知识必备06 几何图形初步、相交线与平行线（知识清单 4种方法清单 10个考试清单真题专练）（含解析）

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知识必备06　几何图形初步、相交线与平行线
方法1：直线、线段、交点或角的数量问题
一．选择题（共5小题）
1．（2023 西湖区校级三模）如图，，，点是直线上动点，则线段长度不可能是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023 安岳县二模）如图，直线，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
3．（2023 历下区模拟）如图，在中，，过点作，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．（2023 南皮县校级模拟）如图，四边形中，点，分别在，上，将沿翻折得，若，，则角度是　　
A． B． C． D．
5．（2023 东明县一模）将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则等于　　
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
6．（2023 姜堰区一模）如图，、是平面内两条不相交的直线，，，则____．
三．解答题（共2小题）
7．（2023 邯郸模拟）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，已知，，如图所示．设点，该数轴的原点为．
（1）若点所表示的数是，则点所表示的数是 ____；
（2）若点，所表示的数互为相反数，则点所表示的数是 ____，此时的值为 ____；
（3）若数轴上点表示的数为4，求的值．
8．（2023 江岸区模拟）如图，点、、分别是三角形的边、、上的点，，．
（1）求证：．
（2）若，直接写出的值．
方法2：猪脚模型
一．选择题（共9小题）
1．（2023 五华区校级模拟）如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
2．（2023 大石桥市校级三模）如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为　　
A． B． C． D．
3．（2023 合肥三模）如图，，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
4．（2023 合肥二模）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
5．（2023 临朐县一模）如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是　
A． B． C． D．
6．（2023 海南模拟）如图，已知，，，那么等于　　
A． B． C． D．
7．（2023 祁阳县一模）如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
8．（2023 夏邑县二模）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是　　
A． B． C． D．
9．（2023 永州模拟）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共1小题）
10．（2023 宁江区一模）已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则____度．
方法3：铅笔模型
一．选择题（共12小题）
1．（2023 渝中区校级模拟）如图，已知直线，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
2．（2023 金安区一模）如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
3．（2023 龙湖区校级三模）如图所示，直线，，，则　　
A． B． C． D．
4．（2023 中原区校级一模）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示方式放置．其中三角板的直角顶点落在直尺上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
5．（2023 南昌二模）如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是　　
A． B． C． D．
6．（2023 城厢区校级模拟）如图，直线，被直线所截，若，，则的大小是　　
A． B． C． D．
7．（2023 郑州二模）如图，一副三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
8．（2023 重庆模拟）如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
9．（2023 萧山区一模）如图，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
10．（2023 南宁一模）如图，将一块三角板的顶点放在对边平行的纸条一边上．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
11．（2023 巨野县三模）已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则　　
A． B． C． D．
12．（2023 西城区二模）如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交点，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
二．解答题（共1小题）
13．（2023 新洲区校级模拟）如图，点，，，在同一条直线上，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，且，直接写出的值为 ____．
方法4：锯齿模型
一．选择题（共9小题）
1．（2023 金寨县校级模拟）如图，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
2．（2023 西峡县三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
3．（2023 双峰县一模）如图，，平分，若，则　　
A． B． C． D．
4．（2023 六安三模）如图，线段，为线段上一点，，交于点，连接．已知，，则　　
A． B． C． D．
5．（2023 清苑区二模）如图，要判断一张纸带的两边，是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：
方案Ⅰ： 沿图中虚线折叠并展开， 测量发现． 方案Ⅱ： 先沿折叠，展开后再沿折叠， 测得，
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是　　
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
6．（2023 西峡县一模）如图，直线，直线交于点，直线交于，，则的度数等于　　
A． B． C． D．
7．（2023 嵊州市一模）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点．若，则的大小为　　
A． B． C． D．
8．（2023 东昌府区二模）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2023 西藏）如图，已知，点在直线上，点，在直线上，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
10．（2023 永州）如图，，，，则____度．
11．（2023 船营区一模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的度数是 ___．
