2024-2025学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. B. C. D.
4.函数在上的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.设，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
7.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知函数，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是( )
A. 函数的图象关于对称
B. 函数的图象与直线的交点间的最小距离为
C. 函数在上的最大值为
D. 函数在上单调递增
11.已知函数则下列选项正确的是( )
A. 是偶函数
B. 的零点为
C. ，都有
D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是______．
13.已知角的终边与单位圆的交点为，则 ______．
14.已知定义域为的函数，满足，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
当时，求；
若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知．
求的值；
若，为锐角，且，求．
17.本小题分
已知奇函数的定义域为，当时．
求的解析式；
证明：在上单调递减；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，某公司内有一扇形空地，该扇形的周长为米，面积为平方米，为方便职工中午休息，现要在扇形空地内部规划出一个内接矩形区域，用来修建休息室．
求扇形空地的半径和圆心角；
取的中点，连接，交于点，记；
求矩形的面积与角的函数关系式；
当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
19.本小题分
已知函数，．
若函数为奇函数，求的值；
若在上恒成立，求的取值范围；
设，讨论方程的根的个数．
参考答案
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13.
14.
15.解：，
当时，，
；
，，
若“”是“”的必要条件，则，
所以，即，
故的范围为．
16.解：由可得：，
原式；
由可得：，又且为锐角，
解得，又也为锐角，则，
因为，所以，
所以
．
17.解：奇函数的定义域为，当时，
当时，，
则，
所以，
则；
证明：任取，
因为时，，
则，
所以，
所以在上单调递减；
若对任意的，不等式恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
所以
故实数的取值范围为．
18.解：设扇形空地的半径为，扇形弧长为，则，解得或；
当时，圆心角为；当时，圆心角为不合题意，舍去；
所以扇形空地的半径为米，圆心角为；
由知，，，
在中，，，所以；
在中，，，
所以，
所以矩形的面积为
；
由知，当时，，
当，即时，矩形的面积最大，为平方米．
19.解：为奇函数，且定义域为，
，
，
，
．
恒成立，
恒成立，
恒成立，
又，，
在上恒成立，
又，，即的取值范围是．
，
设，
令，则，当且仅当取到等号，
，
设且，
令，得，
令
又在上单调递减，
，
当或时，与无交点，无零点，无零点，方程无根；
当时，，或舍，
只有一个解，
只有一个零点，方程有一个根；
当时，在上有零点，
先证在上单调递增，
任取，且，
，
，
，
，在上单调递增，
又为偶函数，
在上单调递减，
有两个互为相反数的根，
此时有个零点，方程有两个根．
综上，或时，方程无根；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根．
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