2024-2025学年湖南省邵阳市新邵县高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳市新邵县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，空间向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.圆：与圆：相交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知等比数列的前项和为，若，，则等于( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. B.
C. D.
7.若直线：圆相切，则原点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，公差，，则( )
A. B. C. D.
10.正方形的边长为，点、、分别是、、的中点，如图所示，将正方形沿折起，使得平面与平面垂直，则( )
A.
B. 异面直线与的所成角为
C. 与平面的所成角的正切值为
D. 三棱锥、和的体积分别为，，，则
11.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力设抛物线，弦过焦点，为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是( )
A. 点在抛物线的准线上
B. 存在点，使得
C.
D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是______．
13.已知正方体的棱长为，与平面的交点为，则 ______．
14.设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则这样的数列的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的方程为．
求过点且与圆相切的直线的方程；
直线过点，且与圆交于，两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程．
16.本小题分
三棱台的底面是正三角形，平面，，，，是的中点，平面交平面于直线．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知数列满足，且．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，求；
设，数列的前项和为，且对一切成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知圆：，点，点是圆上任意一点线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆交于，两点，则当点在圆上运动时，
求点的轨迹方程；
证明：直线是点轨迹的切线；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为．
求的方程；
若互相垂直的两条直线，均过点，且，直线交于，两点，直线交于，两点，，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设．
求；
记，，求．
参考答案
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15.解：当直线斜率不存在时，显然与相切；
当直线斜率存在时，可设：，由几何关系可得，
解得，
故，即，
故过点且与圆相切的直线的方程为或；
设：，可设中点为，
因为是等腰直角三角形，
所以，
即圆心到直线距离，
解得或，
故直线：或，
即或．
16.解：证明：在三棱台中，
，平面平面，
又平面平面，平面平面，
，又，
；
平面，在平面内作，
以为原点，，分别为轴，轴，建立空间右手直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，
设平面所的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：因为，
所以，
，
，
，
累加可得，
解得．
由知，
所以．
，
所以，
据题意，即对一切成立，
且，所以，
即的取值范围是．
18.解：根据题意可得，
又圆：的圆心，半径为，
所以，
所以点在以点，为焦点的椭圆上，
其中椭圆的长轴长为，焦距为，
所以，，，
所以的轨迹方程为；
证明：因为点是圆：上任意一点，
所以设，
则有：，
将代入椭圆：消去整理得：
，
故
，
所以直线是点轨迹的切线；
由可知，点到直线的距离为：
，
点到直线的距离为：
，
所以，
所以的面积为：
，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，的面积的最大值为．

19.解：依题意，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，
则有，解得，
所以双曲线的方程为；
当直线，中有一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在时，
直线与轴重合，不符合题意；
所以直线，的斜率均存在且不为，
设的方程为，，，，，
由，得，
则，所以，，
所以，则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又，所以，
因为，所以；
，
所以
，设，
则，
所以，
，可得
，所以，
所以．
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