2024-2025学年安徽省A10联盟高二下学期2月开学考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省A10联盟高二下学期2月开学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的位置关系为( )
A. 外切 B. 相交 C. 外离 D. 内含
4.已知正四棱锥的所有棱长均为，为底面内一点，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
6.已知正项等比数列的前项积为，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，圆锥的底面圆周上有，，三点，为底面圆的直径，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：，则下列说法错误的是( )
A. 当时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为
B. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
C. 笛卡尔叶形线关于直线对称
D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知满足，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是等差数列
C.
D. 设的前项和为，则
10.定义：曲线的方程为是常数若点在曲线上，是坐标原点，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的最小值为
B. 当时，的最小值为
C. 当时，的最大值为
D. 当时，的最大值为
11.已知在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，三棱锥的体积为定值
B. 当时，周长的最小值为
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，，，则的公比为 ．
13.已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
14.已知点为坐标原点，点是抛物线的焦点，且，连接并延长交抛物线于点，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点为圆上一点．
若点为的中点，求动点的轨迹的方程
过坐标原点的直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，，为的中点．
证明：平面
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为．
求的方程
若，过作与关于轴对称的直线交于，两点，求四边形的面积．
18.本小题分
已知数列的前项和为，正项数列满足，且．
求数列，的通项公式
设，求证：数列为等比数列
求数列的前项的和．
19.本小题分
已知每项均不为的数列满足：，．
若，求的值
若，，求数列的最大项
记为数列的前项和，是否存在满足条件的数列，使得如存在，求出这样的数列的一个通项公式若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意得，圆，
故，所以，
故动点的轨迹的方程为．
因为直线被曲线截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离为．
当直线的斜率不存在时，直线符合题意
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
故，解得，故．
综上，直线的方程为或．
16.解：因为，即，又平面，
故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
在平面四边形中，过点作交的延长线于点，
过点作交于点，得，，所以
因为，平面的一个法向量为，所以．
因为平面，所以平面．
设平面的法向量为，，，
则，取，则
设平面的法向量为，，，
则，取，则
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：设半焦距为，由，得，
当轴时，的值最小．
将代入，得，
所以，解得，，
所以的方程为．
由题意得，直线的斜率不为，设，
联立整理得．
易知，设，，则，，
由得，
代入，得，，解得．
由对称性可知，四边形为等腰梯形，其面积为
，
所以四边形的面积为．
18.解：因为数列的其前项的和，
所以当时，
当时，，
所以
当时，也满足，
所以
因为正项数列满足，
所以是等比数列，设的公比为，
由，得，解得，
故．
证明：由得，
，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
解：令，
其前项和，
，
得，
，
因此，．
19.解：因为，
所以或．
因为，所以或．
当时，，或，不满足题意，舍去
当时，或，
当时，或，不满足题意，舍去
当时，或，满足题意，
所以．
由，得，
所以数列为等差数列，其通项为．
则，
所以，
令，解得，
所以，
所以数列的最大项为．
由，
故可构造数列：，满足．
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