12．（2023 成武县校级三模）平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图②，两平面镜，的夹角，若任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，使得，则____．
一．认识平面图形（共1小题）
1．（2023 连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心的两条线段与一段圆弧所围成的图形．下列叙述正确的是　　
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
二．几何体的展开图（共1小题）
2．（2023 达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是　　
A． B．
C． D．
三．展开图折叠成几何体（共1小题）
3．（2023 威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点距离最远的顶点是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
四．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
4．（2023 宜昌）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是　　
A．文 B．明 C．典 D．范
五．角的概念（共1小题）
5．（2023 临沂）如图中用量角器测得的度数是　　
A． B． C． D．
六．角平分线的定义（共1小题）
6．（2023 乐山）如图，点在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ____．
七．余角和补角（共1小题）
7．（2023 北京）如图，，，则的大小为　　
A． B． C． D．
八．对顶角、邻补角（共1小题）
8．（2023 河南）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
九．平行线的性质（共9小题）
9．（2023 济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是　　
A． B． C． D．
10．（2023 自贡）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则　　
A． B． C． D．
11．（2023 广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，，那么的度数是　　
A． B． C． D．
12．（2023 达州）如图，，平分，，，则　　
A． B． C． D．
13．（2023 日照）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是　　
A． B． C． D．
14．（2023 重庆）如图，，，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
15．（2023 凉山州）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则　　
A． B． C． D．
16．（2023 杭州）如图，点，分别在的边，上，且，点在线段的延长线上．若，，则____．
17．（2023 山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
十．平行线的判定与性质（共1小题）
18．（2023 金华）如图，已知，则的度数是　　
A． B． C． D．
知识必备06　几何图形初步、相交线与平行线
方法1：直线、线段、交点或角的数量问题
一．选择题（共5小题）
1．（2023 西湖区校级三模）如图，，，点是直线上动点，则线段长度不可能是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可得到答案．
【解答】解：，，点是直线上动点，则线段长度不可能是3．
故选：．
【点评】本题考查垂线段最短，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．
2．（2023 安岳县二模）如图，直线，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】由平行线的性质求出，由三角形外角的性质求出，由对顶角的性质得到．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质得到的度数，即可由对顶角的性质得到答案．
3．（2023 历下区模拟）如图，在中，，过点作，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】由，得到，由直角三角形的性质得到．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是掌握平行线的性质．
4．（2023 南皮县校级模拟）如图，四边形中，点，分别在，上，将沿翻折得，若，，则角度是　　
A． B． C． D．
【分析】先利用平行线的性质，再利用翻折变换的性质，进而求出的度数．
【解答】解：，，，，
，，
将沿翻折得，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，多边形内角和定理以及翻折变换的性质，找出其中隐含的角的等量关系是本题解题关键．
5．（2023 东明县一模）将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则等于　　
A． B． C． D．
【分析】利用折叠对称的关系，角的加减，求出的值．
【解答】解：由题意可知：，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了角的计算，折叠对称，解题的关键是熟练掌握角的计算，图形的折叠对称的性质．
二．填空题（共1小题）
6．（2023 姜堰区一模）如图，、是平面内两条不相交的直线，，，则__55__．
【分析】延长交直线于，由平行线的性质，得到，由三角形外角的性质求出的度数，由对顶角的性质即可求出的度数．
【解答】解：延长交直线于，
、是平面内两条不相交的直线，
，
，
，
，
．
故答案为：55．
【点评】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角的性质，关键是延长交直线于，求出的度数．
三．解答题（共2小题）
7．（2023 邯郸模拟）用直尺画数轴时，数轴上的点，，分别代表数字，，，已知，，如图所示．设点，该数轴的原点为．
（1）若点所表示的数是，则点所表示的数是 __7__；
（2）若点，所表示的数互为相反数，则点所表示的数是 ____，此时的值为 ____；
（3）若数轴上点表示的数为4，求的值．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离与两点表示的实数间的关系计算即可；
（2）根据相反数和线段的中点的定义，运用有理数的加、减法则计算即可；
（3）根据数轴上两点间的距离与两点表示的实数间的关系，以及有理数的加、减法则计算即可．
【解答】解：（1），，
，
点所表示的数是，
点所表示的数是．
故答案为：7；
（2）点，所表示的数互为相反数，
原点是线段的中点，
，
，
，，
，
，
，
故答案为5，5；
（3）点表示的数为4，，，
，，，
．
【点评】本题考查数轴上两点距离、相反数的概念，涉及线段的中点，线段的和差计算，有理数的加减运算等知识．
8．（2023 江岸区模拟）如图，点、、分别是三角形的边、、上的点，，．
（1）求证：．
（2）若，直接写出的值．
【分析】（1）根据，得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论；
（2）根据平行线分线段成比例可得，连接，根据等高的三角形面积之比等于底之比即可解决，设三角形面积为，表示出其余三角形的面积，
