山东省“天一大联考 齐鲁名校教研共同体”2025届高三下学期开学质量检测数学试题（含解析）

山东省“天一大联考 齐鲁名校教研共同体”2025届高三下学期开学质量检测数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.若椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
4.设等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
5.已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，平面平面且与线段，分别交于点，，则长度的最小值为( )
A. B. C. D.
8.墙上挂着一幅高为的画，画的上端到地面的距离为，某摄像机在地面上拍摄这幅画将画上端一点、下端一点与摄像机连线的夹角称为视角点，与摄像机在同一竖直平面内，且把最大的视角称为最佳视角若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.新能源汽车具有环保、效率高、使用成本低等优点，国家对新能源汽车提供了多种政策支持有种新能源汽车在年月的销售量单位：千辆如下：，，，，，，，则该组数据的( )
A. 极差为 B. 分位数为 C. 平均数为 D. 中位数为
10.已知点到点的距离与点到轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线，则( )
A. 当时，由抛物线和轴的负半轴构成
B. 当时，关于原点中心对称
C. 当时，为轴对称图形
D. 当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形
11.将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中为中间六边形的中心，且设点是图中所有正六边形中的任意一个顶点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 存在，使得
C. 若，则的所有取值的和为
D. 若，则的取值集合为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记的内角，，的对边分别为，，，且，则 ．
13.已知函数的图象关于点对称，则 ．
14.某校为弘扬“顽强拼搏的马拉松”精神，举办了千米长跑比赛，若包含甲、乙在内的共名同学进入了决赛，通过赛后成绩得知，其中没有名次并列的情况，甲不是第一名，且甲和乙的名次之差的绝对值为．
若甲的名次为偶数，则这名同学的名次排列情况共有 种
甲和乙的名次之和为的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程
Ⅱ求的最值．
16.本小题分
在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有个白球，个黑球，个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出个球，摸到黑白相间的球的概率为．
Ⅰ从盒子中随机摸出个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率
Ⅱ从盒子中次随机取出个球，取出后不放回，共取次，设取出的黑球数量为，求的分布列与期望．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点．
Ⅰ求的方程
Ⅱ证明直线与的斜率之比为定值．
18.本小题分
如图，圆柱的体积为，侧面积也为，为的直径，，分别为上、下底面圆周上的点，且直线与交于点．
Ⅰ求圆柱的高
Ⅱ证明：
Ⅲ若直线与下底面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
将数列，，，，，，其中在前面，，，，称为数列，，，，，，，的“第次重排数列”，照此规律，将数列，，，，，，，进行次重排后得到的数列称为“第次重排数列”例如，数列，，，的第次重排数列是，，，第次重排数列是，，，．
Ⅰ直接写出数列，，，，，，，的第，，次重排数列．
Ⅱ若递增数列，，，，，，，共含有项，且．
(ⅰ)设该数列的第项在下一次的重排数列中为第项，求关于和的关系式
(ⅱ)将该数列的第次重排数列记为，，，，，，，，猜想该数列与原数列有什么关系，并利用你猜想的结论证明：
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为集合，，
所以，
故选B．
2.【答案】
【解析】，
其对应的点为，该点位于第一象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】由，得，
所以的离心率为
解得．
故选C．
4.【答案】
【解析】数列是首项为，公差为的等差数列，
，，．
，，成等比数列，
，
，
或舍去．
故选D．
5.【答案】
【解析】因为，所以，
方程中两根，，应满足，
即．
故选C．
6.【答案】
【解析】由题可知：，，
因为与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
点为的图象与直线的交点，
点为的图象与直线的交点，
