2024-2025学年山西省朔州市怀仁市大地学校高中部高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省朔州市怀仁市大地学校高中部高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是( )
A. B. C. D.
2.据报道，从年月日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境“高原版”复兴号动车组列车全长米，由辆编组构成，设有个商务座、个一等座、个二等座，最高运行时速达千米，全列定额载客人假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：与直线：平行，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.若圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知数列的首项为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是
B. 存在实数，使得点在曲线内
C. 若，直线与曲线相交于，两点，则线段的长度为
D. 若，则过点且与曲线相切的直线的方程为或
11.若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，，则称为“阿基米德三角形”已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，以，为顶点的“阿基米德三角形”为，则( )
A. 点的横坐标为 B.
C. D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，则 ______．
13.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是______．
14.如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是的上顶点，，的面积为．
求椭圆的方程；
已知，若直线：与椭圆相交于，两点异于点，求证：直线，的斜率之和为．
19.本小题分
若对，且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
判断函数是否是函数在区间上的级控制函数，并说明理由；
若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，，求证：．
参考答案
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15.解：由题意可得，
因为，
所以，
所以曲线在点处切线的方程为，
即．
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
又，所以函数的极小值为，极大值为．
16.解：公比为正数的等比数列的前项和为，且，．
设等比数列的公比为，
由题意得，即，
所以，解得或舍．
所以．
由得，
所以，
所以，
，
两式相减，得
，
所以．
17.解：分别取，的中点为，，连接，，
因为底面是正方形，，分别为，的中点，所以，．
因为侧面是等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，
则．
即点到平面的距离为．
由知，平面的一个法向量为，
因为，
设平面的法向量为，则，，
所以取，则，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：根据题意，得，，，，
由于，三角形的面积为，
因此，所以，
因此，
因此的方程为．
设，，根据化简得，
因此根的判别式，解得，
根据韦达定理可得，，
由于，两点异于点，因此，因此，
又因为，
因此
，
把代入上式，
可得．
因此，的斜率之和为．

19.解：函数是函数在区间上的级控制数，理由如下：
，且，，，，
，即成立，
函数是函数在区间上的级控制函数．
由题意可得，又，在上单调递增，
，即恒成立．
令，当，且，时，恒成立，
故在上恒成立．，在上恒成立，
则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增，
故，则，由题意得，，
综上，实数的取值范围是．
证明：函数在区间上存在两个零点，，
不妨设，且，
函数是函数在区间上的级控制函数，
，
即，，
则．
要证，即证，
即证，即证，
令，令，
，
在上单调递增，
，即时，，
即成立，得证．
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