/毫米 10 14 18 22 30
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝__50__毫米．
【分析】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．
【解答】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，
当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），
当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），
当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），
当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），
当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），
……
所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，
当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米），
故答案为：50．
【点评】此题主要是考查了列代数式，代数式求值，能够根据题意列出代数式是解答此题的关键．
十八．规律型：图形的变化类（共2小题）
27．（2023 重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，图案①有：4+5＝9根小木棒，
图案②有：4+5×2＝14根小木棒，
图案③有：4+5×3＝19根小木棒，
…，
∴第n个图案有：（4+5n）根小木棒，
∴第⑧个图案有：4+5×8＝44根小木棒，
故选：B．
【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
28．（2023 重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，
第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，
第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
十九．整式的加减（共1小题）
29．（2023 德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，
∵2025÷6＝337…3，
∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
二十．整式的加减—化简求值（共1小题）
30．（2023 沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 __2__．
【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代入可得结果．
【解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键．
二十一．同底数幂的乘法（共1小题）
31．（2023 湖州）计算a3 a的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a4 D．a5
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：a3 a＝a3+1＝a4，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
二十二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
32．（2023 衡阳）计算（x3）2的结果正确的是（ ）
A．x6 B．x6 C．x5 D．x9
【分析】根据积的乘方和幂的乘方计算方法进行计算即可．
【解答】解：原式＝＝×x3×2＝x6．
故选：B．
【点评】本题主要考查积的乘方和幂的乘方的计算方法，是必考的知识点，一定要熟练掌握，并能灵活运用．
二十三．同底数幂的除法（共1小题）
33．（2023 无锡）下列运算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5
C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2
【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可．
【解答】解：A．a2×a3＝a5，故本选项不符合题意；
B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C．（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；
D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
二十四．完全平方公式（共1小题）
34．（2023 日照）下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【分析】分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果．
【解答】解：A．a2 a3＝a2+3＝a5，所以A运算错误；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B运算正确；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C运算错误；
D．2ab与3a2b不是同类项，所以不能合并计算，所以D运算错误．
故选：B．
【点评】此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．
二十五．平方差公式（共3小题）
35．（2023 黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7
【分析】分别对四个选项进行分析．
【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，所以A错误；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，所以B错误；
（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4，所以C正确；
（a5）2＝a10，所以D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大．
36．（2023 湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝__a2﹣1__．
【分析】直接利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案为：a2﹣1．
【点评】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
37．（2023 无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；
（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
二十六．整式的混合运算（共1小题）
38．（2023 长沙）下列计算正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x3）3＝x6
C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．
【解答】解：A、x2 x3＝x5，本选项符合题意；
B、（x3）3＝x9≠x6，本选项不符合题意；
C、x（x+1）＝x2+x，本选项不符合题意；
D、（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1≠4a2﹣1，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
二十七．整式的混合运算—化简求值（共2小题）
39．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
当x＝﹣1，y＝﹣1时，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
40．（2023 盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
二十八．因式分解的意义（共1小题）
41．（2023 台湾）下列何者为多项式x2﹣36的因式（ ）
A．x﹣3 B．x﹣4 C．x﹣6 D．x﹣9
【分析】根据平方差公式因式分解可得答案．
【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6），
∴x﹣6是多项式x2﹣36的因式．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解答本题的关键．
二十九．因式分解-提公因式法（共1小题）
42．（2023 苏州）因式分解：a2+ab＝__a（a+b）__．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2+ab＝a（a+b）．
故答案为：a（a+b）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
三十．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
43．（2023 攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1） B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
【分析】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．
【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；
故A不正确，不符合题意．
（B）m3+m＝m（m2+1）；
故B正确，符合题意．
（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
故CD不正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
三十一．因式分解的应用（共1小题）
44．（2023 十堰）若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是 __6__．
【分析】利用提公因式法，把原式中公因式xy提出，代入数据计算即可．
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解因式的应用中的整体思想，提公因式xy，出现两个整体xy、x+y是关键，代入数据计算即可．
三十二．分式的值为零的条件（共1小题）
45．（2023 凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
三十三．约分（共1小题）
46．（2023 兰州）计算：＝（ ）
A．a﹣5 B．a+5 C．5 D．a
【分析】先把分式的分子因式分解，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝a，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
三十四．分式的乘除法（共1小题）
47．（2023 河北）化简的结果是（ ）
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
【解答】解：x3（）2
＝x3
＝xy6，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．
三十五．分式的加减法（共1小题）
48．（2023 天津）计算的结果等于（ ）
A．﹣1 B．x﹣1 C． D．
【分析】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可．
三十六．分式的混合运算（共3小题）
49．（2023 绥化）化简：（﹣）÷＝____．
【分析】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]
＝[﹣]
＝
＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了分式混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
50．（2023 江西）化简（+） ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是 __②__，乙同学解法的依据是 __③__；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【解答】解：（1）甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）选择乙同学的解法．
（+）
＝+
＝+
＝x﹣1+x+1
＝2x．
【点评】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
51．（2023 重庆）计算：（1）x（x+6）+（x﹣3）2；
（2）（3+）÷．
【分析】（1）按照单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式进行计算即可；
（2）按照分式的混合运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）x（x+6）+（x﹣3）2
＝x2+6x+x2﹣6x+9
＝2x2+9；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键，计算时一定要细心．
三十七．分式的化简求值（共5小题）
52．（2023 绵阳）（1）计算：﹣4|sin60°|+﹣（2023﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂计算计算；
（2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+3﹣1
＝2﹣2+2
＝2；
（2）原式＝（+）
＝
＝，
当x＝+2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
53．（2023 淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．
【分析】根据分式的减法法则、乘法法则把原式化简，把a的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
54．（2023 朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[+]
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
55．（2023 益阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先将括号内通分，同时把除法变成乘法，再约分化简，把x的值代入可得结果．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝．
当x＝﹣1时，原式＝．
【点评】此题主要是考查了分式的化简求值，二次根式的运算，能够熟练掌握运算法则是解题的关键．
56．（2023 宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ +3
＝ +3
＝a+3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
三十八．零指数幂（共1小题）
57．（2023 攀枝花）计算﹣10，以下结果正确的是（ ）
A．﹣10＝﹣1 B．﹣10＝0 C．﹣10＝1 D．﹣10无意义
【分析】非零底数的零指数幂的值为1，据此解答即可．
【解答】解：∵10＝1，
∴﹣10＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查零指数幂，掌握它的适用条件是本题的关键．
三十九．二次根式有意义的条件（共2小题）
58．（2023 金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
则x的值可以是2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
59．（2023 徐州）若有意义，则x的取值范围是 __x≥3__．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0解答即可．
【解答】解：若有意义，
则x﹣3≥0，
∴x≥3，
即x的取值范围是x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知：若有意义，则a≥0．
四十．二次根式的化简求值（共1小题）
60．（2023 河北）若，，则＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】把a、b的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴＝＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
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