这两点也关于直线对称，所以，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】设平面与棱，分别交于点，，
由题易知：，设，
则，，，
所以，
当时，的长度取得最小值，且最小值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】如图，
设直线与地面的交点为点，摄像机为点，
则问题简化为当最大时求，也即求的最大值．
设，，，，
则，
，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，且最大值．
故选：．
9.【答案】
【解析】将样本数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，，．
对于，该组数据的极差为，故A错误
对于，因为，所以该组数据的分位数为，故B正确
对于，该组数据的平均数为，故C正确
对于，该组数据的中位数为，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】设动点的坐标为，根据题意，点到点的距离与点到轴的距离的差为，
即：，
当时，化简上述方程，可得：
当时，，轨迹为抛物线；
当时，，轨迹为轴的负半轴，
因此，当时，曲线由抛物线和轴的负半轴构成，选项A正确；
当时，化简上述方程，可得：
当时，；
当时，，
将替换，不变，此时轨迹关于轴对称，但并不关于原点中心对称，选项B错误，选项C正确；
当时，化简上述方程，可得：
当时，；
当时，，由于，不表示抛物线，
此时轨迹不构成封闭图形，选项 D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于，设，，，
则，且，的夹角为，
所以
，解得：，故A错误
对于，设，
则，
所以，当，，即为点时符合题意，故B正确
对于，由对称性可知的所有取值的和为，故C正确
对于，因为，
所以若，
则，，，，，，，
故，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】因为，
由正弦定理可得：，
因为，所以，
所以．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
所以，，则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由题意可得：当甲是第名时，乙只能为第名，此时有种；
当甲是第名时，乙为第或第名，此时有种；
当甲是第名时，乙为第或第名，此时有种；
当甲是第名时，乙为第名，此时有种；
当甲是第名时，乙为第名，此时有种．
若甲的名次为偶数，则这名同学的名次排列情况共有种．
这名同学的名次排列情况共有种，
名次之和为的情况共有种，
故所求的概率为．
故答案为：；．
15.【答案】解：Ⅰ由 ，得：，
，又，
曲线在点处的切线方程为：，
即．
Ⅱ函数，的定义域为，
由，令，
当时，故在内为增函数；
当时，故在内为减函数；
又当趋向于或时，趋向于．
由此知函数在时取得最大值，无最小值．
16.【答案】解：Ⅰ方法一：由题可知，解得：．
记事件摸出黑球，事件摸出黑白相间的球，
事件摸出的球上带有黑色，
则，，．
故所求概率为．
方法二：由题可知，解得：．
因为带有黑色的球共有个，黑白相间的球有个，
故所求概率为．
Ⅱ由题可知：的所有可能取值为，，，
，
，
．
故的分布列为：
．
17.【答案】解：Ⅰ由题可知：离心率，解得：，所以的方程为．
Ⅱ证明：由Ⅰ可知：，易知的斜率不为，
设，，的方程为，
联立与的方程可得：，
由根与系数的关系可知：，，
则，
由题可知：，，
因此
．
18.【答案】解：Ⅰ设圆柱的底面半径和高分别为和，由题可知
解得：，，所以圆柱的高为．
Ⅱ证明：如图，
连接，，，，因为，，，四点共面，且圆柱的上、下底面平行，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以．
Ⅲ延长交于点，连接，，，
因为在上，为的直径，所以，
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，所以为直线与下底面所成的角，
因为，直线与下底面所成角的正切值为，所以，，
如Ⅱ中图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令，可得：，
设平面的法向量为，则
令，可得：，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
19.【答案】解：第次重排数列为，，，，，，，，
第次重排数列为，，，，，，，，
第次重排数列为，，，，，，，．
Ⅱ当时，第次变换到第项，第次变换到第项，，第次变换到第项，
所以当时，容易发现，
当时，由于项数有限，考虑“回归”问题，
发现当进行一次重排后，原数列最后个数为重排后数列的倒数第个，
原数列倒数第个数为重排后数列的倒数第个，
不难发现原数列倒数第个数为重排后数列的倒数第个，
即重排后数列的第项，原数列的第项即倒数第个，
所以．
综上，
通过归纳可知，经过次重排后的数列，与原数列的顺序恰好相反，
即经过次重排后，数列为，，，，，，，，，，
所以
，
，
，
由，，，，，，，是递增数列，
易知，故原命题正确．
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