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：连接，设，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，高相等的两个三角形面积之比等于底边长之比，平行四边形的判定与性质．
方法2：猪脚模型
一．选择题（共9小题）
1．（2023 五华区校级模拟）如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2．（2023 大石桥市校级三模）如图，直线，等边的顶点在直线上，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】过点作，然后利用猪脚模型进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
3．（2023 合肥三模）如图，，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】过点作，利用矩形的性质和平行线的判定与性质解答即可．
【解答】解：过点作，如图，
．
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，本题是猪脚模型，过点作是解题的关键．
4．（2023 合肥二模）如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
【分析】利用角的和差关系先计算，再利用平行线的性质得结论．
【解答】解：由题意知：，
．
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线，掌握平行线的性质是解决本题的关键．
5．（2023 临朐县一模）如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上，已知，，则的度数是　
A． B． C． D．
【分析】本题从，可以得到同位角相等，，然后相减可得到的度数．
【解答】解：，
，
，
故选．
【点评】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等．
6．（2023 海南模拟）如图，已知，，，那么等于　　
A． B． C． D．
【分析】两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，在本题中，根据这两条性质即可解答．
【解答】解：过点作，
，
；
，，
．
故选：．
【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
7．（2023 祁阳县一模）如图，将直尺与30角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：如图：
由题意得，，
，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2023 夏邑县二模）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是　　
A． B． C． D．
【分析】过点作，利用平行线的性质可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，然后再利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：过点作，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
9．（2023 永州模拟）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】过直角的顶点作，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，
过直角的顶点作，交于点，交于点，
则．
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，过直角的顶点作是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
10．（2023 宁江区一模）已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则__25__度．
【分析】先利用平行线的性质得出，，最后利用直角三角形的性质即可．
【解答】解：如图，
过直角顶点作，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
方法3：铅笔模型
一．选择题（共12小题）
1．（2023 渝中区校级模拟）如图，已知直线，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据平角的性质和平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和平角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2023 金安区一模）如图，已知，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】解法一：过点作，则，易得，进而得到，求得，于是，代入计算即可求解．
解法二：延长交于点，由平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而求得，最后根据平角的定义即可求解．
【解答】解：解法一：如图，过点作，
，
，，
，
，
，
．
解法二：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键．
3．（2023 龙湖区校级三模）如图所示，直线，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据三角形外角的性质，欲求，需求．根据平行线的性质，由，得，从而解决此题．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．
4．（2023 中原区校级一模）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示方式放置．其中三角板的直角顶点落在直尺上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据，得出，由于为直角三角形，由此得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
5．（2023 南昌二模）如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，进而可以得出答案．
【解答】解：如图，
直尺的两条边平行，，
，
直角三角板的一个角为，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，注意隐含条件，直尺的两条对边平行和直角三角板的一个锐角是是解题的关键．
6．（2023 城厢区校级模拟）如图，直线，被直线所截，若，，则的大小是　　
A． B． C． D．
【分析】根据邻补角得出的度数，再由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是两直线平行，内错角相等．
7．（2023 郑州二模）如图，一副三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据三角尺得出，由于，由平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，已知三角尺的各个角的度数是解题的关键．
8．（2023 重庆模拟）如图，已知，将一块直角三角板按如图的位置放置，使直角顶点在直线上，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（2023 萧山区一模）如图，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据，得出，再由，即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，求出是解题的关键．
