2024-2025学年浙江省绍兴市诸暨高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省诸暨市高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率( )
A. B. C. D.
2.如图，平行六面体中，设则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知直线，圆则直线与圆位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
6.已知为等差数列，则( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的公比大于，前项和为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知是双曲线的左焦点，为圆上一点，直线的倾斜角为，交双曲线的两条渐近线于，，且恰为的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列满足则( )
A. B. 是等比数列
C. D. 是等比数列
10.已知棱长为的正方体．中，，满足其中，，则下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 当 时，平面
C. ，，有
D. ，，有
11.曲线，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线围成的图形面积为
C. 曲线上存在无数个点到直线的距离为
D. 若圆在曲线的内部含边界，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数的图象在点处的切线方程是，则． ．
13.抛物线上一动点到直线的最短距离为 ．
14.已知数列满足若为最大项，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，为的中点，为侧棱上的动点．
求证：平面平面
试判断是否存在，使得直线．若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
16.本小题分
在等差数列中，已知公差前项和为且，成等比数列．
求数列的通项公式；
记求数列的前项和．
17.本小题分
在底面为正方形的四棱锥中，，面，，分别为和的中点，
求证：，，，四点共面
求二面角的余弦值．
18.本小题分
曲线的方程中，用替换，替换得到曲线的方程，把这种的变换称为“伸缩变换”，，分别称为轴和轴的伸缩比．
若曲线的方程为伸缩比求经过“伸缩变换”后所得到曲线的标准方程；
若曲线的方程为经过“伸缩变换”后所得到曲线是离心率为的椭圆，求的值；
对抛物线作变换得抛物线对抛物线作变换得抛物线如此进行下去，对抛物线作变换得抛物线若记数列的前项和为，求证：
19.本小题分
已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一点．
求椭圆的方程；
设直线不经过点交于，两点，且直线和直线的斜率之和为．
证明：直线的斜率为定值，并求出这个定值；
若求的面积．
参考答案
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13.
14.或
15.证明：在三棱柱中，底面，，
，为的中点，为侧棱上的动点，
，，
，
平面，
平面，
平面平面
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系：
，，，
设，则，，，
若，则，解得，
所以存在，使得直线．

16.解：由题意知，，则，
解得或，因为，所以，
故；
由知，，
则
由得，
化简得．
17.解：分别延长和交于点，取的三等分点，
由题意知，，故，且，
所以∽，则即，
而，且，
连接并延长交于，
则，那么有，
故K，为同一点，又
因为，，
故K，
即证，，，四点共面．
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设长为，则，，，，，，
，故，
又，，
设平面的法向量为，得，
又，，
设平面的法向量为，
由，得，
，，
故二面角的余弦值为．

18.解：由题意得，化简得，
所以曲线的标准方程为．
由题意得，化简得，
当时，则，解得
当时，则，解得；
对抛物线，作变换，
得抛物线，得，
故，
即，
所以．
又因为，
故
，即证，
当或时，显然也成立．
19.解：由题意知，，
，故，
所以，
所以椭圆方程为．
由题，可设直线，，，
联立方程组
得，
，
则，，
由题意知，，
则有，
即，
化简得，
代入韦达定理得，
化简得，
即或舍，
所以直线的斜率为．
过点作轴的垂线交轴于点，
由直线和直线的斜率之和为，则平分，
由，得，
则为，为，
所以，
所以的面积为．
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