10．（2023 南宁一模）如图，将一块三角板的顶点放在对边平行的纸条一边上．若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据图示，求出，再根据平行线的性质，即可求出的度数．
【解答】解：如图，
，
，
，
纸条的对边平行，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键．
11．（2023 巨野县三模）已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则　　
A． B． C． D．
【分析】过点作，交于点，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可．
【解答】解：过含角的直角三角板的直角顶点作，交于点，
，
．
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点作，交于点是解题的关键．
12．（2023 西城区二模）如图，直线，直线分别交，于点，，的平分线交点，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
【分析】先利用角平分线的性质和平角的性质求出，再利用平行线的性质求出，最后根据三角形的内角和即可得出答案．
【解答】解：为的平分线，，
，
，
直线，
，
在中，，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质和平角的性质，熟练掌握性质的内容是解题的关键．
二．解答题（共1小题）
13．（2023 新洲区校级模拟）如图，点，，，在同一条直线上，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，且，直接写出的值为 __15__．
【分析】（1）由得，进而证明即可；
（2）先证明后即可证明四边形是平行四边形，则且，利用三角形面积的比等于相似比的平方即可得证．
【解答】证明：（1），
，
又，
，
；
解：（2）设，
，
，，
由（1）知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，熟悉已知条件，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．
方法4：锯齿模型
一．选择题（共9小题）
1．（2023 金寨县校级模拟）如图，，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】首先根据平行线的性质可得出，据此可得出的度数．
【解答】解：，
，
，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
2．（2023 西峡县三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】首先根据平行线的性质得出，再根据平角的定义求出，最后再根据三角形的外角定理可求出的度数．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
3．（2023 双峰县一模）如图，，平分，若，则　　
A． B． C． D．
【分析】首先根据平行线的性质得，进而可求出，然后根据对顶角相等得，最后根据角平分线的定义可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
平分，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
4．（2023 六安三模）如图，线段，为线段上一点，，交于点，连接．已知，，则　　
A． B． C． D．
【分析】先由平行线的性质得出，再由即可得出此题的答案．
【解答】解：，，
，
又，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，理解两直线平行，内错角相等．
5．（2023 清苑区二模）如图，要判断一张纸带的两边，是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：
方案Ⅰ： 沿图中虚线折叠并展开， 测量发现． 方案Ⅱ： 先沿折叠，展开后再沿折叠， 测得，
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是　　
A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行
【分析】根据“内错角相等，两直线平行”可对方案Ⅰ进行判断；对于方案Ⅱ，先证和全等，从而得，进而根据平行线的判定可对方案Ⅱ进行判断．
【解答】解：对于方案Ⅰ，
，
，
方案Ⅰ可行；
对于方案Ⅱ，
在和中，
，
，
，
，
即：，
方案Ⅱ可行，
综上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行．
故选：．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定，难点是正确理解图形的折叠变换．
6．（2023 西峡县一模）如图，直线，直线交于点，直线交于，，则的度数等于　　
A． B． C． D．
【分析】首先根据对顶角的性质得到，再根据可求出，最后再根据平行线的性质可求出的度数．
【解答】解：，
即：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
7．（2023 嵊州市一模）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点．若，则的大小为　　
A． B． C． D．
【分析】首先根据平行线的性质得出，然后根据三角形的外角定理可求出的度数．
【解答】解：，
，
又，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的是准确识图，熟练掌握平行线的性质及三角形的外角性质．
8．（2023 东昌府区二模）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据直尺的对边平行得出，再根据三角板的形状特征得出，然后再根据三角形的外角定理即可求出的度数．
【解答】解：，
由平行线的性质得：，
依题意可知：，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，读懂图形，熟练掌握两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
9．（2023 西藏）如图，已知，点在直线上，点，在直线上，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可．
【解答】解：由题可知：，，
，
，
又知，
故．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
10．（2023 永州）如图，，，，则__100__度．
【分析】首先由得出，再由得出，据此可得出此题的答案．
【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
11．（2023 船营区一模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的度数是 __75__．
【分析】设与交于点，根据平行线的性质得，再根据三角形的外角定理可求出，进而根据平角的定义可求出的度数．
【解答】解：依题意得：，，，
设与交于点，
，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：75．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，平角的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．（2023 成武县校级三模）平面镜在光学仪器中有广泛的应用．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图②，两平面镜，的夹角，若任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，使得，则__90__．
【分析】首先根据题意可得出，，再根据平角的意义得，，即，然后根据得，进而可求出，据此可求出的度数．
【解答】解：依题意得：，，
，，
，，
，
即：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，平角的意义，三角形的内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
一．认识平面图形（共1小题）
1．（2023 连云港）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心的两条线段与一段圆弧所围成的图形．下列叙述正确的是　　
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
【分析】根据扇形的定义进行判断．
【解答】解：由扇形的定义可知，只有乙是扇形，
故选：．
【点评】本题主要考查了认识平面图形—扇形，应熟知扇形的定义：由圆心角的两条半径和圆心角所对的圆弧围成的图形叫做扇形．
二．几何体的展开图（共1小题）
2．（2023 达州）下列图形中，是长方体表面展开图的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据长方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，图形可以折叠成长方体，
故选：．
【点评】本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
三．展开图折叠成几何体（共1小题）
3．（2023 威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点距离最远的顶点是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
【分析】把图形围成立体图形求解．
【解答】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点距离最远的顶点是，
故选：．
【点评】本题考查了平面图形和立体图形，掌握空间想象力是解题的关键．
四．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
4．（2023 宜昌）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是　　
A．文 B．明 C．典 D．范
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无临点”，依此来找相对面．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，
“城”字对面的字是“明”．
故选：．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
五．角的概念（共1小题）
5．（2023 临沂）如图中用量角器测得的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】本题根据的位置和量角器的使用方法可得出答案．
【解答】解：根据起始位置，另一条边可得：．
故选：．
【点评】本题主要考查了学生量角器的使用方法，结合的位置进行思考是解题关键．
六．角平分线的定义（共1小题）
6．（2023 乐山）如图，点在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ____．
【分析】根据邻补角定义求得的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解答】解：，
，
是的平分线，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
七．余角和补角（共1小题）
7．（2023 北京）如图，，，则的大小为　　
A． B． C． D．
【分析】先求出的度数，然后根据，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出的度数．
八．对顶角、邻补角（共1小题）
8．（2023 河南）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】由对顶角的性质得到，即可求出的度数．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．
九．平行线的性质（共9小题）
9．（2023 济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得的度数．
【解答】解：如图，
，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
10．（2023 自贡）如图，某人沿路线行走，与方向相同，，则　　
A． B． C． D．
【分析】依据题意，与方向相同，可得，从而可得解．
【解答】解：由题意得，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的“两直线平行，内错角相等”性质，解题时需要熟练掌握，本题属于简单题．
11．（2023 广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，，那么的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】由平行线的性质，即可得到．
【解答】解：公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由题意得到．
12．（2023 达州）如图，，平分，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得的度数，再根据三角形内角和即可求得的度数．
【解答】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（2023 日照）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
又，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，比较简单．
14．（2023 重庆）如图，，，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2023 凉山州）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】由平行线的性质可得，，从而可求解．
【解答】解：在水中平行的光线，在空气中也是平行的，，，
，
水面与杯底面平行，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
16．（2023 杭州）如图，点，分别在的边，上，且，点在线段的延长线上．若，，则____．
【分析】由平行线的性质得到，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可求出的度数．
17．（2023 山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【分析】由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
十．平行线的判定与性质（共1小题）
18．（2023 金华）如图，已知，则的度数是　　
A． B． C． D．
【分析】由同位角相等两直线平行得到与平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出的度数，根据对顶角相等即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
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